Свободные затухающие колебания

F=-kx– возвращающая сила

Рассмотрим случай, когда кроме силы упругости (F=-kx) действует также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т.е.

С учетом сказанного, уравнение движения тела(2 з-н Ньютона)

Будет иметь вид F=ma

Разделим обе части уравнения на массу

коэффициент затухания(с^-1) r – коэффициент сопротивления

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний 2 порядка

Решением уравнения 11 будет

Анализ уравнения 17:

1. При β>>ω0

Т.е движение получается непериодически, его называют апериодическим

2. При β<=ω0

ω0-циклическая частота собственных колебаний или собственная циклическая частота(приFсопрот)

Амплитуда, в отличие от гармонических колебаний, зависит от времени к рассчитанной по формуле:

­

Из этих выражений следует, что затухающие колебания не являются строго гармоническими, их амплитуда A(t) уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β

Логарифмический декремент затухания

Логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времени tиt+T

Величина, обратная дельта, показывает число колебаний, совершаемых за время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e(=2.7182) раз

Величина , называетсядобротностью(параметр, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан.)колебательной системы

Рассмотренная колебательная система является диссипативной (т.е. рассеивающей энергию), т.к. ее механическая энергия постепенно уменьшается с течением времени за счет преобразования в другие формы энергии.

Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы)

Действуют 3 силы – квазиупругая, сопротивления, вынуждающая

Дифференциальное уравнение вынуждающих колебаний с учётом затухания запишем в виде

Перепишем это уравнение в виде

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянным коэффициентом. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Решением такого уравнения будет

x=x₀+x_отн, где – общее решение однородного уравнения (ур с правой частью = 0)

Согласно выражению 17

Cтечением времениx0 ->0 =>x->xвын

Из решения уравнения 23 следует, что

Где

Из анализа выражения 25 следует, что амплитуда вынуждающей силы (Fm) остается постоянной, амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Исследуя выражение 25 на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины

Это явление называется резонансом

Явление резонанса состоит в РЕЗКОМ увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте

На рисунке приведена зависимость амплитуды вынуждающих колебаний от частоты вынуждающей силы, которое определяется формулой (25)

При Ω->∞ A->0

Электромагнитные колебания Колебательный контур

-это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности(L) и конденсатор, емкости(C)

В состоянии равновесия заряд на обкладке конденсатора =0

Если это равновесие нарушить, то по цепи пойдет электрический ток зарядки конденсатора и в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции.

Будем считать, что эта ЭДС будет равна напряжению на конденсаторе

()

Отсюда видно, что изменение со временем заряда qна обкладке конденсатора происходит в форме гармонических колебаний.

x_~qДифференцируя уравнение 2 по времени, найдем силу тока в колеблющемся контуре

Где I_m-амплитуда силы тока

При t=0

Решая систему из двух уравнений найдем амплитуду заряда (q_m)на обкладке конденсатора и начальную фазу ϕ₀

Полная энергия колеблющегося контура сохраняется

При разрядке конденсатора энергия электрического поля переходит в энергию магнитного, а при зарядке – наоборот.