Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика часть 2.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

505.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

2. Определенный интеграл

2.1. Основные свойства и определения

Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a,b] . Разобьем его произвольно на n частей точками x0 , x1 ,..., xn , так что a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . В каждом частичном отрезке [xi−1 , xi ] произвольным образом выбрана точка ξi , где i = 1,2,..., n .

Определение: Сумма вида:

	n
	Sn = ∑ f (ξi ) xi		(2.1.1)
	i=1
где xi = xi − xi−1 , называется интегральной суммой функции			f (x) на отрезке [a,b] .
Определение: Определенным интегралом от функции		f (x)	на отрезке [a,b] называется
предел интегральных сумм Sn при условии, что длина наибольшего частичного отрезка xi
стремится к нулю:
b	n
∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξi )		xi	(2.1.2)
a	λ →0 i=1

где λ = max{ xi } - шаг разбиения.

Если предел (2.1.2) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора точек ξi , то непрерывная функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] .

Теорема (о существовании определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. для нее существует предел интегральных сумм (2.1.2), который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек ξi .

Свойства определенного интеграла:

b	a
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx ;
a	b
b
∫ dx = b − a ;
a
b	b
∫Cf (x)dx =C∫ f (x)dx ;
a	a
b	b	b
∫[ f1 (x) + f2 (x)]dx =∫ f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx ;
a	a	a
b	c
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫cb f (x)dx, a < c < b ;
a	a
		b
если	f (x) ≥ 0 на отрезке [a,b] , то ∫ f (x)dx ≥ 0 ; если f (x) ≤ 0 для всех точек x [a,b] , то
		a
b
∫ f (x)dx ≤ 0 ;
a
		b	b
если	f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b] , то ∫		f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx ;
		a	a

∫ f (x)dx = 0 ;

если М – наибольшее, m – наименьшее значение f (x) на [a,b] , то

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a)

(обобщенная теорема об оценке определенного интеграла);

∫ f (x)dx = f (c)(b − a), c [a,b]

(теорема о среднем), где f (c) =

∫ f (x)dx называется

f (x)

на отрезке [a,b] ;

b − a a

средним значением функции

∫

f (x)dx

≤ ∫

f (x)

dx ;

∫ f (t)dt '= f (x) .

Формула Ньютона – Лейбница.

Если для функции f (x) , непрерывной на отрезке [a,b] может быть найдена одна из первообразных F(x) , то простым и удобным методом вычисления определенного интеграла является формула Ньютона – Лейбница:

∫ f (x)dx = F(x)

b a

= F(b) − F(a) ,

(2.1.3)

где: F'(x) = f (x), (a ≤ x ≤ b) , т.е. равенство выполняется на всем отрезке [a,b] , а первообразная обязана быть непрерывной функцией на всем отрезке [a,b] . Использование в качестве первообразной разрывной функции может привести к неверному результату.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах полезно использовать формулу:

a		a
∫	2∫ f (x)dx,
∫	f (x)dx =	0
−a		0,
		0,

Пример 48. Вычислить интеграл:

Решение:

	если f (x)	- четная функция
	если f (x)	- нечетная функция
π∫	1+ cos2 x dx .
0	2

1+ cos2 x

2cos2 x

cos x,

0 ≤ x ≤

= cos x =

≤ x ≤ π .

− cos x,

Поэтому:

1+ cos2

∫

dx =

∫cos xdx + ∫(− cos x)dx = sin x

+ (− sin x)

= (1− 0) + (0 − (−1)) = 2 .

Замечание:

Если не обратить внимание на то, что cos x отрицателен в промежутке	π			и положить
		2	,π

1+ cos2 x = cos x , то получим заведомо неверный результат. 2

∫ cos xdx = sin x π0 = 0 .

Ответ: 2.

Пример 49. Оценить интеграл: ∫ 3 + x3 dx .

Решение:

Так как функция

f (x) = 3 + x3 монотонно возрастает на отрезке [1,3], то m = 2 , M = 30 ;

b − a = 2 . Следовательно, оценка интеграла имеет вид:

2 2 ≤ ∫ 3 + x3 dx ≤ 2

30 , т.е. 4 ≤ ∫ 3 + x3 dx ≤ 2

30 ≈ 10.95 .

8 sin x

Пример 50. Оценить абсолютную величину интеграла ∫4

dx .

1+ x6

Решение:

Так как

sin x

≤ 1, то при x ≥ 4 выполняется неравенство:

sin x

< 4−6

. Поэтому:

1+ x6

sin x

−6

−5

∫4

< (8 − 4)

< 4

1+ x6

Пример 51. Установить, какой из двух интегралов ∫

xdx или ∫ x3dx больше?

Решение:

Известно, что

x > x3

при 0 < x < 1 . Поэтому: ∫

xdx > ∫ x3dx .

1 sin x

Пример 52. Оценить сверху интеграл ∫0 1+ x2 dx .

Решение:

По обобщенной теореме о среднем значении определенного интеграла имеем:

1 sin x		1	dx		1		π
∫0		dx = sinξ ∫0		= sinξ arctgx		=	4 sinξ , (0	< ξ < 1) .
	1+ x2		1+ x2		0

Так как на отрезке [0,1] функция sin x возрастает, то sinξ < sin1, отсюда получаем оценку интеграла сверху:

1	sin x		π
∫0		dx <	4 sin1	≈ 0.64 .
	1+ x2

Можно получить лучшую оценку, если ту же теорему применить в виде:

1		sin x		1	1		1		(1− cos1)< 1− cos1 ≈ 0.46 .
∫			dx =			∫sin xdx =
		2		1+ ξ	2		1+ ξ	2
0	1+ x				0

2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Для любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f (x) справедлива формула замены переменной (или подстановки) в определенном интеграле:

b	β
∫ f (x)dx = ∫ f [(ϕ (t)]ϕ '(t)dt		(2.2.1)
a	α

Если функция x = ϕ (t) удовлетворяет следующим условиям:

ϕ (t) - непрерывная однозначная функция, заданная на отрезке [α , β ] и имеющая в нем непрерывную производную ϕ '(t) ;

значения функции x = ϕ (t) при изменении t на отрезке [α , β ] не выходят за пределы отрезка [a,b] ;

ϕ (α ) = a и ϕ (β ) = b .

Часто вместо подстановки x = ϕ (t) применяют обратную подстановку t =ψ (x) . В этом случае пределы α и β определяются непосредственно из равенств α =ψ (a), β =ψ (b) . На

практике замену переменной обычно производят с помощью монотонных непрерывно дифференцируемых функций.

Пример 53. Вычислить интеграл

∫3

4 − x2 dx .

−

Решение:

x = 2sin t;

dx = 2costdt

t = arcsin x ;

4 − x2

= 2 cost = 2cost,

, π

∫

4 − x2 dx = т.к.

cost > 0

−

= 4 ∫cos2 tdt =2

∫(1+ cos 2t)dt =

−

− 3

при

= −

t = arcsin−

3 = − π

при

t2 =

4π

sin 2t

2 t +

−

Ответ:

4π +

3 .

x2 − 4

dx .

Пример 54. Вычислить интеграл ∫

Решение:

x = 2sect;

dx =

2 sin t

tdt

cost

sect =

;

t = arccos

x2 − 4

cost

4sec2 t − 4

sin t

∫

dx = при

x1 = 2

t1 = 0

= ∫

dt =

16sec

cos

x2 = 4

t2 =

− 4 = 2

sec

t −1 =

sin 2 t

cost

	π
1	3				1				π
	∫sin	2	t costdt =			sin	3	t
		2					3		3
4				12					0
4	0			12
Ответ:			3 .
			32

= 3 32

Пример 55. Вычислить интеграл ∫

+ cos x

0 2

Решение:

t = tg

;

x = arctgt

2dt

− t 2

dx =

;

cos x

2dt

∫

= ∫

= 2∫ 3

1+ t 2

+ t 2

+ t2 1+ t2

+ t 2

3 arctg

2 + cos x

x1 = 0 t1 = 0

0 2 +

0 .

− t

x2 =

t2 = 1

− 0

arctg

− arctg0

Ответ:

π .

Пример 56. Вычислить интеграл ∫0

(a > 0,b > 0) .

a2 cos2 x + b2 sin 2 x

Решение:

t = tgt;

x = arctgt

dx =

;

+ t 2

cos2 t

∫

= 0

a2 cos2 x + b2 sin 2 x

+ b2t 2

+ t .

= π

= 1

arctg bt

arctg b

							π
		1	b		π		4	dx
		1	b		π		∫0	dx
Если a = b = 1, то			arctg a	= arctg1 =		, т.е.
Если a = b = 1, то		ab	arctg a	= arctg1 =	4	, т.е.		a2 cos2 x + b2 sin 2 x
Ответ:	π .
	4
				π	xsin xdx

Пример 57. Вычислить интеграл I = ∫0 1+ cos2 x .

Решение:

Представляем исходный интеграл в виде суммы двух интегралов

4π

=∫dx = , где a = b = 1.

I = I1 + I2 , где:

		π
I	=	2	x sin x	dx ; I		π	xsin x	dx .
					2	=
						=
1		∫0	1+ cos2 x			π∫1	+ cos2 x
		∫0	1+ cos2 x			π∫1	+ cos2 x
						2

Решаем интеграл I1 :

			x = π − t					π
			x = π − t
π			dx = −dt
π	xsin x		dx = −dt					2	(π − t)sin t
I2 = π∫		dx =	x	= π			π	= ∫
I2 = π∫	1+ cos2 x	dx =	x	= π	t	=	π	= ∫	1+ cos2 t
2			1	2	1		2	0
2			x2	2	t2		2
			x2	= π	t2	= 0

π		π
2	sin t	2	t sin t
dt = π ∫0		dt − ∫0		dt .
dt = π ∫0	1+ cos2 t	dt − ∫0	1+ cos2 t	dt .

xsin x

sin t

t sin t

Следовательно,

I = I1 + I2

= ∫0

+ π ∫0

dt − ∫0

dt .

1+ cos2 x

1+ cos2 t

Так как первый и третий интегралы отличаются только обозначением переменной

интегрирования, то получаем:

u = cost

du = − sin tdt

sin tdt

I = π ∫

t1 = 0 u1 = 1

= π ∫

= π arctgu

= π (arctg1− arctg0) = π

− 0

1+ cos

+ u

t2 = π

0 1

= 0

Замечание:

xsin xdx

Неопределенный интеграл ∫0

не выражается в элементарных функциях. Однако,

1+ cos2 x

данный определенный интеграл вычисляется, как мы показали, если прибегнуть к искусственному приему.

Ответ: π 2 . 4

1 ln(1+ x)

Пример 58. Вычислить интеграл ∫0 1+ x2 dx .

Решение:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб33высшая математика установочные лекции часть 3.pdf
#
26.07.201691.65 Кб12высшая математика характеристика дисциплины.pdf
#
26.07.2016505.36 Кб109высшая математика часть 2.pdf
#
26.07.2016500.27 Кб177математика и информатика курс лекций.pdf
#
26.07.20161.17 Mб253математика и информатика метод указания.pdf
#
26.07.2016483.87 Кб38математика индивид дом задания .pdf
#
26.07.2016721.05 Кб94метод указания по решению задач.pdf
#
26.07.2016547.48 Кб29методы анализа нелиненых цепей.pdf