dobrecov_n_l_kirdyashkin_a_g_kirdyashkin_a_a_glubinnaya_geod

сах: радиоактивном распаде, экзотермических

реакциях, гравитационном сжатии и трении. Тер­

могравитационные течения определяли эволю­

цию и структуру Земли в течение всего времени ее р.азвития. Изучая структуру движения в недрах Земли, мы можем ретроспективно оценить исто­ рию ее развития. Таким образом, процессы теп­ ло- и массообмена являются определяющими в изучении геодинамики и эволюции Земли.

Теплообмен может происходить кондукци­ ей (теплопроводностью), когда тепло передается через молекулярные взаимодействия. Передача

тепла может осуществляться также с помощью

конвекции, когда носителем тепловой энергии является движущаяся масса вещества. Конвектив­

ный теплообмен наблюдается в вязкой жидкости,

когда возможно взаимное перемещение слоев

жидкости относительно друг друга.

2.2. Упругие и вязкие свойства Земли

Земля в целом в ответ на различные воздействия проявляет себя или как упругое тело (при землетрясениях), или как вязкое (например, при мощных приливах). Упругое и вязкое

состояния вещества различаются прежде всего

механическими свойствами. Проследим это на

примере зависимости величины касательного

напряжения от деформации.

Для упругого состояния характерна линей­

ная зависимость касательного напряжения т от

относительной деформации (рис. 2.1), известная

как закон Гука:

где )1- модуль сдвига, НlM2; Е = а~/ау - относи­

тельная деформация; ~ - смещение в направле­

нии оси х. Если величина напряжения превыша­ ет предел прочности, то тело разрушается. При

многостороннем сжатии, большем по величине

предела прочности, тело переходит в состояние

ползучести, т. е. в вязкое состояние.

Для вязкого состояния вещества экспери­

ментально установлено, что касательное напря­

жение (напряжение трения) зависит не от вели­ чины относительной деформации, а от скорости

ее изменения:

ду

Из соотношения (2.3) следует, что касатель­

ное напряжение пропорционально градиенту ско­

рости. Такие жидкости называются вязкими или

ньютоновскими, а соотношение (2 .3) - законом

Ньютона. Коэффициент пропорциональности 17 -

коэффициент динамической вязкости и его раз­

мерность (н,с/м2) или (Па·с). Например, при Т= 20 ос дЛЯ воды 11 = 10-3 н,с/м2, для глице­ рина 11 = 1.48 н,с/м2. Для астеносферы при тем­

пературе около 1500 ос 11 = 1019 н,с/м2.

Для того чтобы проиллюстрировать свой­ ства вязкой жидкости, рассмотрим ее течение

между двумя длинными параллельными пласти-

нами, из которых нижняя неподвижна, а верхняя

Проинтегрируем (2.11) с начальным усло­

где с - произвольная постоянная.

Учитывая граничное условие, получим:

Определим время, за которое начальное на­

пряжение 'rизменится в е раз:

o

Вышеприведенные оценки показывают, что для

глобальных геофизических процессов Землю

(кроме части литосферы) можно рассматривать

как вязкую жидкость, т. е. использовать матема­

тическую модель вязкой жидкости, хотя и в этом

случае неизвестны физические свойства сложно

стратифицированной Земли. Наиболее неопреде­

ленными являются начальные условия эволюции

(например, какой была Земля в момент начала аккреции: газообразной, расплавленной или твер­

дой). Однако, даже если эти условия выяснены,

то встанет вопрос об алгоритме решения этой

Это время (to) называют временем вязкоуп­

ругой релаксации процесса.

Оценим время релаксации астеносферы,

считая ее вязкоупругой средой. Согласно выше­

приведенным оценкам, примем вероятную вели­

чину коэффициента динамической вязкости для

модели с использованием аппарата теории подо­

бия. Поэтому ниже изложены основы теории

подобия и способы ее применения, но для этого

необходимо сначала представить уравнения теп­

лообмена, движения и неразрывности.

ная жидкость опускается, охлаждая окружающую

среду при смешивании с ней. Этот вид теплооб­

мена, как увидим ниже, является определяющим

для мантии и внешнего ядра Земли.

Лучистый перенос - это перенос энергии

электромагнитными излучениями. Примером мо­

жет служить перенос энергии в определенных зо­

нах Солнца и от Солнца к Земле. В недрах Земли

лучистый теплоперенос несуществен, и его вли­

яние при необходимости можно учесть введени­ ем поправки в коэффициент теплопроводности.

2.4. Теплопроводность и градиент

температуры

в общем случае температура Тв любой точ­

ке пространства является функцией координатх, у, z и времени (, т. е. Т = fCx, у, z, (). Совокупность

значений температуры для всех точек простран­

ства образует температурное поле для фиксиро­ ванного момента времени. Режим теплообмена

называется нестационарным, если поле темпера­

туры зависит от времени. Если же температура в

каждой точке постоянная независимо от време­ НИ, то режим теплообмена называется стационар­

ным или установившимся. Стационарное темпе­ ратурное поле может быть функцией одной ко­

ординаты Т(х), двух Т(х, у) или трех Т(х, у, z). Соответственно температурное поле может быть

одно-, двуили трехмерным.

Изотермические поверхности (изотермы) представляют собой геометрическое место точек,

имеющих одинаковую температуру. Изотерми­

ческие поверхности различных температур не пе­

ресекаIQТСЯ друг с другом и либо замыкаются на

себя, либо заканчиваются на границе тела. Тем­

пература не меняется при перемещении по изо­

термической поверхности и изменяется при пе­

реходе от одной изотермы к другой. Наиболее

быстро температура изменяется при перемеще­ нии по нормали (n) к изотермическим поверхно­ стям (рис. 2.3). В этом направлении (n) наиболь­ ший градиент температуры, который представ­ ляет собой предел отношения изменения темпе­

ратуры Т к расстоянию между изотермами по

нормали n:

Рис. 2.3. Изотермические поверхности и темпе­

ратурный градиент.

где z - произвольная координата (в частности, по радиусу Земли), совпадающая с нормалью, V - оператор градиента (набла-оператор).

Таким образом, температурный градиент

является вектором, и он направлен по нормали

к изотермической поверхности в соответствую­

щей ее точке.

Изучая теплопроводность в твердых телах, Фурье установил, что количество переданного

тепла пропорционально градиенту температуры,

времени и площади сечения, перпендикулярно­ го вектору градиента температуры, т. е. направ­ лению передачи тепла.

Будем рассматривать удельное количество

тепла, отнесенное к единице площади и передан­

ное в единицу времени. Этот поток тепла будем

называть удельным тепловым потоком q,BT/M2.

В этом случае установленную эксперимен­

тальным путем зависимость можно представить

в виде математического выражения:

дТ

q =-л- =-лgгаd Т. (2.16)

дn

Удельный тепловой поток является векто­

ром, совпадающим по направлению с распрост­ ранением тепла и противоположно направленным

градиенту температуры (см. рис. 2.3). Поэтому в основном законе (2.16) написан знак минус, от­

ражающий второе начало термодинамики: тепло передается от горячего тела к холодному. Соот­

ношение (2.16), выражающее основной закон рас­

пространения тепла путем теплопроводности,

носит название закона Фурье. Коэффициент

пропорциональности в уравнении (2.16) называ­ ется коэффициентом теплопроводности и харак­ теризует способность вещества проводить тепло. Из уравнения (2.16) следует

Л=- q [Вт/м·ОС]. (2.17) grad Т

Величину коэффициента теплопроводности

можно охарактеризовать как количество тепла,

передаваемого в единицу времени при изменении

уравнение для стационарного теплообмена теп­ лопроводностью (кондуктивного теплообмена) в одномерном случае. Преобразуем уравнение

(2.16): dT= (-q/л.)dу и проинтегрируем его для

вышеприведенного случая:

л

Постоянную интегрирования с определим из граничного условия приу = О, Т = T1; С = T1• В

температуры в 1 ос на единицу длины. Коэффи­

циент теплопроводности разных веществ разли­

чен и зависит для каждого из них от структуры,

удельного веса, влажности (флюидонасыщеннос­ ти), давления и температуры. Например, для кри­

сталлического кварца л. = 6,5 - 11,3 Вт/м·ос в за­

висимости от того, в каком направлении измере­

но значение k параллельно или перпендикуляр­

но главной оптической оси; для торфа л. = 0,07 Вт/м,ОС; для глинистого сланца л. = 1,7 Вт/м,ОС на глубине 400 м; для мела л. = 1,5 Вт/м,ОС и т. д.

Рассмотрим теплообмен через однород­

этом случае находим

(2.19)

Определим неизвестную величину q из

(2.19) и второго граничного условия при у = 1, Т= Т2:

1 1

Теперь, зная величину теплового потока q,

можно определить количество тепла, переданного

через плоскую стенку площадью S (м2)В течение

ную пластину, имеющую постоянную темпера­

туру стенок Т1 и Т2 (рис. 2.4, а). Температура из­ меняется только в направлении осиу. В этом слу­

чае изотермы представляют собой плоскости,

нормальные к осиу. Для выделенного элементар­ ного слоя dy справедливо соотношение (2.16),

времени t: Q =qSt =(л./l ) !1TSt . Из уравнений

(2.19) и (2.20) получим уравнение распределения

температуры по толщине стенки, которое

представляет собой линейную функцию (см.

рис. 2.4):

(2.23)

Суммируя правые и левые части уравнений (2.23), получим соотношение

(2.24)

из которого можно определить q при известных

8/л. Определить Л2 образца при известных л/81 и Аз/8з можно из соотношения (2.22):

:J ~-T2=)., Т2 -7;

откуда найдем отношение

Величину с определяем как величину,

возникающую из-за перепада температуры в

месте контакта пластин 1 и 2. Обычно находят

отношение температур для различных толщин

образца и получают зависимость (Т2-Тз)/(Т\-Т2)

от 82' Затем находят наклон прямой d[(ТгТз)/(Т\-Т2)]/d82 = tga = л/л28\ и, наконец,

определяют ~ =(Л/8\)tgа. Этим самым исклю-

ностных грунтовых вод. В скважине после буре­

ния нарушается исходный градиент температу­

ры из-за самого бурения и циркуляции бурового раствора. Поэтому измерения проводят через два­

три года после установления стабильного (исход­

ного) градиента температуры. Обычно он изме­

ряется термисторами, имеющими большую раз­

решающую способность по температуре. Их

опускают в скважину и определяют перепад тем­

пературы между термисторами при известном

расстоянии по высоте между ними.

Среднее измеренное значение теплового

потока по всем континентам составляет

qo = 56.5 мВт/м2 (1.35 е.т.п.) [Жарков, 1983]. На

стабильных кратонах повышенный тепловой по­

ток наблюдается в Австралии 63.6 мВт/м2

(1.52 е.т.п.); наименьший-в Африке 49.8 мВт/м2

(1.19 е.т.п.). В стабильных районах имеет место

корреляция между тепловым потоком и содержа­

нием радиоактивных изотопов: с увеличением

содержания радиоактивных изотопов возрастает

тепловой поток (qo)' Уменьшение теплового по­

тока связывается и с увеличением возраста по­

род. Распределение тепловых потоков имеет сложный характер (рис. 2.5). Высокие тепловые потоки наблюдаются в активных зонах вулканиз­

ма (на Камчатке) или в зонах растяжения и филь­

трации глубинных флюидов (в Западной Сиби-

ции. Таким образом, в мантии под океанами про­

цессы теплопереноса осуществляются преимуще­

ственно путем конвекции. Поэтому наша задача­

вывести уравнение теплопроводности в общем виде, когда теплообмен происходит в движущей­ ся среде жидкости, способной поrnощать или ге­ нерировать тепло (т. е. при наличии внутренних источников тепла).

му процесс теплопереноса в движущейся жидко­

сти описывается системой следующих уравне­ ний: уравнением теплообмена (или уравнением сохранения энергии), уравнением движения (уравнением сохранения импульса) и уравнени­

ем неразрывности (уравнением сохранения мас­

сы). Вначале рассмотрим уравнение теплообме­

на для движущейся жидкости, затем уравнения

неразрывности и движения.

процесс. Обычно сложные явления имеют много

характерных параметров, которые изменяются во

времени и пространстве, и особенно сложно

установить зависимости между ними. В этом слу­

чае на основании общих законов физики устанав­

ливается зависимость между переменными,

характеризующими этот процесс (т. е. между ко­ ординатами, временем и физическими парамет­ рами) для элементарного дифференциального

объема. В результате получают дифференциаль­

ное уравнение исследуемого процесса. Путем его

интегрирования находят аналитическую зависи­

мость между величинами на всю область интег­

рирования и в течение рассматриваемого интер­

вала времени. Таким же образом получаются уравнения для процесса теплопереноса. Однако,

чтобы найти распределение температуры в дви­

жущейся жидкости, необходимо знать и распре­ деление скорости в объеме и во времени. Поэто-

Рис. 2.6. К ВЫВОДУ уравнения теплообмена.

Рассмотрим элементарный параллелепипед с гра­ нями dx, dy, dz в движущейся жидкости (рис. 2.6).

Считаем физические параметры: теплопро­

водность А, теплоемкость ер и плотность р - по­

стоянными. Если пренебречь возникновением

тепла вследствие внутреннего трения и измене­

нием давления, то, соrnасно первому началу тер­

модинамики, количество тепла, подведенное к

элементарному объему dxdydz, будет равно изме­ нению его теплосодержания. Определим приток

тепла через грани элемента вследствие теплопро­

водности. Количество тепла, проходящее за вре­

мя dt в направлении оси х через грань 1234 (см. рис. 2.6), соrnасно (2.16), равно

Количество тепла, проходящее за время dt через грань 5678, имеющую температуру

т+ (дТ/дх)dx, будет равно

Изменение количества тепла в элементар­

ном объеме за счет теплообмена в направлении оси х найдем, вычитая (2.28) из (2.27) :

Аналогичным путем найдем и изменение

количества тепла при передаче его в направлении

осей у и z: