Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика часть 2.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

505.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Пример 16. Найти интеграл: ∫ln2 xdx .

Решение:

∫ln2 xdx =

u = ln

du = 2ln x

= xln2 x − 2∫ xln x dx

= xln2 x − 2∫ln xdx =

dv = dx;

v = x

u = ln x; du =

= xln2 x − 2xln x + 2∫ dx

x = xln2 x − 2xln x + 2x + C

dv = dx;

v = x

Ответ:

x ln2 x − 2x ln x + 2x + C .

Пример 17. Найти интеграл: ∫ex cos xdx .

Решение:

∫ex cos xdx =

u = ex ;

du = ex dx

= ex sin x − ∫ex sin xdx =

u = ex ; du = ex dx

dv = cos xdx;

v = sin x

∫udv = u v − ∫vdu

dv = sin xdx;

v = − cos x

= ex sin x + ex cos x − ∫ex cos xdx + C;

2∫ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + C =

1 ex (sin x + cos x) + C

Ответ:

ex (sin x + cos x) + C .

Пример 18. Найти интеграл: ∫

x2 − 6dx .

Решение:

u =

x2 − 6;

du =

xdx

I = ∫

x2 − 6

∫

xdx

− 6dx = dv = dx; v = x;

= x x

− 6 −

= x x

− 6 −

− 6

∫udv = u v − ∫vdu

− ∫

− 6 + 6

dx = x x

− 6

− ∫

− 6dx − 6∫

= x x

− 6

− 6ln x +

− 6

− I +

−

− 6

Ответ: I = x x2 − 6 − 6ln x + x2 − 6 + C .

1.3. Интегрирование рациональных выражений

Определение: Рациональным относительно x называется выражение, представляющее собой отношение двух многочленов, зависящих от x (т. е. это дробь, числитель и знаменатель которой есть многочлен Pm (x) и Qn (x) ).

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Pm (x) числителя меньше степени многочлена Qn (x) знаменателя ( m < n ).

Теорема: Всякая неправильная рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

- правильная, несократимая рациональная дробь, а ее знаменатель после

О корнях многочлена

Если при

x = x

многочлен Q (x) = a

xn + a xn−1 + a

xn−2 + ... + a

n−1

x + a

обращается в нуль (т.

е. Qn (x) = 0 ), то число x1 называется корнем многочлена.

О разложении многочлена на множители

Теорема: Любой многочлен ( Qn (x) ), степень которого выше 2 ( n > 2 ) можно разложить

на простейшие множители по формуле (1.3.1):

(x) = a

(x − a )α1

(x − a

)α 2

(x − a

)α3 ... (x − a

)α n (x2

+ p x + q )r1 ... (x2 + p x + q )rт .

Если числа x1 = a1;

x2 = a2 ;

... xn

= an

являются действительными корнями многочлена

Qn (x) , а квадратичные множители не имеют действительных корней и на множители первой степени с действительными коэффициентами не разлагаются.

О разложении рациональной дроби на простейшие

Пусть Pm (x)

Qn (x)

разложения на множители имеет вид:

Qn (x) = a0 (x − a1 )α1 (x − a2 )α 2 (x − a3 )α3 ... (x − an )α n (x2 + p1 x + q1 )r1 ... (x2 + p1 x + q1 )rn , где:

a1 , a2 … действительные корни, а квадратичные множители не имеют действительных корней. Определение: Дроби следующих типов называются простейшими:

I.A ;

x− a

		A		k = 2,3,4,...;
II.			;
	(x − a)k
III.		Ax + B			;	D < 0 ;
		x2 + px + q

IV.		Ax + B				; D < 0; k = 2,3,4,...
		(x2 + px + q)k

Простейшими будем называть многочлены, которые являются знаменателями простейших дробей.

Теорема: Любую правильную дробь единственным образом можно разложить на сумму простейших дробей.

В этой сумме каждому множителю вида (x − a )α

знаменателя, где a

= x - любой из

действительных корней, а α - его кратность, соответствует выражение вида:

+ ... +

Aα

, а каждому множителю (x2 + p x + q )rn

(x − a )α

(x − a )α −1

− a )α −2

(x − a )

знаменателя соответствует выражение вида:

x + Cr

B x + C

x + C

B x + C

+ ... +

, где

(x2

+ p x + q )rn −1

(x2

+ p x + q )rn −2

(x2

+ p x + q )

(x2 + p x + q )rn

A1 , A2 ,..., Aα ;

B1 , B2 ,..., Br

; C1 ,C2

,...,Cr

- действительные числа, подлежащие определению.

Алгоритм разложения

Исходную дробь привести к правильному виду (в дальнейшем будем рассматривать только правильную дробь).

Знаменатель дроби разложить на простейшие множители.

Представить исходную дробь в виде суммы всевозможных различных простейших дробей, в знаменателях которых стоят всевозможные множители знаменателя, а в числителях –

подынтегральной дроби до тех пор, пока не получится табличный интеграл

соответствующей степени многочлены с неопределенными коэффициентами. При этом множителю знаменателя кратности α будет соответствовать α простейших дробей, в знаменателях которых будут все степени множителя.

Контроль. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.

Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.

Приравнять числители исходной и получившейся дроби, вычислить коэффициенты. Для этого можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах правой и левой части равенства.

Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших дробей, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении.

Вычисляя интегралы от простейших дробей, необходимо иметь в виду, что:

1) простейшие дроби первых двух типов – почти табличные:

∫

dx = A∫ d(x − a) = Aln

x − a

+ C

x − a

∫

dx = A∫

d(x − a)

= A∫(x − a)

−k

(x − a)k

d(x

− a) =

+ C; k ≠ 1

(x − a)k

1− k

(x − a)k −1

2) при интегрировании простейшей дроби третьего (III) типа производим замену

переменной: t = x +

;

dt = dx и получаем, таким образом, два табличных интеграла:

t = x +

A t −

+ B

Ax + B

dt = dx

d(t

+ a

)

∫

dx =

= ∫

dt =

∫

x2 + px + q

x2 + px + q = t2 + a2

t 2 + a2

t2 + a2

= q −

B −

+ a

B −

arctg

+ C

∫ t2

+ a2

B − A

+ px + q

q −

3) если требуется проинтегрировать простейшую дробь четвертого (IV) типа

∫

Ax + B

, D < 0 , то сначала применяют замену переменной: t = x +

; в результате

(x2

+ px + q)k

получают два интеграла, из которых первый интеграл табличный, а при взятии второго

интеграла используется рекуррентная формула (1.3.2):

− 3

Jk =

Jk−1 ,

(1.3.2)

+ a

)

k−1

2k − 2

2(k − 1)(t

где, Jk

= ∫

(t2 + a2 )k

Рекуррентная формула (1.3.2) позволяет, таким образом, понижать степень знаменателя

t2 + a2 .

8x + 5

Пример 19. Найти интеграл: ∫ (x2 − 2x + 17)2 dx .

Решение:

Так как дискриминант квадратного трехчлена знаменателя отрицательный, то имеем простейшую дробь четвертого типа. Выделяем в числителе дроби производную трехчлена знаменателя: 8x + 5 = 4(2x − 2) + 13 .

	8x + 5		(2x − 2)dx	dx
∫		dx = 4∫(2x − 2) = 4∫		+ 13∫ [(x −1)2 + 16]2	=
∫	(x2 − 2x + 17)2	dx = 4∫(2x − 2) = 4∫	(x2 − 2x + 17)2	+ 13∫ [(x −1)2 + 16]2	=

t= x2 − 2x + 17;

=dt = 2(x −1)dx x −1 = u

dx = du

dt		du	4			du
= 4∫ t 2	+ 13∫		= −		+ 13∫
		[u2 + 16]2		x2 − 2x + 17		[u2 + 16]2

Последний интеграл вычисляем с помощью рекуррентной формулы (1.3.2) при k = 2, a2 = 16 .

∫ [u2 + 16]2

∫

4 arctg

+ C =

2 1 16

(u2 + 16)

u2 + 42

32(u2 +

16)

1 x −1

x −1

4 arctg

+ C

x2 − 2x + 17

Окончательно имеем:

∫

8x + 5

dx =

x −

arctg

x −1

−

+ C .

− 2x + 17)

− 2x + 17

Ответ:

x −1

arctg

x −1

−

+ C .

− 2x

+ 17

− 2x + 17

Пример 20. Найти интеграл: ∫

x2 +1

dx .

(x +1)4

Решение:

∫

x2 +1

A(x +1)3 + B(x +1)2 + C(x +1) + D

= R .

(x +1)4

x +1

(x +1)2

(x +1)3

(x +1)4

Приравниваем числители:

x2 + 1 = A(x + 1)3 + B(x + 1)2 + C(x + 1) + D = A(x3 + 3x2 + 3x + 1) + B(x2 + 2x + 1) + Cx + C + D .

0 = A

A = 0

1 = 3A + B

B = 1

0 = 3A + 2B + C C = −2

1 = A + B + C + D D = 2

Подставим полученные коэффициенты:

R =

−

(x + 1)2

(x + 1)3

(x + 1)4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб33высшая математика установочные лекции часть 3.pdf
#
26.07.201691.65 Кб12высшая математика характеристика дисциплины.pdf
#
26.07.2016505.36 Кб109высшая математика часть 2.pdf
#
26.07.2016500.27 Кб177математика и информатика курс лекций.pdf
#
26.07.20161.17 Mб253математика и информатика метод указания.pdf
#
26.07.2016483.87 Кб38математика индивид дом задания .pdf
#
26.07.2016721.05 Кб94метод указания по решению задач.pdf
#
26.07.2016547.48 Кб29методы анализа нелиненых цепей.pdf