POGALOVLAB
.pdfУчасток пластинки длиной dz имеет массу
dm = ρFdz,
где ρ - плотность материала.
Инерционная сила, приходящаяся на единицу длины пластинки при поперечном перемещении y, запишется как
q = -ρF&y&,
F - площадь сечения пластинки.
Знак "минус" означает, что нагрузка q направлена в сторону, противоположную прогибу. Из теории изгиба известно, что
EI ∂4 y
∂z4
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний пластинки после замены q
имеет вид
|
|
∂4 y |
+ ρF ∂4 y |
= 0, |
(1) |
|
|
|
∂z4 |
EI |
∂z4 |
|
|
Здесь I - момент инерции; t - время. |
|
|
|
|||
Решение уравнения (I) можно представить в виде |
|
|||||
ω - угловая частота. |
|
= |
|
, |
|
|
Где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
(IV ) − az = 0, |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α4 = |
ρFω2 . |
(3) |
|
|
|
|
|
EI |
||
После подстановки его в (1) получим |
|
|
|
|||
Решение уравнения (2) запишем в общем виде: |
|
|||||
= |
( ) + |
( |
) + |
( |
) + ( ), |
(4) |
где А, В, С, D - постоянные, которые определяются из граничных условий.
61
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Для консольно закрепленной балки функция 2 имеет следующие граничные условия:
при z=0 Z=0 и dZ/dz = 0, на конце балки (при z = l) изгибающий момент и поперечная сила равны нулю. Следовательно,
|
d 2 z |
= 0 |
|
d 3z |
= 0 |
|
dz2 |
и dz3 |
|||
при z = l, |
|
. |
|||
Составим определитель этой системы и приравняем его нулю:
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
= 0, |
|
sin(αl) cos(αl) sh(αl) |
ch(αl) |
|||
|
cos(αl) sin(αl) ch(αl) sh(αl) |
|
|||
Подставляя граничные условия в (4), имеем четыре уравнения: |
|||||
|
|
A + D = 0 |
|
ü |
|
|
|
A + C = 0 |
|
ï |
|
|
|
|
ï |
||
-Asin(al) - Bcos(al) + Csh(al) + Dch(al) = 0 ýï
-Acos(al) + Bsin(al) + Cch(al) + Dsh(al) = 0ïþ
откуда следует ch(αl )∙ cos(αl ) = - l . Последовательный ряд корней этого уравнения имеет вид:
α1l = I.875;
α2l = 4,694;
α3l = 7.855 и т.д.
62
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
a
б
в
Рис.2. Форма упругой линии балки при достижении резонанса: а - на первой собственной частоте; б - на второй; в - на третьей.
Первые три формы изгиба пластинки, соответствующие трем корням уравнения, изображены на рис.2. Эти формы можно наблюдать в моменты резонанса, увеличивая частоту колебаний вибростола с консольно закрепленной пластинкой.
Выражение (3), разрешенное относительно модуля упругости, запишется в виде
E = |
ρF ω2 |
|
l4 |
|
. |
|
|||||
(αl)4 |
|
||||||||||
|
|
I x |
|
|
|
|
|||||
С учетом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bh3 |
|
|
|
|
||
F = bh; Ix |
= |
|
|
;ω = 2πf |
|||||||
12 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем: |
|
E = |
12ρ |
4π2 |
f 2 |
l4 |
|
, |
|||||
|
h2 |
|
(al)4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где f - частота резонансных колебаний, Гц.
Таким образом, по полученной форме колебаний можно вычислить модуль упругости первого рода E, фиксируя резонансную частоту и подставляя соответствующее значение al .
Для первой формы al = 1,875,
63
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
E = |
|
48ρ |
π2 f 2 |
|
l4 |
|
|
|
|
|
h2 |
(1,875)4 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
; |
(5) |
|||||
Для второй формы al = 4,694, |
|
|
|
|
|
|
|||
E = |
48ρ |
|
π2 f 2 |
|
l4 |
|
|
|
|
|
h2 |
(4,694)4 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для третьей формы al = 7,855.
E = |
48ρ |
π2 f 2 |
l4 |
|
|
h2 |
|
|
|
||
|
1 (1,875)4 . |
(7) |
|||
Лабораторный стенд
Для экспериментального определения собственной частоты пластинки в настоящей работе использован вибростенд, схема которого приведена на Рис.3. Испытуемая пластинка 1 консольно закреплена в приспособлении 2 на поверхности вибростола 3. Колебания изменяемой частоты задаются генератором стандартных сигналов 4, амплитуда которых увеличивается усилителем 5.
Частоту колебаний стола можно изменять генератором от нуля до 12 •103 Гц, а уровень амплитуды сигнала регулировать как генератором, так и усилителем.
4 |
2 |
1 |
5 
3
Рис.3 Схема вибростенда: 1-испытуемая пластина, 2-зажимное приспособление, 3-
вибростол, 4-генератор стандартных сигналов, 5-усилитель
64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Лабораторное задание
1.Опытным путём зафиксировать резонансную частоту колебаний пластинки. 2. Вычислить по формулам (5) - (7) модуль упругости первого пода.
Порядок выполнения работы
1. Измерить размеры испытуемых пластинок b, h микрометром и после закрепления на вибростоле измерить длину l штангенциркулем. Результаты записать в форму таблицы для каждого материала.
Форма таблицы
Результаты измерений и вычислений
Параметры |
|
|
|
Материал пластинки |
|
|
|
|
||||
пластины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29НК |
|
Медь М-1 |
Кремний |
Керамика |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Толщина h, мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10−9 |
Н×с2 |
|
8.35 |
|
8.96 |
|
2.33 |
|
3.60 |
|
||
мм4 |
||||||||||||
Плотность ρ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Длина l, мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Резонансная частота |
f1, Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Резонансная частота |
f2 , Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Модуль E′ ,МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль E ′′ ,МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Плавно изменяя частоту задающего генератора, зафиксировать резонансную частоту f1 . Увеличивая частоту, зафиксировать резонансную частоту f2.
3.Изменить длину консоли пластинки l и повторить измерения резонансных частот f1, f2 при новой длине li
4.Вычислить модуль упругости E для каждой резонансной частоты и каждой длины консоли закрепления (по формулам (5) - (7)).
5.Оформить отчет.
65
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Требования к отчету
Отчет должен содержать:
1)наименование и цель работы, основные теоретические сведения с расчетными формулами;
2)схему экспериментального стенда;
3)заполненную форму таблицы;
4)выводы по работе.
Контрольные вопросы
Как влияет упругость материала на частоту собственных колебаний образца? Как частота собственных колебаний зависит от толщины и ширины образца?
Какова зависимость частоты собственных колебаний от длины колеблющегося образца?
Рекомендуемая литература
1.Тимофеев В. Н. Прикладная механика в микроэлектронике. Конспект лекций.М.МИЭТ, 1998г., 147с.
2.А.А.Дегтярев, В.А. Летягин, А.И Погалов. Основы механики и сопротивление материалов. Лабораторный практикум.М.МИЭТ, 1997г.,188с.
3.О.А.Кузнецов, А.А.Дегтярев, В.Н.Тимофеев, Е.А.Сахаров,В.А.Летягин. Лабораторный практикум по курсу «Механика интегральных структур», под ред. В.Н.Тимофеева.
М.МИЭТ, 1993 г.,87 с.
66
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Лабораторная работа № 8. ИССЛЕДОВА НИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙС ТВ
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ ПРИ УДАРНОМ ВОЗ БУЖДЕНИИ
Цель работы – изуче ние требований к измерительному тракту при действии ударных импульсных нагрузок, исследование динамических свойств в ысокочастотного акселерометра и функциональ ной ячейки (ФЯ) радиоэлектронных средств (РЭС).
Продолжительность раб оты –2 ч.
Оборудование – ударны й стенд (рис.1), источник питания, ЛИПС П-30, анализатор спектра СК 4-56.
Рис.1. Схема ударного исп ытательного стенда: 1 – шар-ударник; 2 – наковальня; 3 – основание стенда; 4 – фун кциональная ячейка; 5 – механизм сброса ударника;6 – акселерометр, 7 – анализатор спектра.
Теоретические сведения
Удар представляет соб ой импульсные ускорения высоких уровней. При ударе происходит изменение количества движения за промежуток времени, равный длительности ударного импул ьса τ, которое определяется импульсом силы :
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
F = t+òτ F(t)dt = mΔυ,
0
где F(t) – мгновенное значение силы при ударе m∆v – изменение количества движения. Колебания конструкций, вызванные ударом, являются частным случаем случайных
вибраций. Для характеристики одиночных ударов пользуются интегралом Фурье, который
представляет собой непрерывную функцию в виде суммы бесконечно большого числа гармонических колебаний, близких по частоте, с бесконечно малыми амплитудами:
F(t) = 1 +ò∞ S(ω)e jωtdω
2π −∞
где S(ω) – спектральная плотность воздействия F(t); ω – круговая частота колебаний.
Теоретически ударный импульс содержит энергию во всей полосе частот от нуля до ∞. Для идеального его воспроизведения требуется акселерометр с бесконечной полосой пропускания. Учитывая, что главная часть энергии ударного импульса содержится в ограниченном диапазоне частот, его характеристики можно зарегистрировать с помощью пьезорезистивных или пьезоэлектрических акселерометров.
Качество измерения параметров удара и динамических характеристик конструкций зависит от формы, амплитуды, длительности ударного импульса, возможностей
неискаженного восприятия и передачи спектра удара акселерометром и измерительным трактом.
Совокупность частот, которые могут быть переданы через тракт измерений в обработки сигнала, называют полосой пропускания. Нижняя и верхняя границы полосы
пропускания и коэффициент демпфирования являются важными параметрами акселерометра, влияющими на качество измерений.
Частотные характеристики акселерометров должны удовлетворять следующим условиям. Для ударного импульса большой длительности целесообразно использовать пьезорезистивные акселерометры, имеющие ненулевую чувствительность в статическом режиме (ω1=0), для ударного импульса малой длительности – пьезоэлектрические
акселерометры о широкой полосой пропускания и высокой резонансной частотой или пьезорезистивные акселерометры о оптимальным демпфированием ε = 0,7, у которых отсутствует отрицательное воздействие фазового сдвига.
Чтобы избежать уменьшения полосы пропускания, необходимо идеальное состояние установочной поверхности и большая жесткость крепления акселерометра.
- 68 -
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Чтобы обеспечить правильные фазовые соотношения между частотными составляющими ударного импульса, средства измерений совместно о акселерометром должны иметь равномерную АЧХ в широком частотном диапазоне.
Акселерометр для исследования ударных воздействий рекомендуется выбирать с учетом следующих соотношений:
fОАτф ³ 30,
где fоа – собственная частота колебаний акселерометра,
fОА ³ 1 ,
T0
где τφ – длительность фронта ударного импульса; T0 – период собственных колебаний массы акселерометра mA.
Таким образом, частота собственных колебаний акселерометра, полоса пропускания регистрирующей аппаратуры и длительность ударного импульса – основные факторы, определяющие достоверность результатов измерений.
Акселерометр можно представить как систему с одной степенью свободы, состоящую из инерционной массы mA, упругого элемента жесткостью k и демпфера с коэффициентом затухания h (рис.2). Такая колебательная модель описывается уравне-
нием
z¢¢ + 2hz¢ + ωОА2 z = f (t), |
(1) |
|
где ωOA – круговая частота собственных колебаний акселерометра,
ωОА = 
k / mA ;
mA , k – инерционная масса и жесткость акселерометра; f(t) – закон измеряемого ускорения. Решение уравнения (I) имеет вид
|
|
gk (t ) |
|
g |
−ht |
t |
|
−hτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
||
|
z(t) = |
|
- |
|
e |
|
òëe |
|
k(τ ) |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
ωОА |
|
ωОА |
|
0 |
|
|
|
|
где k(t) – функция перегрузки, k(t) = f(t)/g. |
||||||||||
Для синусоидального |
импульса |
|
( ) |
= |
||||||
импульса |
( ) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ù¢ |
cosωОА (t -τ )dτ , |
û |
(2)
(рис.3), для треугольного
- 69 -
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис.2. Колебательная система |
Рис.3. Синусоидальный ударный |
акселерометра |
импульс |
Первое слагаемое у равнения (2) характеризует статическое перемещение инерционной массы акселерометра, которое определяет величину выходного сигнала, второе слагаемое – динамическую составляющую перемещений, которая определяет пог- решность измерений.
При отсутствии затуха ния в системе акселерометра (h=0) максимальная величина
динамического перемещения м ожет быть определена по формуле
z |
|
= |
g |
|
T0 |
. |
|
ω02 |
|
||||
|
Д max |
|
|
2τф (3) |
||
При условии Т0 « τф динамической |
|
составляющей перем ещения можно |
||||
пренебречь. Относительная погрешность акселерометра может быть определена по
выражению
η = zД max / zСТ = 1/(2 fОАkmaxτф ), |
(4) |
|
где zСТ = gk(t) /ωОА2 ; kmax = 10.
Для исследования дин амических свойств конструкций РЭС используют ударные стенды, в которых воздействие возникает за счет взаимодействия ударника и наковальни. Ударный импульс характеризуется следующими параметрами: А – а мплитудой уско- рения; τ,ω – длительностью и условной круговой частотой, которую определяют по
формуле
- 70 -
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com