Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика часть 2.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

505.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

∫cos udu = sin u + C .

∫cos12 udu = ∫sec2udu = tgu + C .

∫sin12 udu = ∫cos ec2udu = −ctgu +С .

∫

a2 − u2

du = arcsin a

+ C = − arccos a

+ С.

∫

arctg

+ C = −

arcctg

+ C .

+ a

∫

du =

a + u

+ C .

− u

a − u

∫ u 2 + b du = ln u

+ b

+ C .

(1.1.13)

(1.1.14)

(1.1.15)

(1.1.16)

(1.1.17)

(1.1.18)

(1.1.19)

Каждая из формул приведенной таблицы справедлива на любом отрезке, находящегося в области определения соответствующей подынтегральной функции.

1.2. Способы нахождения интегралов

1.2.1. Табличное интегрирование

Интегрирование с помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов элементарных функций.

Пример 1. Найти интеграл: ∫64 x3 dx и проверить дифференцированием полученный результат.

Решение:

							3								7
							3		dx = 6 x 4											24 4
∫64 x3 dx = 6∫ x																+ C =								x7 + C .
∫64 x3 dx = 6∫ x								4								+ C =								x7 + C .
														7							7
														4
Проверка:
24 4			7							24		7							24			7		3		3		4			3
24 4			7							24									24			7						4			3
		x		+ C		'	=				x 4 + C						' =							x 4 = 6x 4			= 6			x		.
	7	x		+ C		'	=			7	x 4 + C						' =		7			4		x 4 = 6x 4			= 6			x		.
	7									7									7			4
Ответ:			24 4		x7		+ C .
				7
Пример 2. Найти интеграл: ∫																			x4 − 3x2 + 53 x								2 − 7x + 6						dx .
Пример 2. Найти интеграл: ∫																									3	x							dx .
																										x
Решение:
	x − 3x2 + 53 x2 − 7x + 6																				11				5				2					−	1		3	14		9	8

∫																dx =			∫(x 3 − 3x 3 + 5								− 7x		3 + 6x						3 )dx =			x 3	−		x 3 + 5x
∫					3	x										dx =			∫(x 3 − 3x 3 + 5								− 7x		3 + 6x						3 )dx =	14		x 3	−	8	x 3 + 5x
						x																														14				8	.
	21	5			2											3				9							21														.
		5			2						3		2					4					2
											3		2					4					2
−	5	x 3 + 9x 3 + C =										x		(14 x					−	8 x				+ 53 x −			5 x		+ 9) + C

Указание:

в данном интеграле числитель делим на знаменатель 3 x почленно и затем интегрируем.

при вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной, обозначаемой обычно буквой С.

Ответ:

(

−

x −

x + 9)

+ C .

+ 5

Пример 3. Найти интегралы:

1) ∫

(1+

x)3

dx ;

2) ∫

(4 + 2 x)(x3 + 3)

dx .

Указание:

в первом интеграле необходимо сначала числитель возвести в куб, полученный многочлен разделить на знаменатель x и после этого проинтегрировать;

во втором интеграле в числителе перемножить многочлены, произведение разделить на знаменатель 3 x2 , после чего выполнить интегрирование.

Ответ: 1) 2 x + 3x + 2x x + x2	+ C ; 2)	∫ 6 x3 3	x +	12 x3 6	x5 + 603	x + 126 x5 + C .
2		5		23

Пример 4. Найти интегралы, используя свойства неопределенных интегралов:

−

∫

cos

4 dx

1) ∫

dx ; 2)

Решение:

1) ∫

dx = ∫

+ 2

x +

+ 4x −

+ C .

∫

−4

−

− x3

x 3 −

+ C =

= ∫

cos

dx = 3tgx −

cos

3tgx −

3 3

−

+ C

3x3

Ответ: 1)

+ 4x −

+ C ; 2)

3tgx −

3 3

−

+ C .

3x3

Пример 5. Найти интегралы:

1) ∫

; 2)

∫

+ 1

−

Решение:

1) ∫

∫

arctg

+ C =

arctg2x + C .

+ 1

2) ∫

x − 5

+ C =

x − 5

+ C .

2 5

x + 5

− 25

Ответ: 1)	1	arctg2x + C ; 2)		1		x − 5	+ C
					ln
	2		10			x + 5

1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала

Если известен интеграл ∫ f (x)dx = F(x) + C , то следующие интегралы могут быть вычислены с помощью линейного преобразования выражения под знаком дифференциала:

1. ∫ f (x + b)dx = ∫ f (x + b)d(x + b) = F(x + b) + C .

(1.2.1)

2. ∫ f (ax)dx =

∫ f (ax)d(ax) =

F(ax) + C .

(1.2.2)

∫ f (ax + b)dx =

∫

f (ax + b)d(ax + b) =

F(ax + b) + C .

(1.2.3)

Пример 6. Найти интеграл: ∫sin(7x − 8)dx .

Решение:

∫sin(7x − 8)dx =

1 ∫sin(7x − 8)d(7x − 8)

= −

1 cos(7x − 8) + C .

Ответ: −

cos(7x − 8) + C .

Пример 7. Найти интегралы:

1) ∫2x(x2 + 8)3 dx ; 2) ∫2x x2 + 9dx ; 3) ∫ x2 3 x3 + 16dx .

Решение:

1) ∫2x(x2 + 8)3 dx = ∫(x2 + 8)3 d(x2 + 8)

= 1

(x2 + 8)4 + C .

d(x2 + 9) = x

+ 9 2

+ C = 2

2) ∫2x x2 + 9dx = ∫(x2 + 9)

(x2 + 9)3 + C .

1 (x3 + 16) 3

1 3 (x3

3) ∫ x2 3 x3 + 16dx =

1 ∫(x3 + 16)

d(x3 +

16)

+ C =

+ 16)4 + C .

Ответ: 1)

(x2

+ 8)4 + C ;

(x2 + 9)3 + C ;

1 3

(x3

+ 16)4

+ C .

Пример 8. Найти интегралы:

1) ∫

dx ;

2) ∫

sin 2x

dx ;

3) ∫

dx ;

2x + b

+ cos 2x

b − 3x

4) ∫

dx ;

5) ∫

e2 x

dx ;

∫

dx .

+ 3x

25 + e

2 x

x ln

Решение:

1) ∫

dx =

1 ∫

d(2x + b)

1 ln(2x + b) + C .

2x + b

∫

sin 2x

dx = −

∫

d(1 + cos 2x)

= −

1 ln(1 + cos 2x) + C .

+ cos 2x

1 + cos 2x

∫

dx = −

∫

d(b − 3x)

= −

1 ln(b − 3x) + C .

b − 3x

4) ∫

∫

d(14 + 3x4 )

14 + 3x

+ C .

14 +

14 + 3x

5) ∫

e2 x

dx =

∫

d(25 + e2 x )

25 + e

2 x

+ C .

25 + e

2 x

25 + e

2 x

∫

dx =

∫

d(ln x)

= ∫ln

−3

xd(ln x)

= −

+ C .

x ln

2 ln

Ответ: 1)

ln(2x + b) + C ;

2) −

ln(1+ cos 2x) + C ;

14 + 3x4

+ C ;

25 + e2 x

+ C ;

6) −

Пример 9. Найти интегралы:

∫

dx ;

2) ∫

sin x

;

3) ∫

sin x cos x

1 + x

− sin

15 + 2 cos x

Решение:

3) −		1	ln(b − 3x) + C ;
3) −	3		ln(b − 3x) + C ;
	3
1	+ C .
2 ln2 x	+ C .

∫

3 dx =

1 ∫ d(1

+ x3 )

= 1 ∫(1 + x3 )

−

d(1 + x3 ) =

1 + x3 + C .

1 + x

∫

sin x

dx = −

∫ d(15 + 2 cos x)

15 + 2 cos x

−

1 ∫(15 + 2 cos x)−

d(15 + 2 cos x) = 15 + 2 cos x + C

∫

sin x cos x

∫

d(2 − sin 2 x)

∫(2 − sin

−

dx = −

= −

2 d(2 − sin

x) = − 2

− sin

x + C .

2 − sin

− sin

Ответ: 1)

1+ x3

+ C

;

15 + 2 cos x + C ;

3) −

2 − sin2 x + C .

1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала

Один из множителей подынтегральной функции можно подвести под знак дифференциала. Для этого необходимо вычислить первообразную этого множителя и записать ее под знаком дифференциала.

В дальнейшем все дополнительные вычисления и рассуждения будем записывать между двумя вертикальными чертами.

∫[f (Y '(x)) Y '(x)]dx = ∫[f (Y (x))]dY (x) = F(Y (x)) + C

(1.2.4)

Совет. Если после внесения одного из множителей под знак дифференциала возникли затруднения в дальнейших действиях, смело заменяйте полученное выражение под знаком дифференциала на новую переменную.

Пример 10. Найти интегралы:

∫sin 5 x cos xdx ;

2) cos8 9x sin 9xdx ;

3) ∫

acrtg x

dx ;

1 + x

∫

ln 2 x

;

5) ∫

arcsin2 x dx .

1 − x

Решение:

∫sin5 xcos xdx = ∫sin5 xd(sin x) = sin6 x + C .

cos8 9xsin 9xdx = −

∫cos8 9xd(cos9x) = −

cos9 9x

+ C = −

cos9

9x + C .

∫

acrtg 7 x

dx = ∫arctg

xd(arctgx) =

arctg8 x

+ C .

1+ x2

∫ ln2 x dx = ∫ln2

xd(ln x) = ln3 x + C .

∫

arcsin x

1− x2

∫(arcsin x) 2 d(arcsin x) = 3

(arcsin x)

+ C .

Ответ: 1)

sin6 x

+ C ; 2) −

cos

9x + C ; 3)

arctg8 x

+ C ;

ln3 x

+ C ; 5)

(arcsin x)

+ C .

Пример 11. Найти интегралы:

∫ x(3x − 2)

dx ; 2) ∫ x

3) ∫

xdx

sin(x

+ 1)dx ;

dx ;

x2 + 1

∫

; 5)

∫

; 6) ∫

x x

− a

2ax − x

x + 2 + 8

Решение:

∫ x(3x − 2)24 dx =

dx = 1 dt; x = t + 2

= 1

∫(t + 2)t24 dt =

1 ∫(t 25

+ 2t 24 )dt =

t = 3x − 2;

2t25

+ C =

(3x

− 2)26

2(3x − 2)25

+ C

250

∫ x2 sin(x3 + 1)dx =

1 dt;

1 ∫sin tdt = − 1 cost + C =

t = x3 + 1;

x2 dx =

3x2 dx = dt

= −

1 cos(x3 + 1) + C

∫

xdx

∫

dx =

t = x

+ 1;

xdx

2 dt;

2xdx = dt

2 ln

+ C = 2 ln

+ 1

+ C

x2 + 1

1 ln(x2 + 1) + C

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016178.67 Кб20высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб23высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб111высшая математика теоретический материал часть 3.pdf
#
26.07.2016158.98 Кб36высшая математика установочные лекции часть 3.pdf
#
26.07.201691.65 Кб14высшая математика характеристика дисциплины.pdf
#
26.07.2016505.36 Кб115высшая математика часть 2.pdf
#
26.07.2016500.27 Кб209математика и информатика курс лекций.pdf
#
26.07.20161.17 Mб273математика и информатика метод указания.pdf
#
26.07.2016483.87 Кб41математика индивид дом задания .pdf
#
26.07.2016721.05 Кб106метод указания по решению задач.pdf
#
26.07.2016547.48 Кб32методы анализа нелиненых цепей.pdf