8. Оценки случайных погрешностей.

Вероятность появления случ. величины Р. Пр: Р = 0с, 1с, 2с, 3с, 4с Р=1/n=1/5 Р=0 невозможное событие. Р=1 заранее известное событие. Чтоб скорость сл. в-ну погр. нужно знатьдиапазон величины и вероятность погрешности на [a,b] От а до б случ. вел. может принимать любое значение т.е. является непрерывной функцией, т.к. кол-во значений n→∞ P→0. d∆=∆₂-∆₁ A+∆₁<A<A+∆₂ т.е. сл. в-на попадает в интервал (∆₁,∆_n) будет хар-ся W(∆)d∆ . W(∆) – плотность распр-я вероятности, тогда вероятность того, что сл. в-на окажется в пределах заданного интервала. Может определятся P=∫_{∆1 ∆2}W(∆)d∆

в общем случае сл. в-на может принимать любые значения P=∫_{-∞ ∞}W(∆)d∆=1 учитывает площадь под кривой. Мат ожидание – ср. значение сл. в-ны m_A=∫_{-∞ ∞}A·W(A)dA это наиболее вероятное зн-е ожидаемой в-ны.Среднеквадратическое зн-е – отклонение сл. в-ны от мат ожидания называют дисперсией (рассеивание) (m_A-A)²=∫_{-∞ ∞}(m_A-A)²W(A)dA=δ² √ δ²= δ W(∆) – обобщённая хар-ка сл. в-ны, если к ней предъявить требования (чётность, монотонность,конечное знач мат ожид) то получим нормальный закон распределения:

Для нормального закона распределения формула плотности распределения абсолютных погрешностей ∆_cn имеет вид: , (4.1) где: δ_Δ и m_Δ - соответственно среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание случайной погрешности; Δ - фиксированное значение (уровень) случайной величины Δ_сл.

Если m_Δ=0, а величина Δ нормирована значением δ_Δ, т.е. введено х=Δ/δ_Δ, то выражение (4.1) принимает вид: (4.2)

Функция нормального распределения определяется как интеграл от (4.2):

. (4.3)

9. Обнаружение грубых погрешностей.

При статистической обработке результатов измерений необходимо убедиться в том, что они не содержат грубых ошибок. Эта задача решается статистическими методами. Для нормального распределения рассчитаны границы максимально и минимально допустимых погрешностей при п измерениях. Расчеты сведены в таблицы, которые определяют нормированный критерий разброса результата от среднего значения:

(4.14)

Критерий t_Г рассчитан в зависимости от п и от уровня значимости – q%. Уровень значимости q выбирают достаточно малым, чтобы была малой вероятность ошибки. Поэтому таблицы называют таблицами q – процентных точек распределения.

Чтобы определить наличие грубой ошибки в К-ом результате A_nK, необходимо сначала вычислить t_ГК

, (4.15)

где А_ср и определяют с учетом всехп результатов. Затем, выбрав уровень значимости q, по таблицам находят t_Г. Если t_Гк> t_г, то А_nК можно отбросить.

10. Погрешности косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомая величина А функционально связана с другими величинами - x, y,…t, которые и подвергаются прямым измерениям. Поэтому и абсолютная погрешность величины Δ_А является некоторой функцией погрешностей прямых измерений ∆_A=F(∆_x, ∆_y, ∆_t)

Например, для случая одной переменной А=f(x). В результате измерения получим

A+ Δ_А=f(x+Δ_x). (4.23) Разложим правую часть (4.23) в ряд Тейлора и сохраним члены разложения, содержащие Δ_x в первой степени. Тогда . (4.24) Это выражение показывает что А=f(x).Δ_A=±df(x)·∆_x/dx

В общем случае абсолютная погрешность находится геометрическим суммированием:

,

где слагаемые – квадраты частных погрешностей прямых измерений.

Прямые измерения величин x, y,…t могут выполняться путем многократных наблюдений, с определением точечных оценок x_cp,y_cp,…t_cp, а также . Тогда оценка среднеквадратического значения абсолютной погрешности косвенных измерений определяется формулой

Появились остаточные значения.