dobrecov_n_l_kirdyashkin_a_g_kirdyashkin_a_a_glubinnaya_geod

ницы астеносфера-литосфера континента, а зна­ чительное количество тепла выделяется в верхней

части - коре континента. Это тепло генерируется

в породах за счет радиоактивного распада, содер­

жащихся в них радиоактивных элементов. Оцен­ ки содержаний радиоактивных элементов и гене­

рации радиогенного тепла в верхнем слое Алдан­

ского и других щитов представлены в табл. 2.1.

Распределение радиоактивных элементов по глубине может быть аналогично представлен­ ному на рис. 2.7. Кривые распределения радио­

генного тепловыделения можно аппроксимиро­

вать экспоненциальным законом убывания радио­

где Qп 'Вт/м3 - удельное тепловыделение вблизи

- - 1.17

поверхности. На глубине Уо Ql = Qje, т. е. уо­

характерный масштаб убывания тепловыделения с глубиной. Из-за очень большого возраста кон­ тинентальной литосферы процесс теплообмена

путем теплопроводности можно считать стацио­

нарным. В этом случае уравнение теплообмена

(2.39) имеет вид

Так как q =-л дТ/ду , то (2.42) можно

представить следующим образом:

-q - Qnyoe-Y/ YO =С\.

Из соотношения (2.44) следует, что при эк­ споненциальном убывании тепловыделения с глубиной тепловой поток на поверхности qп оп­

ределяется линейной зависимостью от удельно­

го тепловыделения вблизи поверхности Qп. Зависимость теплового потока на поверхно­

сти от приповерхностного удельного тепловыде­

ления за счет радиогенного тепла для горных вос­

точных районов США представлена на рис. 2.8.

Пересечение аппроксимирующей прямой с осью qп дает значение мантийного теплового по-

Q1'101З, кал/смЗ'С

4

Е

16

20 4

Рис. 2.7. Распределение интенсивности радио­ генного тепловыделения в различных частях батоли­

та Айдахо, США [Swanberg, 1972]:

Рис. 2.8. Зависимость между тепловыми пото­

ками и интенсивностью генерации радиогенного теп­

ладля плутонов области Новая Англия (залитые круж­ ки) и для стабильных регионов (незалитые кружки)

[Roy et al., 1968].

тока, поступающего из верхней мантии к конти­

ненту. Эта величина, согласно рис. 2.8, qM = 34·10-3 Вт/м2. При среднем тепловом пото­ ке qп = 60·10-3 Вт/м2 И при соответствующем это­

му qп внутреннем тепловыделении

Qп = 3.5·10-6 Вт/м2 из соотношений (2.44) можем

определить характерную глубину Уо =

= (qп - qм)/Qп = 7429 м.

ВеличинаУо различна для разных регионов,

но обычно она составляет 16-25 км. Величину QпУо можно оценить и из следующих соображе­ ний: наиболее мощные и древние докембрийские

щиты имеют устойчивые низкие тепловые пото­ ки, так как тепловой поток из мантии незначите­

лен. Поэтому в первом приближении можно пред­

положить, что QпУо::; qп::; 39 Вт/м2, как это име­

ет место для Канадского, Австралийского и Бал­

тийского докембрийских щитов. Для грани-

~ 39·10-3/2.40·10-6::; 16 км.

Величина Уо изменяется для различных ре­ гионоввдиапазоне4-34 км (в среднем 19-23 км) (табл. 2.2) [Пузанков и др., 1989].

На поверхности Земли тепловой поток qп

можно представить как сумму радиогенного теп­

Преобразуя это уравнение, получим диффе­

ренциальное уравнение неразрывности:

рения дulдt, дvlдt, дwlдt, учитывающей нестаци­

онарный характер течения, и конвективной со­ ставляющей ускорения, учитывающей перемеще­ ние частиц. Конвективной составляющей проек­

ции на ось х является многочлен

Для случая несжимаемой жидкости

(р = const) уравнение неразрьmности упрощается:

. ди av aw

dlVU=-+-+-=О. (2.52)

дх ду az

Уравнение движения. Для составления уравнения движения будем исходить из основно­

го закона механики - второго закона Ньютона, со­

гласно которому масса, умноженная на ускоре­

ние, равна сумме всех сил, действующих на рас­ сматриваемую массу. На выделенную массу дви­ жущейся жидкости действуют силы: массовая сила, или сила тяжести, F и поверхностная сила

Р (сила давления и трения). Сила является век­ торной величиной, и потому в общем виде это уравнение может быть записано для проекций на

три оси -Х,у, z.

Обозначим массовую силу, т. е. силу, дей­

ствующую на выделенный объем, как F = pg, где g - вектор ускорения силы тяжести, а через Р - поверхностную силу, т. е. силу, действующую на

элемент поверхности. Тогда уравнение в вектор­

ной форме примет вид

Du

p-=F+P, (2.53)

Dt

где Du/ Dt - полное или субстанциональное ус­

корение. Мы уже познакомились с субстанцио­ нальной производной при выводе уравнения со­

хранения энергии (2.37). По аналогии с уравне­ нием (2.37) можем записать субстанциональную производную для осей х, у, z соответственно:

в векторной форме полное ускорение так­

же можно представить как сумму локального ус­

корения дu/дtи конвективного ускорения

(u.\7)u:

Du ди

-=-+(и.\7)и. (2.56)

Dt at

Перейдем к рассмотрению сил массовых F

и поверхностных Р.

Массовые силы следует рассматривать как

заданные внешние силы. К ним относится преж­

де всего сила тяжести. Поверхностные же силы

зависят от деформированного состояния.(состо­ яния движения) жидкости и представляют собой

силы давления и силы трения.

Рассмотрим элементарный объем в движу­ щейся среде (жидкости), представляющий парал­ лелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.11).

На элементарный объем действуют массо­

вая сила тяжести и поверхностные силы - силы

давления и трения. Определим проекции этих сил

на ось х. Гравитационная сила приложена в цен­ тре элементарного объема dV и равна произведе­

нию проекции ускорения силы тяжести gx на мас­

су этого объема т = pdV

(2.57)

Разделим (2.57) на объем dV. Получим мас­ совую силу, отнесенную к единице объема,

Субстанциональное ускорение представля­ eT собой сумму локальной составляющей уско-

(2.58)

Поверхностные силы (силы давления и тре­ ния) зависят от деформированного состояния среды (жидкости). Совокупность поверхностных

сил определяет напряженное состояние. Поэто­

му необходимо также знать связь между напря­ женным и деформированным состоянием. Эта · связь может быть установлена только эмпиричес­ ки и известна как закон Гука для упругого твер­

дого тела и закон трения Стокса для движущейся вязкой жидкости.

Последний является обобщенным случаем закона трения Ньютона. Разница между закона­

ми Гука и Ньютона-Стокса, приведенными в раз­

деле 2.2, состоит в следующем. Закон Гука выра­

жает эмпирическую связь между напряжениями

и упругими деформациями и, согласно этому за­ кону, силы, возникающие при деформации упру­

гих тел, пропорциональны величине относитель­

ной деформации (см. выражение (2.1». Соглас­

но же закону вязкого трения (закону Ньютона),

определяемому выражением (2.3), силы, возни­

кающие при деформации среды (вязкой жидко­

z

(х, у, z) ~----+---tL-...

dy

dx

х

сти), пропорциональны скорости деформации. Проанализируем общее напряженное состо­

яние для упругих тел и жидкостей. С этой целью рассмотрим силы, действующие на грани парал­

лелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.11) и с началом координат в одной из его вершин (х, у, z). К обеим граням параллелепипеда, перпен­ дикулярным оси х И имеющим площади dzdy,

приложены результирующие напряжения: РХ и

РХ+(дРх/дх)ш . Этинапряженияявляютсявек­

торными величинами. Соответственно, силы,

действующие на эти грани, будут: Pxdzdy и

[РХ + (дРх!дх)ш]dZdY . Равнодействующая

этих сил будет равна их разности:

( Р,+д~dx JdzdY - P,dzdy ~д~dxdydz.

(2.59)

Эта сила также является вектором, ах в ин­

дексе указывает на то, что рассматриваемые выше

векторы действуют на элементарную площадку,

перпендикулярную к оси х.

Аналогично получим результирующие со­

ставляющие поверхностной силы для всех трех координатных направлений:

для направления х: (дРх/дх)dxdydz;

для направленияу: (дРу/ду)dxdуdz;

для направления z: (дРz/ дz)dxdydz.

Сложим эти составляющие и разделим на объем dxdydz, получим поверхностную результи­ рующую силу Р, отнесенную к единице объема,

которая вызвана напряженным состоянием эле­

мента объема:

Рис. 2.11. К ВЫВОДУ дифференциального урав­

нения движения жидкости.

в равенстве (2.60) векторы Рх' Ру' Рz можно

разложить на составляющие по осям. Для этого введем следующие обозначения. Составляющие,

нормальные к элементарным площадкам, т. е.

нормальные напряжения обозначим через ас ин­

дексом, указывающим ось, параллельно которой

направлено нормальное напряжение. Касатель­

ные напряжения, лежащие в плоскости элемен­

тарных площадок, обозначим 'r с двумя индекса­

ми, первый из которых указывает, к какой оси

перпендикулярна рассматриваемая площадка, а

второй - ту ось, параллельно которой направле­

но рассматриваемое касательное напряжение. В

этом случае результирующие напряжения Рх' Ру'

Рz можно представить в виде суммы нормальных и касательных напряжений (см. рис. 2.11):

(2.61)

Р' =i1'u + j1'Zy + ka z '

где i, j, k - единичные векторы, параллельные соответственно х, у, z. Из уравнения (2.61) следу­

ет, что напряженное состояние может определять­

ся девятью скалярными величинами, но только

шесть из них независимы. Действительно, каса­

тельные напряжения с одинаковыми, но распо­

ложенными в обратном порядке индексами, рав­ ны друг другу. Это следует из равенства моментов относительно произвольной оси при равновесии

упругого тела. Например, сопоставив моменты относительно оси z (см. рис. 2.11), получим

'rxydydZdx ='rухdxdzdy ,

откуда следует, что 'rху ='rух' Точно так же полу­

чим

(2.62)

Таким образом, в жидкости без трения дав­ ление равно любому из нормальных напряжений,

взятому со знаком минус.

Для вязкой жидкости целесообразно ввес­

ти при анализе поверхностных сил в качестве

расчетной величины среднеарифметическое из

трех нормальных напряжений

ми величинами: '[ху' 'rxz' 'ryz' ах, ау, az' Подставив в

равенство (2.60) значения Рх' Ру' Pz из (2.61), учи­

тывая равенства напряжений, согласно соотноше­

нию (2.62), получим для поверхностной силы Р, отнесенной к единице объема, следующее соот­

ношение:

(2.63)

Полученные выражения для инерционных сил, разложенных по осям (2.54), массовых gxp, gyP, gzp и поверхностных сил (2.63), суммируем, согласно общему уравнению (2.53), для соответ­

ствующих направлений:

р:=g,p+(a;; + д;;+ д~,}

Рассмотрим идеальную жидкость, лишен­

ную вязкости, для которой все касательные на­

пряжения равны нулю ("ху = 'rxz= "yz = О). Остают­

ся только нормальные напряжения, которые рав­

ны друг другу. Отрицательное значение любого

из этих напряжений называется давлением жид­

кости:

Эту величину, не изменяющуюся при пре­ образовании координат, будем называть давлени­

ем жидкости.

Система из трех уравнений содержи~ шесть

составляющих напряжений (ах, ау, az' "ху' "xz' "';).

Поэтому следующая задача - установить зависи­

мости этих составляющих от скоростей деформа­

ции, т. е. от компонент вектора скорости и, v, w.

Выделим из нормальных напряжений вели­

чину, равную давлению -Р:

Оставшиеся слагаемые ах , ау ' аz нормаль-

ных напряжений, так же как и касательные на­

пряжения, зависят от вязкости и выражаются че­

рез скорости смещения. Для примера рассмотри:м наиболее простой случай. Выражение для каса­ тельной силы трения проще всего может быть ус­

тановлено из рассмотрения плоского ламинарно­

го потока, в котором скорость u изменяется лишь

в направлении оси у (рис. 2.12). В этом случае

сила трения возникает только на боковых грани­

цах элемента. На левой грани скорость меньше,

чем в самом выделенном элементе, и поэтому

сила трения направлена против движения и рав­

на "ух dxdz. Около правой грани скорость боль­

ше, чем в самом элементе, поэтому в сечении

у + dy сила трения направлена по направлению

движения и равна

( 'rух +туa'ryX dy Jdxdz.

Равнодействующая этих сил равна алгебра­

ической сумме

(2.68)

выражение (2.68) запишем в следующем виде:

в 06щем случае, когда скорость зависит от

трех координат и жидкость несжимаемая

(р= const), все компоненты напряжения выража­

ются через скорости следующим 06разом (закон

Стокса):

(2.696)

2.9. Уравнение Навье-Стокса

Рассмотрим как модифицируются выше­

приведенные уравнения для случая несжимаемой

жидкости. В уравнении движения (2.64) выделим

из нормальных напряжений давление Р, соглас­

но соотношениям (2.67):

i

i

х

Рис. 2.12. Направления касательных напряже-

ний, действующих на элемент жидкости в одномер­

ном потоке.

Аналогично найдем выражения и для на­

правлений у и z. Запишем уравнение (2.70) для случая несжимаемой жидкости (р = const). В этом

случае уравнение неразрывности имеет вид

(2.52). Поскольку в несжимаемой жидкости раз­ ности температур в 06щем случае невелики, ко­ эффициент динамической вязкости можно рас­

сматривать как величину постоянную. Поэтому

уравнение движения (2.70), учитывая равенства (2.696) и (2.71) и уравнение неразрывности (2.52),

для трехмерного течения имеет вид