∫

x2

+ 1

dx = ∫

1

2

2

1

1

2

−

+

dx = −

+

−

+ C .

(x + 1)

4

(x + 1)

2

(x + 1)

3

(x + 1)

4

x + 1

(x + 1)

2

3(x + 1)

3

Ответ: −

1

+

1

−

2

+ C .

x + 1

(x + 1)2

3(x

+

1)3

∫ R(x1 n ax + b )dx = n ax + b = t; x = tnb

;

dx = n tn−1dt =

1.

a

a

(1.4.1)

∫

n

∫

.

=

R * (t)dt

R t b

, t n tn−1dt =

a

a

.

Здесь в пунктах 2 и 3 k

- наименьшее общее кратное показателей корней n1 ,n2 ,..., nr . R -

рациональная функция.

4. Интегралы от дифференциальных биномов:

∫ xm (a + bxn )P dx , где:

m,n, P - рациональные числа, сводятся к интегралам от

рациональных дробей только в трех случаях:

P - целое число, тогда

∫ xm

(a + bxn )P dx =

x = t k ;

dx = ktk −1dt

= ∫t mk (a + bt nk )P ktk −1 dt = ∫ R *(t)dt (1.4.4) где k -

наименьшее общее кратное дробей m и n .

m + 1

n

- целое число; в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью

подстановки a + bxn = t k , где k - знаменатель дроби P .

m + 1

+ P - целое число; в этом случае интеграл рационализируется с помощью

n

5. Интеграл вида ∫

dx

ax2 + bx + c

приводится к табличным интегралам X и XII путем

выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

6. Интегралы вида ∫

Ax + B

dx путем выделения в числителе производной квадратного

ax

2

+ bx + c

трехчлена, стоящего под знаком корня распадаются на сумму двух интегралов

A

(2ax + b)

Ap

Ax + B

+ B −

A

d(ax

2

+ bx + c)

Ap

dx

2a

∫

dx = ∫

2a

∫

ax

2

+ bx

ax

2

+ bx + c

dx =

2a

ax

2

+ bx + c

+

+ B −

2a

∫

ax

2

+ bx + c

,

+ c

которые фактически являются табличными интегралами.

7. Интегралы вида ∫

dx

приводятся к табличным интегралам с помощью

(x − λ )

ax

2

+ bx + c

подстановки x − λ =

1 .

t

8. Интегралы вида

∫

Pn (x)dx

dx , где P (x)

- многочлен n ой степени, находятся с

ax2 + bx + c

n

помощью тождества:

Pn (x)dx

dx = Q

n−1

(x)

ax2 + bx + c + λ

dx

(1.4.5),

∫ ax2 + bx + c

∫ ax2

+ bx + c

где Q

(x) - многочлен (n −1) й

степени с неопределенными коэффициентами, λ - число.

n−1

Дифференцируя указанное тождество (1.4.5) и приводя результат к общему знаменателю,

получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты

многочлена Qn−1 (x) и число λ .

9. Интегралы вида ∫ R(x1

a2 − x2 )dx,

∫ R(x1

a2 + x2 )dx, ∫ R(x1

x2 − a2 )dx с помощью

∫ R(x1

a2 − x2 )dx =

x = asin t;

dx = acostdt

= ∫ R(a cost) acost dt ;

(1.4.6)

∫

R(x

2

2

)dx =

x = a tgt;

a

∫

a

a

a

+ x

dx =

dt

=

R

dt ;

(1.4.7)

cos2 t

cos2 t

1

)dx =

cost

∫

R(x x

2

2

a

asin t

∫

sin t

asin t

dt

− a

x =

;

dx =

dt

=

R a

(1.4.8)

cost

cos2 t

cost

cos2 t

1

.

Пример 21. Найти интеграл: ∫

dx

.

x

+

3

x

Пример 23. Найти интеграл: ∫

dx

.

x(4

x + 1)10

Решение:

dx

− 1

1

−10

P = −10

∫

∫ x

=

x

+ 1 dx = x = t4 ;

x = t2

=

2

4

10

x(4 x + 1)

dx = 4t

3dt; 4 x = t

dt

− 4∫

dt

−9

− 4∫ (t +

−10

= 4∫ (t + 1)9

(t + 1)10 = 4∫ (t + 1)

d(t

+ 1)

1)

d(t + 1)

= .

1

4

1

4

= −

2(t + 1)8

+ 9(t + 1)9 + C = −

2(4 x + 1)8

+

+ C

9(4 x + 1)9

P = −10 - целое число (случай 1) интегрируемости дифференциального бинома (п. 4)

(1.4.4)).

Ответ: −

1

+

4

+ C .

2(4 x + 1)8

9(4

x + 1)9

Пример 24. Найти интеграл:

∫

x3dx

(4 − x2 )

4 − x2 .

Решение:

∫

x3dx

= ∫ x

3

(4 − x

2

−

3

3

m + 1

3 + 1

2 dx имеем

m = 3,

n =

2, P = −

, так как

=

= 2

-

(4

− x

2

) 4

− x

2

)

2

n

2

4 − x2 = t 2 ; x2 = 4 − t 2 ;

− 2xdx = 2tdt;

= −∫

(4 − t

2

) t

−3

tdt = − ∫

4 − t2

dt

4

xdx = −tdt;

t 2

dt = ∫dt − 4∫ t2

= t + t

+ C =

t =

4 − x2

.

=

t

2 + 4

+ C =

4 − x2 +

4

+ C =

8

− x2

+ C

t

4 − x2

4 − x2

Ответ:

8 − x

2

+ C .