Волны п.1 Волны в упругих средах

Упругие среды. Продольные и поперечные волны.

Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде называются упругими или механическими волнами.

Звуковыми или акустическими волнаминазываются упругие волны. Обладающие частотами в пределах от 16 Гц до 20 000 Гц.

Волны с частотами меньше 16 Гц (инфразвук) и больше 20 000 Гц (ультразвук) органами слуха человека не воспринимаются.

В продольных волнахчастицы среды колеблются в направлении распространения волны.

В поперечных волнахчастицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в твердых, жидких и газообразных средах.

Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.

Распространение упругих волн не связано с переносом вещества. Бегущие волны переносят энергию колебательного движения в направлении распространения волны.

П.1.2 Уравнение гармонической бегущей волны

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

На рисунке представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью Vвдоль осиX, т.е. приведена зависимость между смещениемSчастиц среды и расстояниемXэтих частиц от источника колебанияOдля фиксированного момента времениt.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе называется длинной волны .

Длинна волны равна тому расстоянию, на которое распространится гармоническая волна за время равное периоду колебаний T.

Уравнение такой волны в общем случае имеет вид:

Для характеристики волн используется волновое число , где

С учетом формулы (4) получим уравнение бегущей гармонической волны.

, гдеA-амплитуда Ф=- фаза волны

–начальная фаза.

Основываясь на формуле Эйлера

Уравнение (5) можно записать в экспоненциальной (комплексной) форме , где физический смысл имеет лишь действительная часть выражения (6)

П.1.3 Фронт волны, волновые поверхности , фазовая скорость

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называетсяволновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Гармоническая бегущая волна (выражение (5)) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности Ф=constпредставляют собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных осиX.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид: 7), гдеr-радиальная координата

A(r)≈1/r

Скорость Vраспространения гармонической волны называетсяфазовой скоростью. Она равна скорости перемещения волновой поверхности.

В случае плоской гармонической волны из условия Ф=constследует =>

П.1.4. Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением –дифференциальным уравнением в частных производных

,где, где- оператор Лапласа., гдеV-фазовая скорость

Для плоской гармонической волны (формула(5)), которая не зависит от координат yиz, волновое уравнение принимает вид :

Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Негармоническую волну заменяют системой гармонических волн, частоты которых мало отличаются друг от друга, т.е. негармоническую волну представляют в виде группы волн или волнового пакета. Это принцип суперпозиции

Групповой скоростью называется скорость распространения огибающей группы волн (скорость распространения энергии волнового пакета или скорость передачи сигнала)

Групповая скорость (12)

Они связаны с фазовой скоростью соотношением (13)

Для гармонической волны (14)=>u=v, т.е. групповая скорость равна фазовой