- •Предисловие
- •Общие рекомендации студенту заочнику
- •Работа с учебником
- •Решение типовых задач
- •Ответы на тестовые задания
- •Установочные лекции и практические занятия
- •Контрольные вопросы
- •Зачеты и экзамены
- •Требования к выполнению контрольных работ
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Основные понятия и свойства
- •1.2. Способы нахождения интегралов
- •1.2.1. Табличное интегрирование
- •1.2.2. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала
- •1.2.3. Подведение (внесение) под знак дифференциала
- •1.2.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.2.5. Интегрирование по частям
- •1.3. Интегрирование рациональных выражений
- •1.4. Интегрирование иррациональных выражений
- •1.5. Интегрирование тригонометрических выражений
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Основные свойства и определения
- •2.2. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.3. интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.4. Несобственные Интегралы
- •2.4.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода)
- •2.4.2. Несобственный интегралы от неограниченных функций (II рода)
1. Неопределенный интеграл
1.1. Основные понятия и свойства
Как известно, основной задачей дифференциального исчисления является нахождение для заданной функции F(x) ее производной F'(x) = f (x) или ее дифференциала
dF(x) = F'(x)dx = f (x)dx . Обратная задача, состоящая в нахождении функции F(x) по известной производной f (x) или дифференциалу f (x)dx , представляет собой основную задачу интегрального исчисления. Операции дифференцирования и интегрирования взаимообратны.
Определение: Первообразной функции |
f (x) на [a, b] называется функция F(x) , |
|
производная которой равна f (x) для x [a,b] , т.е. |
|
|
F'(x) = f (x) |
или dF(x) = f (x)dx |
(1.1.1) |
Теорема: Если есть две первообразные функции f (x) , то они отличаются друг от друга на постоянную величину.
Определение: Множество всех первообразных функций f (x) называется неопределенным интегралом.
∫ f (x)dx = F(x) + C |
(1.1.2), |
где ∫ - знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, |
f (x)dx - подынтегральное |
выражение, С – произвольная постоянная. Равенство (1.1.2) дает общий вид первообразной функции. На вопрос о том, имеет ли данная функция f (x) первообразную, дает ответ основная
теорема интегрального исчисления.
Теорема: Непрерывная на отрезке [a,b] функция f (x) интегрируема в x [a,b] .
Определение: Процесс нахождения первообразной функции для заданной непрерывной функции f (x) называется интегрированием.
Свойства неопределенного интеграла. |
|
|
|
||||||||||||
1. |
∫ dF(x) = F(x) + C . |
(1.1.3) |
|||||||||||||
2. |
d ∫ f (x)dx = f (x)dx . |
(1.1.4) |
|||||||||||||
3. ∫αf (x)dx = α ∫ f (x)dx . |
(1.1.5) |
||||||||||||||
4. ∫[ f1 (x) + f2 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx + ∫[ f2 (x)dx |
(1.1.6) |
||||||||||||||
5. [∫ f (x)dx]'= [F(x) +C]'= f (x) . |
(1.1.7) |
||||||||||||||
6. Если ∫ f (x)dx = F(x) + C , то ∫ f (u)du = F(u) + C , где u = u(x) - |
дифференцируемая |
||||||||||||||
функция |
(1.1.8) |
|
|
|
|
|
|||||||||
Таблица основных интегралов элементарных функций ( u = u(x) ): |
|||||||||||||||
∫uα du = |
uα +1 |
+ C, (α ≠ −1) . ∫ du = u + C . |
|
|
|
||||||||||
(1.1.9) |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
α + 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
∫ |
1 |
du = ln |
|
u |
|
+ C . |
(1.1.10) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ au du = |
|
|
au |
+ C . ∫eu du = eu + C . |
(1.1.11) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln a |
|
|
|
|||||||||
|
∫sin udu = − cos u + C . |
(1.1.12) |
|||||||||||||
8