8.Основні принципи комбінаторики.

Правило суми. Якщо елемент а можна вибрати із сукупності елементів m способами, а інший елемент bможна вибрати п способами, то вибір „або а, або b” можна здійснити т+п способами.

Правило добутку. Якщо елемент а можна вибрати із сукупності елементів m способами і після кожного такого вибору інший елемент b можна вибрати п способами, то вибір пари (а,b) можна здійснити т·п способами.

Комбінаторика – це розділ математики, який вивчає розміщення об’єктів у відповідності з спеціальними правилами і методи підрахунку кількості все можливих способів, якими ці розміщення можуть бути зроблені. Методи комбінаторики відіграють важливу роль при обчисленні ймовірностей різноманітних подій, зв’язаних з експериментами, що мають скінчену кількість результатів. Розглянемо основні поняття комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики ( правило множення). Нехай потрібно виконати одну за одною дій. Якщо першу дію можна виконати способами, другу – способами і так далі, -ту дію – способами, то дій разом можна виконати к 1 n 2 n к nk к nnn k ⋅⋅ …⋅ 21 способами.

Правило додавання. Якщо деякий об’єкт можна вибрати n способами, а об’єкт – способами, причому ніякий вибір не збігається з жодним з виборів b , то об’єкт або можна вибрати а k b k а а b n + способами.

Перестановкою з різних елементів називається об’єкт, який складається з цих елементів, і відрізняється від інших місцем розташування. Кількість перестановок позначають символом n n Ρn і розраховують за формулою: n! Ρn = Розміщенням з елементів по називають об’єкт, що складається з елементів, вибраних з і розташованих у певному порядку. Два розміщення, що складаються з однакових елементів, але відрізняються місцем їх розташування, вважаються різними. Число розміщень з елементів по будемо позначати символом . Має місце формула для підрахунку числа розміщень: n n k k n k k Αn , )!( ! kn k n n − =Α яку легко довести методом математичної індукції. Зазначимо, що n!. n n =Α

Комбінацією з елементів по будемо називати такі розміщення з елементів по , які відрізняються хоча б одним елементом. Зауважимо, що комбінації, які відрізняються лише місцем розташування елементів, вважаються однаковими.

9.Розміщення з повтореннями та без повторень.

Означення 1. Множину називають впорядкованою, коли в ній встановлено відношення порядку “менше”, що має такі властивості:

1) : або , або ;

2) .

Означення 2. Нехай , тобто множина складається з елементів, . Розміщенням без повторень з елементів по називають довільну впорядковану підмножину множини , всі елементи якої різні.

 Кількість різних розміщень з елементів по без повторень позначають:

 .

Два розміщення вважають різними не лише тоді, коли вони відрізняються один від одного хоча б одним елементом, але й тоді, коли вони складаються з однакових елементів, але відрізняються порядком їх розміщення.

Теорема 1. Кількість -розміщень без повторень з елементів визначається так:

 .

Доведення

Перший елемент впорядкованої пари -елементної множини можна вибрати способами, другий – способами. Впорядковану пару за правилом добутку вибирають способами, впорядкована трійка – способами. Продовжуючи цей процес далі, отримаємо:

 .

Теорему доведено. <

Теорема 2. Кількість різних розміщень без повторень з елементів по дорівнює добутку послідовних чисел, більшим з яких є :

 .