§5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке

1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера. Введем понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и определим классы функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Пусть функция определена и непрерывна на сегменте .

Определение 1. Для каждого назовем модулем непрерывности функции на сегменте точную верхнюю грань модуля на

множестве всех и ,принадлежащих сегменту и удовлетворяющих условию .

Будем обозначать модуль непрерывности функции на сегментесимволом. Итак, по определению

.

Непосредственно из теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1) вытекает, что модуль непрерывности любой непрерывной на сегменте функции стремится к нулю при ¹⁴. Однако для произвольной только непрерывной на сегменте функции нельзя, вообще говоря, ничего сказать о порядке ее модуля непрерывности относительно малого. Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции.

Утверждение. Если функция дифференцируема на сегментеи ее производнаяограничена на этом сегменте, то модуль непрерывности функциина указанном сегменте имеет порядок ¹⁵. В самом деле, из теоремы Лагранжа¹⁶вытекает, что для любых точекисегмента найдется точка , заключенная междуии такая, что. (8.48)

Так как производная ограниченна на сегменте , то найдется постояннаятакая, что для всехиз этого сегмента и, следовательно,.Из последнего неравенства и из (8.48) заключаем, чтодля всехи из , удовлетворяющих условию. Но это и означает, что, т.е..

Пусть - любое вещественное число из полусегмента.

Определение 2. Будем говорить, что функцияпринадлежит на сегментеклассу Гёльдера с показателем (), если модуль непрерывностифункциина сегменте имеет порядок .

Для обозначения того, что функция принадлежит на сегменте классу Гёльдера , обычно употребляют символику.

Сразу же отметим, что если на сегменте функция дифференцируема и ее производная ограничена, то эта функция заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гёльдера(это утверждение непосредственно вытекает из

доказанного выше соотношения )¹⁷.Замечание. Пусть .Точную верхнюю грань дробина множестве всехи,принадлежащих сегменту и не равных друг другу, называют константой Гёльдера (или коэффициентом Гёльдера) функции (на сегменте). Сумму константы Гёльдера функциина сегментеи точной верхней гранина этом сегменте называютгёльдеровой нормой функции на сегменте и обозначают символом .

Пример. Функция принадлежит на сегменте классу, так как для любыхи из , связанных условием, справедливо равенство

(при этом константа Гёльдера, являющаяся точной верхней гранью на дроби , равна единице, а гёльдерова норма равна двум).

2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Пусть - произвольная функция, определенная и кусочно непрерывная на сегменте.

Мы будем называть периодическим продолжением этой функции на всю прямую такую определенную на всей прямой функцию ¹⁸,которая удовлетворяет трем требованиям: 1) совпадает с первоначально заданной функцией на интервале,

2) имеет на концах сегмента значения

,

3) удовлетворяет условию периодичности с периодом , т.е. удовлетворяет для любогосоотношению .

Лемма. Если функция является периодическим продолжением на всю числовую прямую функции, первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте, то все интегралы этой функции по любому отрезку длины равны друг другу, т.е. для любого справедливо равенство

. (8.49)

Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем

. (8.50)

Используя условие периодичности , с помощью заменыполучим

. (8.51)

Из (8.50) и (8.51) вытекает соотношение (8.49). Лемма доказана.

Пусть теперь функция является периодическим продолжением на всю прямую функции, первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте.

Вычислим для этой функции в любой точке частичную сумму ее тригонометрического ряда Фурье, имеющую вид

.

Используя выражение для коэффициентов Фурье

и свойство линейности интеграла, выражение для можно переписать в следующем виде:

.

Сделаем в последнем интеграле замену переменной :

.

Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная функция в последнем интеграле является периодической функцией аргумента с периодом , получим

. (8.52)

Вычислим сумму, стоящую в (8.52) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера и любого значениясправедливо равенство

.

Просуммируем это равенство по всем номерам , равным:

.

Отсюда

и, следовательно,

. (8.53)

Подставляя (8.53) в (8.52),окончательно получим следующее выражение для n - й частичной суммы тригонометрического ряда Фурье:

, (8.54)

справедливое в любой точке числовой прямой.

Замечание. Из формулы (8.54) и из того, что все частичные суммы функцииравны единице¹⁹, вытекает следующее равенство:. (8.55)