Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
36
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
3.23 Mб
Скачать

§5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке

1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера. Введем понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и определим классы функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Пусть функция определена и непрерывна на сегменте .

Определение 1. Для каждого назовем модулем непрерывности функциина сегментеточную верхнюю грань модуляна

множестве всех и,принадлежащих сегментуи удовлетворяющих условию.

Будем обозначать модуль непрерывности функции на сегменте символом . Итак, по определению

.

Непосредственно из теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1) вытекает, что модуль непрерывности любой непрерывной на сегментефункциистремится к нулю при 14.

Однако для произвольной только непрерывной на сегменте функции нельзя, вообще говоря, ничего сказать о порядке ее модуля непрерывности относительно малого. Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции.

Утверждение. Если функция дифференцируема на сегментеи ее производнаяограничена на этом сегменте, то модуль непрерывности функциина указанном сегментеимеет порядок 15.

В самом деле, из теоремы Лагранжа16 вытекает, что для любых точек и сегмента найдется точка , заключенная между и и такая, что

. (8.48)

Так как производная ограниченна на сегменте , то найдется постоянная такая, что для всехиз этого сегментаи, следовательно,.Из последнего неравенства и из (8.48) заключаем, чтодля всех и из , удовлетворяющих условию . Но это и означает, что, т.е..

Пусть - любое вещественное число из полусегмента.

Определение 2. Будем говорить, что функцияпринадлежит на сегментеклассу Гёльдерас показателем(), если модуль непрерывностифункциина сегментеимеет порядок.

Для обозначения того, что функция принадлежит на сегменте классу Гёльдера , обычно употребляют символику .

Сразу же отметим, что если на сегменте функция дифференцируема и ее производная ограничена, то эта функция заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гёльдера (это утверждение непосредственно вытекает из

доказанного выше соотношения )17.

Замечание. Пусть .Точную верхнюю грань дробина множестве всехи ,принадлежащих сегменту и не равных друг другу, называют константой Гёльдера (или коэффициентом Гёльдера) функции (на сегменте ). Сумму константы Гёльдера функции на сегменте и точной верхней грани на этом сегменте называютгёльдеровой нормой функции на сегменте и обозначают символом .

Пример. Функция принадлежит на сегментеклассу, так как для любыхи из , связанных условием, справедливо равенство

(при этом константа Гёльдера, являющаяся точной верхней гранью на дроби, равна единице, а гёльдерова норма равна двум).

2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Пусть - произвольная функция, определенная и кусочно непрерывная на сегменте .

Мы будем называть периодическим продолжением этой функции на всю прямую такую определенную на всей прямой функцию 18,которая удовлетворяет трем требованиям:

1) совпадает с первоначально заданной функцией на интервале ,

2) имеет на концах сегмента значения

,

3) удовлетворяет условию периодичности с периодом , т.е. удовлетворяет для любогосоотношению.

Лемма. Если функция является периодическим продолжением на всю числовую прямую функции, первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте, то все интегралы этой функции по любому отрезку длиныравны друг другу, т.е. для любогосправедливо равенство

. (8.49)

Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем

. (8.50)

Используя условие периодичности , с помощью заменыполучим

. (8.51)

Из (8.50) и (8.51) вытекает соотношение (8.49). Лемма доказана.

Пусть теперь функция является периодическим продолжением на всю прямую функции , первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте .

Вычислим для этой функции в любой точке частичную сумму ее тригонометрического ряда Фурье, имеющую вид

.

Используя выражение для коэффициентов Фурье

и свойство линейности интеграла, выражение для можно переписать в следующем виде:

.

Сделаем в последнем интеграле замену переменной :

.

Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная функция в последнем интеграле является периодической функцией аргумента с периодом , получим

. (8.52)

Вычислим сумму, стоящую в (8.52) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера и любого значениясправедливо равенство

.

Просуммируем это равенство по всем номерам , равным:

.

Отсюда

и, следовательно,

. (8.53)

Подставляя (8.53) в (8.52),окончательно получим следующее выражение для n - й частичной суммы тригонометрического ряда Фурье:

, (8.54)

справедливое в любой точке числовой прямой.

Замечание. Из формулы (8.54) и из того, что все частичные суммы функцииравны единице19, вытекает следующее равенство:

. (8.55)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.