dobrecov_n_l_kirdyashkin_a_g_kirdyashkin_a_a_glubinnaya_geod
.pdf
Глава 2
Проинтегрируем это уравнение при гранич ных условиях (2.134):
3 2
Or-I/2u =L-L+CIY+C2.
68 2
При у = О, и = О и С2 = О; при у = 8, и = О и С1 = 813, тогда решение для скорости будет иметь
вид
= |
|
|
|
1 |
У |
3 |
1 |
()2 |
+ - -] |
|
||
|
1/2 |
|
2 |
|
|
У |
1 у |
|
. |
|||
и Or |
|
8 |
|
[()6 8 |
|
2 |
8 |
38 |
. |
|||
|
|
- |
- |
|
- - |
- |
|
(2 138) |
||||
Получим второе приближение для темпера туры. Для этого используем найденные значения Ти и (2.136), (2.138) и их производные:
дТ = _~. |
дТ = 8'у. |
дu |
= orl/2( у8'- |
/8'] |
|
ду |
8' |
дх 82' |
дх |
3 |
682' |
Y |
|
l 2 |
[i.-LJ (2.139) |
||
дudt; =8'Or/ |
|||||
fо |
дх |
|
|
6 2482' |
|
где 8' =d8/dx . Подставим полученные величи
ны в левую часть уравнения теплообмена (2.133):
(Ra8,)-1 -д2т = |
3у4 |
- |
L 3 |
+ L 2 |
(2.140) |
||
|
|
ду2 |
2483 |
|
282 |
28· |
|
Здесь Ra = PrGr = f3g!1ТlЗlаvкритерий Рэ |
|||||||
лея. Проинтегрируем уравнение (2.140): |
|
||||||
5:,)-1 |
дТ |
У5 |
У |
4 |
У |
3 |
|
(Rau |
-=----+-+С. (2141а) |
||||||
|
ду |
4083 882 |
68 1 . |
|
|||
После второго интегрирования получим
Второе приближение для и находится ана логично, и мы его опустим. Найдем толщину по
граничного слоя из условия (дТlдY)8 = О; из (2.142)
получим
_~+ llRa 828' = О |
и 838' = |
240 . |
(2.143) |
||
8 |
240 |
llRa |
|||
|
|||||
|
Проинтегрируем (2.143), |
учитывая, что |
|||
8' = d8ldx и при х = 0,8= О:
5: __ ( 960х)1/4
u llRa (2.144)
Из (2.143) определим 8' и, подставив в
(2.l42), получим
Т~1- М16 ~-( ~)' +6( ~)'-10иJJ
(2.145)
Отсюда можно найти локальный тепловой
поток. Учитывая, что Nu = -(дТlдy)cт (см. (2.123»
и 8 определяется соотношением (2.144), из (2.145)
получим
Nu=аL=-[дТJ =~=0.48(Ra)I/4
А |
ду СТ 118 |
х |
|
|
(2.146) |
Соотношение (2.146), представленное для |
||
размерного значения х, будет иметь вид |
|
|
_ ах |
1/4 |
|
Nu x - -т -0.48Rax ' |
(2.147) |
|
где
Ra = f3 g!1Тх3
Хav
(Ra8,)-1 Т = У |
6 |
5 |
/ |
|
3--y-+-+C1Y+C2 • |
||
2408 |
4082 |
248 |
|
|
|
|
(2.141б) |
Учитывая, что при у = О, |
Т = 1, получим |
||
С12=-I/Ra8'8 -82/48. О имеем
Вэтом случае уравнение для температуры
(2.141 б) имеет вид= (Ra8'( и при у = 8, т =С
Согласно численным экспериментам для
Pr> 1, Nux = 0,503 Ra~4 , что указывает на хоро
шее соответствие с полученным решением.
В размерных величинах соотношение (2.144) будет иметь вид
8 = 3.06х |
(2.148) |
Ra l/ 4 |
' |
х |
|
и толщина пограничного слоя зависит только от
одного критерия Рэлея, что подтверждается чис ленными экспериментами для Pr > 3 [Джалурия, 1983]. Согласно (2.145), профиль температуры
зависит только оту/8. Это означает, что при Pr > 3
72
Глава 2
ми параметрами по средней температуре,
определяющему геометрическому размеру и оп
ределяющему перепаду температуры. Перепад температуры в слоях различной геометрии, а
также и в пограничном слое измеряется в про цессе эксперимента и при определении крите риев принимается для установившегося режи
ма теплообмена.
Коэффициент с, показатели степени n и т определяются при графическом построении ре
зультатов экспериментов в виде зависимости
19Nu = Igc+тlgGr. |
(2 .152) |
Это уравнение является уравнением пря
мой. Значение т является тангенсом угла накло на прямой к оси, обозначающей число Gr. В слу чае двух аргументов (Pr и Gr) на графике получа
ется семейство кривых.
Критериальное уравнение, найденное из эксперимента, справедливо в диапазоне чисел Pr
и Gr, соответствующих результатам исследова
ния. Поэтому для каждого критериального урав
нения указываются границы его справедливости,
(2.]49). При графическом представлении этого |
определяющая температура и линейные размеры. |
уравнения в логарифмических координатах по |
Использование найденного уравнения возможно |
лучается прямая линия. Логарифмируя уравнение |
лишь для подобных процессов в границах при |
(2.]49), для фиксированного числа Pr получим |
менимости этого соотношения . |
Глава 3
а |
б |
|
I I I ( ( I ( I ( ( ( I I I I I I I I I / / ( |
u |
18888-- |
х |
|
|
; ; ) ; ; ) ; ) ; ; ; ; ; j ) ) j ) ; ; ) ; ) |
Рис. 3.1. Схема течения жидкости в горизонтальном слое:
а - распределение температуры при отсутствии конвекции; б - двумерное конвективное течение.
При малом перепаде температуры 11Т =Т1 - |
Из-за малости величин Т', и', v в |
- Т2 распределение температуры в слое будет |
уравнениях (3.6)- (3 .9) можно прен~бречь |
соответствовать соотношению (3.4). При |
квадратичными относительно возмущений |
достижении I1T> I1T возникает конвекция, и |
членами и'(ди'/дх), и'(дТ'/дх) и т. д. В этом случае |
кр |
|
профиль температуры будет отличаться от (3.4). Вблизи порога устойчивости распределение температуры будет отличаться от (3.4) на сколь
угодно малую величину Т'.
, - т т - т Т2 + ~ |
Т2 - ~ |
(3.5) |
|
Т - - 0 - |
---+у--. |
||
|
2 |
1 |
|
Скорости |
течения |
вблизи |
порога |
устойчивости также будут бесконечно малы (и', v'). Обозначим через РО плотность, соответ
ствующую температуре ТО' Подставим реальный профиль температуры (3.5) в уравнения свободной конвекции в двумерном приближении.
В этом случае эти уравнения имеют вид:
получим систему уравнений, определяющих
изменение малых возмущений температуры Т',
скоростей и', v' и давления р':
РО |
ди'=_ дР'+ (д2и'+ д2и'] |
· · (3.10) |
||||
at |
дх |
17 дх2 |
д/ |
|
||
av' |
др' |
|
,(a2v' |
|
a2v' ] |
|
РО дt =- ду |
- Pof3gT +17 |
дх2 |
+ д/ ' |
|||
|
|
|
|
|
|
(3.11 ) |
|
|
|
|
|
|
(3 .12) |
|
ди' |
,ди' |
'ди'] |
|
|
РО |
( at +u |
дх |
+ v ду |
= |
(3.13) |
=_ др'+17(д2и'+ д2и'] |
(3.6) |
Уравнения (3.10)-(3.13), характеризующие |
||||||||||||
|
дх |
|
|
|
дх2 |
|
д/ |
' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возникновение малых возмущений, линейные, а |
|
av' |
|
, av' |
|
, av'] |
|
|
дР' |
|
теория, с помощью которой определяется порог |
|||||
РО ( дt+ |
и |
|
дх +v ду |
|
=- ду - |
|
устойчивости, называется "линейной теорией |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
устойчивости". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При I1T < I1T система находится в устой |
|||
- Pof3gT' +17 ( |
дд;' |
+ ддY~'] , |
(3.7) |
|||||||||||
чивом состоянии.K Это происходит потому, что |
||||||||||||||
|
|
|
ди' + av' =о, |
|
|
|
|
имеющиеся малые тепловые возмущения (или |
||||||
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
возмущения подъемных сил, вызывающие флук |
|||||||
|
|
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
туации объемов жидкости) уравновешиваются |
|||||
дТ' |
, дТ' , дТ' |
|
, ~ - Т2 |
|
диссипативными процессами за счет трения и |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
-+и |
--+v --+v |
|
--- = |
|
рассеяния тепла. Задача исследования устойчи |
|||||||||
at |
|
|
дх |
|
ду |
|
|
1 |
|
вости системы с заданными параметрами, по су |
||||
- |
|
( д |
2 |
т' |
д |
2 |
Т'] |
|
|
|
|
ществу, является попыткой определить реакцию |
||
- |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 .9) |
||||
|
дх2 |
+ ду2 . |
|
|
|
системы на малые возмущения: успокоится ли |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
76
