PDF. Семестр 1. Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии. Ярослав Ермилов (МП-14)

Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии

1. Определители 2-го и 3-го порядков и их свойства.

Определитель 2-го порядка Пусть заданы числа 1, 2, 1 и 2 (действительные или комплексные), тогда

матрицы 2 на 2, путём вычитания из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, произведения элементов, стоящих на побочной диагонали.

Числа 1, 2, 1 и 2 в определителе (1) называются элементами определителя. В определителе (1) также различают первую строку (1, 2),

вторую строку (1, 2), первый столбец (1, 1) и второй столбец (2, 2).

Определитель 3-го порядка Определителем 3-го порядка называется число определяемое с помощью

называются элементами определителя. В определителе (2) также различают

первую, вторую и третью строки, а также первый, второй и третий столбцы.

Свойства определителей 2-го и 3-го порядка:

1) Свойство равноправности строк и столбцов

▪Если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (т.е. транспонировать матрицу), то определитель не изменится.

▪Другими словами: при транспортировке матрицы определитель не меняется.

(1) = (2) свойство верно, что и требовалось доказать

2)Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (столбцов)

▪Если переставить местами две строки (столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

▪Другими словами: при перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный.

(1) = (2) свойство верно, что и требовалось доказать

3)Линейное свойство определителя

▪Если каждый элемент некоторой строки (столбца) представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной строки (столбца) прежние, а в данной строке (столбце) ы первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором определителе – вторые.

4)▪Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

▪Другими словами: при умножении всех элементов строки или столбца на число определитель тоже умножается на это число.

5) Если элементы какой либо строки (столбца) равны нулю, то и определитель

6) Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны, то определитель

7)Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

8)Если к каждому элементу одной из строк (столбцов) прибавить соответ- ствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число, то определитель не изменится.

9)Свойство алгебраических дополнений соседних строк (столбцов)

▪Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца) равна нулю

2. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: , ∙ , (, ).

Определение: ∙ = | | ∙ | | ∙ cos(, )

Так как | | ∙ cos(, ) = и | | ∙ cos(, ) = , то получаем, что

∙ = | | ∙ = | | ∙ , т.е. скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них и проекции другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

^ ,

Скалярное произведение векторов через координаты:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и на плоскости или в трёхмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и . То есть для векторов ( , ), ( , ) справедливо следующее:

30.10.2015 Ярослав Ермилов (МП-14)

Доказательство:

Отложим от начала системы координат (точки O) следующие векторы:

− = { − , − }

= { , }

= { , }

Свойства скалярного произведения векторов:

1)∙ = ∙ – переместительный закон скалярного произведения (комму-

тативность)

Доказательство:

∙ = | | ∙ | | ∙ (, )

∙ = | | ∙ | | ∙ ( , )| т. к. | | ∙ | | = | | ∙ | | и (, ) = ( , ),

то ∙ = ∙ , что и требовалось доказать

2)( ∙ ) ∙ = ( ∙ ) – однородность по первому ( ∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) – по второму) множителю (ассоциативность)

Доказательство: через координаты: ∙ { , }, { , } ( ∙ ) ∙ = + = ( + ) = ( ∙ )

3) ( + ) = ∙ + ∙ – распределительный закон скалярного произведения

(дистрибутивность)

Доказательство:

▪ через координаты: { , }, { , }, { , }( + ) = { ( + ), ( + )} = { + , + } (1)

∙ + ∙ = { , } + { , } = { + , + } (2) (1) = (2) свойство верно, что и требовалось доказать

▪ через проекции:

( + ) = | | ∙ ( + ) = | | ∙ ( + ) = | | ∙ + | | ∙ = = ∙ + ∙

4) 2 = | |2 – скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

Доказательство:

2 = ∙ = | | ∙ | | ∙ (, ) = | | ∙ | | ∙ 1 = | |2

3. Вычисление с помощью скалярного произведения | |, , (, ).

Определение скалярного определения описано в 2. Скалярное произведение векторов и его свойства..

∙ = | | ∙ | | ∙ cos(, )

1)≠ 0, ≠ 0, = 0 – прямая проходит через начало координат

2)= 0, ≠ 0, ≠ 0 – прямая параллельна оси

3)≠ 0, = 0, ≠ 0 – прямая параллельна оси

4)= 0, ≠ 0, = 0 – прямая совпадает с осью

5)≠ 0, = 0, = 0 – прямая совпадает с осью

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

= – коэффициент наклона прямой

− 0 = ( − 0) – уравнение прямой с угловым коэффициентом

что, он перпендикулярен векторам и , его длина равна | | = | | ∙ | | ∙ (, ), и направлен он так, что тройка векторов является правой тройкой.

Обозначение: [ ], [, ], ×

Определение: [, ] = , , , | | = | | ∙ | | ∙ (, ) , − пр. тр.

Геометрические свойства векторного произведения:

1)Если векторное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы коллинеарны (т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой).

2)Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, образованного этими векторами

Алгебраические свойства векторного произведения:

1)[, ] = −[ , ] – антикоммутативность

Доказательство:

2)[ , ] = [, ] – сочетательное свойство (ассоциативность) Доказательство:

а) λ > 0

=λ (′′ + ′′) = λ ∙ ′′ + λ ∙ ′′ = λ [, ] + λ [ , ] = [, ∙ ] + [ , ∙ ] =

=[, ] + [ , ], что и требовалось доказать

4)[, ] =

Доказательство:

[, ] = , | | = | | ∙ | | ∙ (, ) = , т. к. (, )

6. Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Если векторы заданы в координатном виде: = { , , }, = { , , }, то их векторное произведение имеет вид:

[ , ] = { − , − , − }, т.е.

Повернём систему координат так, чтобы вектор был сонаправлен с осью OX, а вектор лежал в плоскости XOY, т.е.

= { 1, 0, 0}, = { 1, 2, 0}, = { 1, 2, 3}

=∙ 0 − ∙ 1( 1 ∙ 2 − 2 ∙ 1) + ∙ 1(− 1 ∙ 3) =

={0, 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ 2, − 1 ∙ 1 ∙ 3}

(2) ( ∙ ) − ( ∙ ) = { 1, 2, 0} ∙ ({ 1, 0, 0} ∙ { 1, 2, 3}) − −{ 1, 2, 3} ∙ ({ 1, 0, 0} ∙ { 1, 2, 0}) =

={ 1, 2, 0} ∙ 1 ∙ 1 − { 1, 2, 3} ∙ 1 ∙ 1 =

={ 1 ∙ 1 ∙ 1, 1 ∙ 2 ∙ 1, 0} − { 1 ∙ 1 ∙ 1, 1 ∙ 1 ∙ 2, 1 ∙ 1 ∙ 3} =

={0, 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ 1 ∙ 2, −1 ∙ 1 ∙ 3}

(1)= (2) [, [ , ]] = ( ∙ ) − ( ∙ ), что и требовалось доказать

Примечание: векторное произведение векторов не зависит от системы координат.

8. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл и свойства.

Смешанным произведением трёх векторов называют число, полученное путём скалярного умножения векторного произведения [, ] векторов и , на вектор , т.е. < , , > = ([, ], )

Обозначение: < , , >

Определение: < , , > = ([, ], )

Геометрические свойства:

1)Смешанное произведение векторов , и равно объёму параллелепипеду,

построенному на этих векторах, приведённых к общему началу, взятому со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «–», если тройка левая

2)Если смешанное произведение векторов , и равно нулю, то эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости)

Алгебраические свойства:

1)< , , >=< , , > =< , , > – циклический сдвиг

2)< , , >= −< , , > – антикоммутативность

3)< + , , >=< , , > + < , , > – дистрибутивность по 1-му элементу

4)< ∙ , , > = < , , > – ассоциативность по 1-му элементу Примечание: доказывать, раскрывая по определению, применяя свойства скалярного и векторного произведений.