Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика часть 2.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

505.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

sect

;

tgt =

x2 −

Так как

− 4

cost

;

sin t

Следовательно:

I =

sin t

ln sect + tgt + C = 2

− 4 x2

x2 − 4

+ C =

cos2 t

x x2

− 4

x + x2 − 4

+ C

Ответ:

x x2 − 4

x + x2

− 4

+ C .

1.5. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы от тригонометрических выражений различного типа во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить.

Типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования

1. Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg

2dt

= t; x = 2arctg t; dx =

1− t 2

2dt

∫ R(sin x, cos x)dx =

(1+ t 2 )

∫ R(

1− t 2

;1+ t2 )

cos x

; sin x =

1+ t 2

Пример 32. Найти интеграл ∫

sin3 3x

Решение

= t; x = 2arctg t; dx =

2dt

(1+ t 2 )

1+ t

∫

= 2∫

4 ∫

sin3 3x

sin x =

(1+ t 2 )(

+ t2

1+ t 2

1 2

1 1

2 x

= 4

∫(

+ t

+ t)dt = −

+ 2 ln

+ t

+ C

= −

8 ctg

2 ln

+ tg

+ C

8t2

Ответ: −

ctg

+ tg 2

+ C .

Пример 33. Найти интеграл∫ 5 + 2sin x + 3cos x .

Решение

= ∫ R* (t)dt (1.5.1)

= t; x

= 2arctg t; dx

2dt

(1+ t 2 )

∫

− t 2

= ∫

5 + 2sin x + 3cos x

3 − 3t 2

cos x =

2 ; sin x =

(1+ t

) 5

+ t

1+ t

+ 1

2dt

t + 1

∫

= ∫

5 + 5t 2

+ 4t + 3 − 3t 2 = ∫

2t 2 + 4t + 8

(t + 1)2 + 3

3 arctg

+ C =

3 arctg

+ C

(1+ t

)

1+ t

+ 1

Ответ:

3 arctg

+ C

2. Применение замены t = tgx .

m + n = 2 p; tgx = t; sin2 x =

∫ sinm x cosn x dx =

+ t2

= ∫ R(t)dt

cos2 x =

; x = arctg t; dx =

+ t2

1 + t2

Пример 34. Найти интеграл ∫ cos4 x .

Решение

∫	dx	=	tg x = t; cos	2	x =	1	; dx =	dt	= ∫	(1+ t 2 )2 dt	= ∫(1+ t2 )dt
						1+ t 2		1+ t 2
	cos4 x									1+ t2
				x = arctg t

= tg x + 13 tg3 x + C

Ответ: tg x + 13 tg3 x + C .

			cos6 x
Пример 35. Найти интеграл ∫ sin 4 x dx .
Решение
cos6 x	(1− sin 2 x)3	dx = ∫	1− 3sin2 x + 3sin 4 x − sin6 x	dx
∫ sin 4 x dx = ∫	sin 4 x	dx = ∫	sin 4 x	dx = ∫ sin 4 x

(1.5.2)

= t + t3 + C =

dx	+ 3∫dx +
− 3∫ sin 2 x

− ∫sin

x dx = ∫

d(x + π 2)

+ 3ctg x + 3x −

∫(1− cos 2x)dx = tg(x +

) +

(x + π

) +

cos

(x +

1 ctg3 x +

5 x +

1 sin 2x + C

+ 3ctg x + 3x −

1 x +

1 sin 2x + C

= −ctg x −

Ответ: − ctg x −

ctg3 x +

x +

sin 2x + C .

3. Внесение под знак дифференциала функции в нечетной степени

∫sin m x cosn x dx =	sin
	∫ (1.5.3)
= −∫ (1 − t2 ) p tn dt =	∫ (1.5.3)
	,

т.е. m - нечетное число.

Пример 36. Найти интеграл ∫cos5 x dx .

Решение

∫cos5 x dx = ∫cos4 x d(sin x) = ∫(1− sin 2 x)2 d(sin x) = ∫(1− 2sin x + sin 4 x) d(sin x) =

= sin x −	2 sin3	x +	1 sin5	.
				x + C
	3		5

Ответ: sin x − 23 sin3 x + 15 sin5 x + C .

Пример 37. Найти интеграл ∫ sindxx .

Решение

∫

= ∫

sin x dx

= −∫

d(cos x)

1 − cos x

+ С

sin2 x

2 ln

sin x

1 − cos2 x

1 + cos x

Ответ: 12 ln 11 +− coscos xx + С .

4). Понижение порядка выражения
																					m + n = 2 p; m ≥ 0; n ≥ 0
																					m + n = 2 p; m ≥ 0; n ≥ 0
									∫sin m x cosn x dx =									sin 2 x =		1	(1− cos 2x); cos2 x = 1 (1+ cos 2x)									(1.5.4)
																				2			1	2
																					sin x cos x =		1	sin 2x
																					sin x cos x =			sin 2x
																					2
Пример 38. Найти интеграл∫sin 2 5x cos4 5x dx .
Решение
	∫sin 2 5x cos4 5x dx = ∫													(sin 5x cos5x) cos2 5x dx = ∫								sin 2 10x				(1+ cos10x)			dx =
	∫sin 2 5x cos4 5x dx = ∫													(sin 5x cos5x) cos2 5x dx = ∫															dx =
	1									1									1		4			2
	1	∫sin 2 10x dx +								1	∫sin 2			10x cos10x dx =					1	∫(1− cos 20x)dx +					1		∫sin 2	10x d(sin10x) =
8		∫sin 2 10x dx +									∫sin 2			10x cos10x dx =						∫(1− cos 20x)dx +				80			∫sin 2	10x d(sin10x) =
8			1			1			8					16										80
=			1	x −		1		sin 20x +						1	sin3 10x + C
=		16		x −	320			sin 20x +					240		sin3 10x + C
		16			320								240
Ответ:						1	x −		1			sin 20x +				1	sin3 10x + C .
Ответ:					16		x −		320			sin 20x +					sin3 10x + C .
					16				320					240

5). Случай четных степеней тригонометрических функций

tgx = t; x = arctgt

∫ R(sin 2 x, cos2 x,sin x cos x)dx =

dx =

; sin 2 x =

t 2

)

1+ t

+ t

cos2 x =

1+ t 2

= ∫ R(

t 2

;

)

2dt

= ∫ R

(t)dt

1+ t 2

Пример 39. Найти интеграл ∫

2cos2 x + 10sin 2 x

Решение

tgx = t; x = arctgt

∫

dx =

; sin

= ∫

2 cos2 x + 10 sin 2 x

(1 + t2 )

1 + t2

(1 + t

10t2

)

+ t

1 + t

cos

2 x =

+ t2

10 t)

10 t

= ∫

arctg

+ C =

arctg

2 tgx + C

( 10 t)

+ ( 2)

2 10

(1.5.5)

∫ 10t2 + 2 =

	2	tg	x	+ 1
Ответ:	2	tg	2	+ 1
Ответ:	3 arctg			3	+ C .

6. Использование формул для преобразования произведений тригонометрических функций от различных аргументов

sin u sin v = − 1 [sin(u − v) + sin(u + v)]			(1.5.6)
	2
cos u cos v =	1	[cos(u − v) + cos(u + v)]	(1.5.7)
	2
sin u sin v =	1	[cos(u − v) − cos(u + v)]	(1.5.8)
	2

Пример 40. Найти интеграл ∫cos7x cos x dx .

Решение

∫cos7x cos x dx = 12 ∫[cos(7 −1)x + cos(7 + 1)x]dx = 12 ∫cos6xdx + 12 ∫cos8xdx = 121 ∫cos6xd(6x) + + 161 ∫cos8xd(8x) = 121 sin 6x + 161 sin 8x + C

Ответ: 121 sin 6x + 161 sin 8x + C .

Пример 41. Найти интеграл∫sin 6x sin 4x dx .

Решение

∫sin 6x sin 4x dx = − 12 ∫[cos(6 − 4)x − cos(6 + 4)x]dx = − 12 ∫cos 2xdx + 12 ∫cos10xdx = − 14 ∫cos 2xd(2x) + 201 ∫cos10xd(10x) = − 14 sin 2x + 201 sin10x + C

Ответ: − 14 sin 2x + 201 sin10x + C .

Пример 42. Найти интеграл∫sin12x cos6x dx .

Решение

∫sin12x cos6x dx = 12 ∫[sin(12 − 6)x + sin(12 + 6)x]dx = 12 ∫sin 6xdx + 12 ∫sin18xdx = = 121 ∫sin 6xd(6x) + 361 ∫sin18xd(18x) = − 121 cos6x − 361 cos18x + C

Ответ: − 121 cos6x − 361 cos18x + C .

7). Интегралы вида ∫tg m x	secn xdx и ∫ctg m x cosecn xdx , (где n - четное число вычисляются
с помощью формул sec2 x = 1	+ tg 2 x или cosec2 x = 1+ ctg 2 x

Пример 43. Найти интеграл∫tg 5 x dx .

Решение

∫tg

x dx = ∫tg

x tg

xdx = ∫

−1)tg

xdx = ∫tg

− ∫tg

x tgx

(

cos2 x

cos2

= ∫tg

xd(tgx)

−∫tgxd(tgx) =

4 tg

− ∫(

−1)tgxdx = 4 tg

x − ∫tgx

+ ∫tgxdx =

cos2 x

= 1 tg 4 x − 1 tg 2 x − ln

cos x

+ C

Ответ: 14 tg 4 x − 12 tg 2 x − ln cos x + C .

Пример 44. Найти интеграл∫ctg3 x dx .

Решение

∫ctg

x dx = ∫ctg

x ctgxdx = ∫(

− 1)ctgxdx = ∫ctgx

− ∫ctgxdx = − ∫ctgxd(ctgx) −

sin

− ∫

cos x

dx = −

ctg 2 x − ∫

d(sin x)

= −

ctg 2 x − ln

sin x

+ C

sin x

8). Интегралы вида ∫sec2n+1 xdx и ∫cosec2n+1 xdx вычисляются по рекуррентным формулам

как интегралы от нечетной положительной степени секанса и косеканса:

∫sec

2n+1

sin x

)∫sec

2n−1

xdx =

+ (1

−

xdx

(1.5.10)

cos2n

∫cosec	2n+1		1	cos x		1	)∫cosec	2n−1
		xdx = −		sin 2n	+ (1−				xdx	(1.5.11)
		xdx = −	2n	sin 2n	+ (1−	2n			xdx	(1.5.11)

Пример 45. Найти интеграл∫tg 4 x sec6 xdx .

Решение

∫tg 4 x sec6 xdx = ∫tg 4 x(1+ tg 2 x)2 sec2 xdx = ∫tg 4 x(1+ tg 2 x)2 d(tgx) =

=∫tg 4 x(1+ 2tg 2 x + tg 4 x)d(tgx) = ∫tg 4 xd(tgx) + 2∫tg 6 xd(tgx) + ∫tg8 xd(tgx) =

=15 tg 5 x + 72 tg 7 x + 19 tg9 x + C

Ответ: 15 tg5 x + 72 tg7 x + 19 tg9 x + C .

Пример 46. Найти интеграл∫cosec5 xdx .

Решение

∫ cos ec

xdx =

используем рекурентную

= −

cos x

∫ cos ec

xdx =

(1.5.11)

формулу(1.5.11)

sin4 x

2n + 1 = 3, n = 1

2n + 1 = 5, n = 2

	1	cos x				3			1			cos x				1						1	cos x
= −					+		−								+		∫ cos ecxdx				= −
	4	sin	4	x		4			2		sin		2	x		2						4	sin	4	x

Ответ: −			1		cos x			−		3		cos x			+	3	ln	tg	x	+ C

			4		sin4 x							sin2 x				8
									8									2

Пример 47. Найти интеграл∫sec3 xdx .

Решение

−	3	cos x	+	3 ln	tg	x	+ C
	8	sin 2 x				2
				8

∫sec

xdx

используем рекурентную

sin x

∫sec xdx =

sin x

∫

фомулу(1.5.10)

cos2 x

cos x

2n + 1 = 3, n = 1

= 1

sin x

+ 1 ln

tg(

+ π )

+ C

cos2 x

Ответ:

sin x

+ π )

+ C .

tg(

cos2 x

1.6.Тесты (теория)

1.Дать определение первообразной.

2.Чем отличаются две первообразные для одной и той же функции?

3.Для каких функций существует первообразная на заданном интервале?

4.Что называется неопределенным интегрированием?

5.Что называется неопределенным интегралом?

6.В чем заключается основное отличие операции интегрирования от операции дифференцирования?

7.Каким знаком обозначается интеграл?

8.Какая функция называется подынтегральной функцией?

9.Какие выражения называются подынтегральными выражениями?

10.Перечислите основные свойства неопределенного интеграла?

11.Перечислите основные способы вычисления интегралов

12.Назовите основные способы вычисления интегралов?

13.В чем заключается замена переменной в неопределенном интеграле?

14.Запишите и объясните формулу интегрирования по частям.

15.Приведите пример применения формулы интегрирования по частям.

16.Что называется рациональным выражением?

17.Какая рациональная дробь называется правильной?

18.Каким образом не правильная рациональная дробь переводится в правильную?

19.Какие правильные дроби называются простейшими?

20.Сколько типов простейших дробей вы знаете?

21.Какие числа называются корнями многочлена?

22.Можно ли правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей?

23.При каких условиях правильную рациональную дробь можно разложить на простейшую?

24.Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей 1, 2, 3 типов.

25.Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители.

26.Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простейших действительных корней знаменателя. Приведите пример.

27.Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае действительных кратных корней знаменателя. Приведите пример.

28.Изложите правило разложения правильной дроби на простейшие для случая, когда среди корней знаменателя имеются пары простых комплексно-сопряженных корней.

29.Какие выражения называются иррациональными?

30.В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?

31.Приведите наиболее типичные случаи рационализации интегралов от иррациональных функций.

32.Какого вида интегралы от иррациональных функций сводятся к интегралам от функций, зависящих от тригонометрических функций?

33.В каких случаях интегралы от дифференциальных биномов сводятся к интегралам от рациональных функций?

34.Перечислите типы тригонометрических выражений и способы их интегрирования?

35.Приведите интегралы от тригонометрических функций, которые рационализируются с помощью подстановки t = sin kx и t = cos kx .

36.Интегралы какого вида от тригонометрических функций целесообразно рационализировать с помощью подстановки t = tgkx .

37.Интегралы какого вида при помощи универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралу от рациональной дроби новой переменной?

38.В каких случаях можно упростить подынтегральную функцию с помощью формул понижения четных степеней синуса и косинуса?

39.При вычислении интегралов какого вида используется тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму?

40.С помощью каких формул можно понизить степень тангенса или котангенса при интегрировании тригонометрических функций?

41.Приведите прием вычисления интегралов от нечетной положительной степени секанса или косеканса с помощью рекуррентных формул.

42.Интегралы какого вида можно упростить с помощью формул понижения четных степеней секанса и косеканса?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб33высшая математика установочные лекции часть 3.pdf
#
26.07.201691.65 Кб12высшая математика характеристика дисциплины.pdf
#
26.07.2016505.36 Кб109высшая математика часть 2.pdf
#
26.07.2016500.27 Кб177математика и информатика курс лекций.pdf
#
26.07.20161.17 Mб253математика и информатика метод указания.pdf
#
26.07.2016483.87 Кб38математика индивид дом задания .pdf
#
26.07.2016721.05 Кб94метод указания по решению задач.pdf
#
26.07.2016547.48 Кб29методы анализа нелиненых цепей.pdf