3. Вспомогательные предложения.

Лемма. Пусть кусочно непрерывная на сегменте и периодически с периодом продолжена на всю бесконечную прямую. Тогда для любого найдется такое, что при всех, удовлетворяющих условию, справедливо неравенство

.

Доказательство. Фиксируем произвольное . Согласно теореме 8.8 (о замкнутости тригонометрической системы) для функции найдется тригонометрический многочлен такой, что

,

и потому на основании неравенства Коши-Буняковского²⁰. (8.56)

Из неравенства (8.56), из леммы п. 2 и из того, что иявляются периодическими функциями периода, заключаем, что для любого числа

. (8.57)

Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит сумму модулей этих величин, то для любого числа справедливо неравенство

. (8.58)

Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонометрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч.1) для фиксированного нами найдется такое, что при и при всех из

и потому

. (8.59)

Сопоставляя неравенство (8.58) с неравенствами (8.56), (8.57) и (8.59), получим

(8.60)

для всех , для которых. Лемма доказана.

Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего следствий.

Следствие 1. Если функциякусочно непрерывна на сегментеи периодически (с периодом) продолжена на всю бесконечную прямую, а- любая фиксированная точка сегмента, то для любогонайдетсятакое, что

(8.61)

при .

Доказательство. Сделаем в интеграле, стоящем в левой части (8.61), замену переменной:

.

В силу равенства (8.49)

.

Следовательно, неравенство (8.61) является следствием (8.60).

Следствие 2. Если каждая из функций и кусочно непрерывна на сегментеи периодически (с периодом) продолжена на всю прямую, то функция

является непрерывной функцией на сегменте .

Доказательство. Пусть - любая точка сегмента. Тогда

,

и поскольку кусочно непрерывная на сегменте функция удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности , то

,

и потому в силу (8.61) для любого

при .

Непрерывность в точке доказана.

Следствие 3. Если каждая из функций и кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом ) продолжена на всю прямую, то тригонометрические коэффициенты Фурье функциипри разложении ее по переменной

, (8.62)

(8.63)

при сходятся к нулю равномерно относительно на сегменте (а, следовательно, и на всей прямой).

Доказательство. Для любой фиксированной точки сегмента функцияявляется кусочно непрерывной функцией аргументана сегменте , поэтому для нее справедливо равенство Парсеваля²¹. (8.64)

Из равенства (8.64) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке сегмента . Так как указанный ряд состоит изнеотрицательных членов, то в силу теоремы Дини²²для доказательства равномерной на сегменте сходимости указанного ряда достаточно доказать, что как функции и, так и сумма ряда (8.64)- непрерывная функция на сегменте , а это сразу вытекает из предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусочно непрерывной функции является кусочно непрерывной функцией и чтои при каждом фиксированном номере n являются непрерывными функциями). Следствие 4. Если каждая из функций и кусочно непрерывна на сегменте и периодически с периодом продолжена на всю прямую, то последовательность

(8.65)

сходится к нулю равномерно относительно на сегменте (а следовательно, и на всей прямой).

Доказательство. Достаточно учесть, что

и применить предыдущее следствие, беря в (8.62) вместо функцию , а в (8.63) вместофункцию .

4. Принцип локализации. В этом пункте мы докажем, что вопрос о том, сходится или расходится тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте и периодической (с периодом ) функциив данной точке , решается лишь на основании поведения функциив как угодно малой окрестности точки . Это замечательное свойство тригонометрического ряда Фурье принято называтьпринципом локализации.

Начнем с доказательства важной леммы.

Лемма (лемма Римана). Если функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом ) продолжена на всю прямую и если эта функция обращается в нуль на некотором сегменте²³, то для любого положительного числа, меньшего, тригонометрический ряд Фурье функции равномерно на сегменте сходится к нулю.Доказательство. Пусть - произвольное положительное число, меньшее. Частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции в произвольной точке числовой прямой определяется равенством (8.54). Полагая

(8.65)

и учитывая, что равняется нулю при условии, что принадлежит сегменту , апринадлежит сегменту²⁴, можно следующим образом переписать равенство (8.54) для каждой точкисегмента :.

Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 п. 3 сходится к нулю равномерно

относительнона всей числовой прямой. Лемма доказана.

Непосредственными следствиями доказанной леммы являются следующие две теоремы.

Теорема 8.11. Пусть функция кусочно непрерывна на сегментеи периодически (с периодом) продолжена на всю прямую, и пусть- некоторый сегмент. Для того, чтобы тригонометрический ряд Фурье функциипри любом положительном, меньшем, сходился (к этой функции) равномерно на сегменте, достаточно чтобы существовала кусочно непрерывная на сегментеи периодическая (с периодом)функция, обладающая равномерно сходящимся на сегментетригонометрическим рядом Фурье и совпадающая на сегменте с функцией.

Доказательство. Применяя лемму Римана к разности , получим, что тригонометрический ряд Фурье разностипри любом из интервала сходится к нулю равномерно на сегменте, а отсюда и из равномерной на сегментесходимости тригонометрического ряда Фурье функциивытекает равномерная на сегменте сходимость тригонометрического ряда Фурье функции . Тот факт, что последний ряд сходится на сегментеименно к функции , непосредственно вытекает из следствия 5 п. 3 § 3. Теорема доказана.

Теорема 8.12. Пусть функция кусочно непрерывна на сегментеи периодически (с периодом) продолжена на всю прямую, и пусть некоторая точка прямой. Для того, чтобы тригонометрический ряд Фурье функции сходился в точке,достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте и периодическая (с периодом ) функция, обладающая сходящимся в точкетригонометрическим рядом Фурье и совпадающая с в как угодной малой – окрестности точки.

Доказательство. Достаточно применить лемму Римана к разности по сегменту и учесть что из сходимости в точкетригонометрических рядов функций ивытекает сходимость в этой точке и тригонометрического ряда Фурье функции. Теорема доказана.

Теорема 8.12 не устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье функции в точке. Она лишь доказывает, что эти условия определяются только поведением в как угодно малой окрестности точки (т.е. имеютлокальный характер).

5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера. В этом и следующем пункте мы уточним условия, обеспечивающие равномерную сходимость и сходимость в данной точке тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 8.13. Если функция принадлежит на сегментеклассу Гёльдера с каким угодно положительным показателем () и если, кроме того,, то тригонометрический ряд Фурье функциисходится (к этой функции) равномерно на сегменте.

1^1 Т.е. в каждой точке разрыва у функции существует конечный левый и конечный правый пределы.

2 Для доказательства неравенства (8.3) заметим, что для любого вещественного в силу аксиомы 4⁰ скалярного произведения справедливо неравенство , которое в силу аксиом 1⁰ – 4⁰ эквивалентно неравенству . Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части последнего неравенства, является неположительность его дискриминанта, т.е. неравенство, которое эквивалентно неравенству (8.3).

3 Фридрих Вильгельм Бессель – немецкий астроном и математик (1784-1846).

4 М.А.Парсеваль – французский математик (1755-1836).

5 Под тригонометрическими функциями в данном случае понимаются косинус и синус.

6 Так как эта функция удовлетворяет тем же условиям, что и полученная после продолжения функция .

7 А следовательно (в силу теоремы 8.5), и полной

8 Первый пример такой функции был построен французским математиком Дю Буа Раймоном в 1876г.

9При этом функция может оказаться неопределенной в конечном числе точек сегмента. В этих точках мы доопределим ее произвольным образом (например, положим равной полусумме правого и левого предельных значений).

10Например, можно положить функцию в указанных точках равной полусумме правого и левого предельных значений.

11При интегрировании по частям следует разбить сегмент на конечное число не имеющих общих вну

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24