шпоргалка / Шпора1

7. Гистограмма распределения случайной величины. Ф-я плотности вероятности

её распределения.

Пусть производится многократное измер–е физ. вел. х в одних и тех же внешних условиях. При этом истинное знач-е вел-ны х (Х_ИСТ) не известно, и в процессе измерений нах-ся оценка Х_ИСТ – Х_ДЕЙСТВ, которая при увеличении числа измерений приближается к её ист-му значению. В процессе измер-й появляются знач-я Х_min ≤ Х ≤ Х_max При этом произв-ся некоторое количество измерений (напр-р, п =50)

Нах-ся интервал измер-я Х_max- Х_min = ∆Х , который разбивается на К – равных промежутков (напр-р К = 5)

Опред-ся число знач-й измер-ой вел-ны, попадающих в каждый интервал, и строится таблица:

nk	5	12	18	11	4	…..
nk/n	0,1	….	…	..	..	..

С троится гистограмма случ вел-ны Х

Из рис1 видно, что частота измер-х значений Х достигает максимума в районе середины, что указывает на то ,что где-то в приделах этого прямоугольника находится истинное значение измеряемой величины.

Появление измеряемых значений Х , как в сторону уменьшения, от центра распределения(влево), так и в строну увеличения значений Х (право), снижается

Частота появления тех или иных измеренных знач-й Х определяет вероятность получения тех или иных измер-х значений.

При увеличении числа интервалов n_K ступенчатая ф-я рис1 может быть заменена некоторой плавной кривой f(x), кот-я наз-ся ф-цией плотности вер-ти появление тех или иных измер-х знач-й величины Х, а dP = f(x)dx – вероятность показания тех или иных измеренных значений вел-ны х в тот или иной интервал dx

При этом поведение ф-и f(x) практически повторяет ход гистограммы.

Явный вид функции f(x), т.е. вер-ти появления того или иного значения х в процессе измерения называется законом распределения случайной вел-ны х.

Наиболее вер-е значение –Х₁ - max f(x).

Знач-е Х₁ – мода распределения.

Наблюдаются различные виды ф-и f(x) или разл-е виды з-ков распред-я Х

Законы

равномерное распр-е вероятности появления случ-х вел-п в некотором ограниченном интервале х (отсутсвуетмода)

Треугольный закон распределения случайной величины

Трансцеидальный закон распределения

Нормальный закон распределения

Наиболее часто проявляется при поведении серии прямых равноточных измерений одной и тоже величине х при большом количестве измерений(п ≥ 15) п ≥15 – серия большой выборки п < 15малой выборки

Особенности закона норм распределения

1) имеется явно выраженный центр (мода) закона распределения

2) ход кривой ф-и f(x) симметричен относительно центра распределения, т.е вер-ть появления измеренных значений величины х, симметричных относительно центра, становится одинаковой при большом числе измерений

3)Рассеяние измеренных значений относительно центра уменьшается с уменьшением пар-ра σ, где

σ – среднеквадратичное отклонение (СКО) f(x), опред-ся по результатам измер-й

Вер-ть для данного значения σ появления измеренного знач-я Х в интервале dx численно равна заданной на площади квадратной трапеции, делённой на площадь фигуры ограниченной кр-й распределения и осью Х(вер-ть≤1) реал-е значение вер-ти события(вер-ть достоверн события) = 1

Ф-ия f(x) нормируется на 1-цу так называемым углом нормировки

(1)

Равенство (1) показывает, что любое измеренное значение величины х в интервале (-∞ ;+∞) явл-ся событием достоверным, вер-ть которого=1

Интеграл имеет геометрический смысл площади отсюда следует, что площади ограниченные кривыми норм. закон распред. для разных σ, одинаковы и равны 1