§3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее

1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции так называемыми тригонометрическими многочленами.

Будем называть тригонометрическим многочленом произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (8.10), т.е. выражение вида

,

где n – любой номер, а ,и- произвольные постоянные вещественные числа.

Отметим два совершенно элементарных утверждения:

1⁰. Если - какой угодно алгебраический многочлен произвольной степениn, то и - тригонометрические многочлены.

2⁰. Если - тригонометрический многочлен, то каждое из выраженийитакже представляет собой тригонометрический многочлен.

Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций⁵от аргументаприводится к

линейной комбинации конечного числа тригонометрических функций от аргументов типа (убедитесь в этом сами).

В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.

Определение. Функция , определенная для всех вещественных называется периодической с периодом Т, если для любого вещественного справедливо равенство

.

Это равенство обычно называется условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение различных колебательных процессов.

Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом .

Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте и удовлетворяет условию , то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т.е. для этой функции и для любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что сразу для всех из сегмента справедливо неравенство

. (8.26)

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.

1) Сначала дополнительно предположим, что функция является четной, т.е. для любого из сегментаудовлетворяет условию.

В силу теоремы о непрерывности сложной функции , где(см. §1 гл. 4 ч. 1) функцияявляется непрерывной функцией аргумента на сегменте. Следовательно, по теореме Вейерштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любогонайдется алгебраический многочлентакой, чтосразу для всех из сегмента .

Положив , мы получим

(8.27)

сразу для всех из сегмента .

Так как обе функции и являются четными, то неравенство (8.27) справедливо и для всех из сегмента . Таким образом, неравенство (8.27) справедливо для всех из сегмента , и поскольку (в силу указанного выше утверждения 1⁰) является тригонометрическим многочленом, то для четной функции теорема доказана.

Заметим теперь, что функцию , удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы, можно периодически с периодомпродолжить на всю бесконечную прямую, так что продолженная функция будет непрерывной в каждой точке бесконечной прямой. Кроме того, если функция продолжена таким

образом, то (поскольку также является периодической функцией периода ) длячетной функции неравенство (8.27)справедливо всюду на прямой .

2) Пусть теперь - произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказанной теоремы. Эту функцию мы периодически с периодомпродолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции:

; (8.28)

. (8.29)

По доказанному в 1) для любого найдутся тригонометрические многочлены итакие, что всюду на числовой прямой

,

и поэтому

.

Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.28) и (8.29), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство

, (8.30)

в котором через обозначен тригонометрический многочлен, равный.

В проведенных нами рассуждениях вместо функции можно взять функцию⁶. В полной аналогии с (8.31) получим, что для функциинайдется тригонометрический многочлентакой, что всюду на числовой прямой

. (8.31)

Заменяя в (8.32) наи обозначая через тригонометрический многочлен вида , получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство

. (8.32)

Наконец, складывая неравенства (8.30) и (8.32) и обозначая через тригонометрический многочлен вида, получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.26). Теорема доказана.

Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности на сегменте и 2) равенства значенийи являетсянеобходимым условием для равномерного на сегменте приближения функциитригонометрическими многочленами.

Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформулировать следующим образом:

Теорема 8.7^*. Для того, чтобы функцию можно было равномерно на сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функциябыла непрерывной на сегментеи удовлетворяла условию.

Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.

Остановимся на доказательстве необходимости. Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов , равномерно на сегменте сходящихся к функции . Так как каждая функциянепрерывна на сегменте, то по следствию 2 из теоремы 2.7 функциянепрерывна на сегменте. Для любогонайдется многочлен такой, чтодля всехиз сегмента. Следовательно,

.

Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия периодичности (с периодом ) равенствазаключаем, что, откуда(в силу произвольности).

2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основную теорему.

Теорема 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутой⁷, т.е. для любой кусочно непрерывной на сегменте функциии любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что

. (8.33)

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой кусочно непрерывной на сегменте функции и для любого найдется непрерывная на этом сегменте функция, удовлетворяющая условиюи такая, что

. (8.34)

В самом деле, достаточно взять функциюсовпадающей свсюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции и точки , а в

указанных окрестностях взять линейной функцией так, чтобыявлялась непрерывной на всем сегменте и удовлетворяла условию .

Так как кусочно непрерывная функция и срезающая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрываи точкидостаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.34).

По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции найдется тригонометрический многочлентакой, что для всехиз сегмента справедливо неравенство

. (8.35)

Из (8.35) заключаем, что

. (8.36)

Из (8.34) и (8.36) и из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8.33). Теорема доказано.

Замечание. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в свою очередь вытекает, что система является полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте (или соответственно на сегменте).В самом деле, всякая кусочно непрерывная на сегменте функция, ортогональная на этом сегменте всем элементам системы, после нечетного продолжения на сегментоказывается ортогональной на сегменте всем элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на , а следовательно, на. Совершенно аналогично доказывается, что система,является полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте(или соответственно на сегменте).