11. Доверительные интервалы.

Рассмотренные оценки результатов измеренийA_cp;σ^*_Acp;σ_Δ^* выражаются одним числом и называются точечными. Так как такую оценку принимают за действительное значение измеряемой величины, то встает вопрос об её точности и надежности. Судят об этом по вероятности α того, что абсолютная величина отклонения Δ_сл=А₀-А_ср будет оставаться меньше некоторой назначенной величины ε: Р(|Δ_сл|)≤ε=α (4.16)

или Р(А₀-А_ср ||)≤ε=α (4.17) В (4.17) величина ε характеризует точность, а α надежность оценки. Поэтому вероятность α называют доверительной вероятностью.

Равенство (4.17) можно переписать в виде P(A_cp-ε≤A₀≤A_cp+ε)=α (4.18) Выражение (4.18) показывает, что интервал Δ_α=2ε с вероятностью α накрывает величину A₀. Поэтому его называют доверительным интервалом. Подставим в выражение (4.16) нормированные величины: X=Δ_сл/δ_Δ и β=ε/δ_Аср

Тогда можно записать известное из теории вероятностей равенство Р(-β≤X≤β)=F(β)-F(-β)=α (4.19) Значит, если известна функцияF(x), то конкретное значение α определяет значение β и наоборот. Кроме того, из сопоставления (4.19) и (4.6) получаем равенство α=Ф(β). (4.20) С учетом изложенного определение интервальной оценки можно выполнить в следующем порядке.

1. По результатам измерений вычисляют.A_cp;σ^*_Acp;σ_v^* 2. Задают доверительную вероятность α , обычно α>0.9. 3. По таблице интеграла вероятности Ф(х) находят при Ф(х) =α значение X. Это значение принимают равным β.

Так как β=ε/ σ^*_Acp, то ε=β· σ^*_Acp a Δ_α=2ε. При малом числе измерений 2 < п < 20 доверительный интервал должен быть расширен. С этой целью вместо коэффициента β в (4.21) используют коэффициент Стьюдента t_cm. Его значения рассчитаны для различных п и α. Результаты расчетов табулированы.

Обратная задача – определение α по Δ_α Ф(β)=α=2F(β)-1=2F([ε/ σ^*_Acp]-1) где ε/ σ^*_Acp=β. При п < 20 α=2F(t_cm)-1=2(ε/ σ_Acp)-1, где ε/ σ_Acp= t_cm В ряде случаев закон распределения погрешности неизвестен, но известны числовые характеристики A_cp;σ^*_Acp;σ_v^* . В этих случаях для грубой оценки снизу доверительной вероятности α при заданном доверительном интервале Δ_α=2ε можно воспользоваться неравенством Чебышева α=P(|A₀-A_cp|≤ε)≥1-σ^*2_Acp/ε². (4.22) Используя неравенство Чебышева легко определить доверительный интервал, если задана доверительная вероятность α≥1- σ^*2_Acp/ε² ; → σ^*2_Acp/ε²≥1- α ; (σ^*2_Acp)/1- α) ≥ ε² откуда ∆_α=2ε ≤ 2σ^*2_Acp/(√1- α) .

12. Общие требования к методам обработки.

Суть требований к статистическим методам обработки сводится к следующему: А) Метод обработки должен определяться видом измерений (прямые, косвенные, совместные и совокупные); Б) Если требуемый массив данных сразу получить нельзя, необходимо собрать его в разные интервалы времени. В этом случае массив будет состоять из нескольких групп данных, полученных в разных условиях, но требующих совместной обработки. В) В качестве оценки результата рекомендуется использовать его среднее арифметическое – А_ср, а в качестве оценки погрешности – среднее квадратическое отклонение. Эти оценки наиболее отвечают требованиям по быстроте и трудоемкости обработки. Г) Точность получаемых экспериментальных данных должна соответствовать требуемой точности результата измерений. При обработке промежуточных результатов измерений требуется удерживать на одну – две значащих цифры больше, чем требуется в окончательном результате. Д) До начала обработки данные эксперимента тщательно анализируются.

Последовательность анализа:

1. Выявляют отдельные результаты измерений, значения которых резко отличаются от остальных. Если имеется твердая уверенность, что допущено неверное действие оператора, то такой результат исключают из последующей обработки. Во всех других случаях применяют статистические методы проверки наличия грубой ошибки.

2. Число измерений во многом определяет метод обработки.

При большом числе измерений (п>50) принято группировать данные. Все результаты выстраивают по их значению в ряд от A_nmin до A_nmax, а полученный диапазон значений разбивают на l интервалов. Количество интервалов l можно определить по формуле Старджесса: ℓ =1+1.31lgn. (5.1)

3. Определяют ширину интервала h по выражению h=( A_nmax- A_nmin)/ ℓ. (5.2)

Вычисленное значение ширины интервала h округляют до целого значения. Например A_nmin=11 , A_nmax=24 ; п = 100; l = 8; h = (24-11)/8 = 1,63 ≈ 2. Подсчитывают число измерений m, попавших в каждый интервал.

4. Для предварительной оценки вида распределения строят гистограмму распределений. Гистограмма - это ступенчатая фигура из l прямоугольников, на плоскости А, m_i (рис. 5.1) или А, Р_i , причем Р_i = m_i/п, m_i – частота, а Р_i – частость. Иногда строят полигон – ломаная линия.

5. Далее проводится проверка гипотезы о том, что распределение не противоречит нормальному. Проверка проводится по критерию X² (критерий Пирсона).