Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Теорема.
Пусть
функция f
непрерывна на связном множестве X,
,
,
c
– любое число, заключенное между
и
.
Тогда на любой непрерывной кривой L,
соединяющей точки
и
и лежащей в множестве X,
найдется точка
такая, что
.
Доказательство.
Пусть
,
- уравнения непрерывной кривой L;
соединяющей точки
и
и
лежащей в множестве X.
На отрезке
определена сложная функция
одной переменной t.
Эта функция непрерывна на отрезке. В
силу теоремы принимает значение c
в некоторой
.
Другими словами функция f
принимает значение c
в точке
.
Теорема доказана.
Свойства функции непрерывной на замкнутом ограниченном множестве.
Теорема (первая теорема Вейерштрасса).
Если
функция f
непрерывна на ограниченном замкнутом
множестве X,
то она ограничена на нем.
Доказательство.
Проведем
методом от противного.
Пусть функция
f
неограниченна на X.
Тогда выделим последовательность точек
,
для которых
.
В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса
из нее можно выделить подпоследовательность
,
предел которой
принадлежит
множеству X(
так как X
замкнуто). Очевидно, что последовательность
неограниченна. С другой стороны в силу
непрерывности функции f
в точке
эта последовательность
.
Полученное противоречие доказывает
теорему.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса).
Если функция f непрерывна на ограниченном замкнутом множестве X, то она достигает на этом множестве наибольшего и наименьшего значений. Доказательство почти дословно повторяет доказательство второй теоремы Вейерштрасса для функции одной переменной.
Определение 3. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве X, если
.
Аналогично случаю одной переменной доказывается теорема Кантора. Теорема Кантора. Непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция равномерно непрерывна на нем.