Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

PDF. Семестр 1. Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии. Ярослав Ермилов (МП-14)

.pdf
Скачиваний:
31
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
1.02 Mб
Скачать

30.10.2015

Ярослав Ермилов (МП-14)

9. Выражение смешанного произведения через координаты векторов (в косоугольной и в прямоугольной системе координат).

В косоугольной системе координат Если в косоугольной системе координат, с единичными (не обязательно)

векторами , и , три вектора заданы в координатном виде: = {1, 2, 3},

= { 1, 2, 3}, = { 1, 2, 3}, то их смешанное произведение имеет вид:

1 2 3

< , , > = | 1

2

3| <

, ,

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< , , > = <

+

2

+

,

 

+

+ ,

 

+

+

> =

 

 

1

 

 

3

1

2

3

1

2

3

 

= 1 1 1 < , , > + 1 1 2 < , , > + . . .

+ 3 3 3

< , , >

 

Нулевые элементы: < , , > = 0,

< , , > = 0 и т.д.

 

 

Выпишем ненулевые элементы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3 < , , > + 1 3 2 < , , >

+ 2 1 3 < , , > +

 

+ 2 3 1 < , , > + 3 1 2 < , , >

+ 3 2 1 < , , > =

 

= ( 1 2 3 1 3 2 2 1 3 + 2 3 1 + 3 1 2 3 2 1) < , , > =

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= | 1

2

3| < , , >, что и требовалось доказать

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Уравнение плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее уравнение плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее

уравнение

 

плоскости

 

имеет

 

вид

+ + + = 0,

где

коэффициенты , и С не равны нулю одновременно.

Нормальный вектор (вектор нормали) плоскости – это вектор, который

перпендикулярен данной плоскости.

 

 

Для плоскости, заданной уравнение вида + + + = 0:

= { , , }

Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

 

 

Дано:

точка

0( 0, 0, 0) и два неколлинеарных вектора

= { , , },

= {

,

, }.

Уравнение плоскости, которая проходит через

точку

 

 

 

 

 

 

0

параллельно векторам и (либо через них) имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

| − 0

 

| = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-11-

30.10.2015

Ярослав Ермилов (МП-14)

Примечание: Если вектора будут коллинеарными, то точка и два таких коллинеарных вектора не будут определять плоскость (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки).

Уравнение плоскости по трём точкам Если даны три (несовпадающие и не лежащие на одной прямой) точки, то

уравнение плоскости, проходящее через эти точки имеет вид:

( , ,

),

( , ,

), ( , , )

0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

0

1 0

2 0

| − 0

1 0

2 0| = 0

0

1 0

2 0

 

Примечание: данный способ определения плоскости является координатным представление предыдущего способа, где в качестве неколлинеарных векторов

 

 

выступают вектора 0 1

и 0 2.

Уравнение плоскости по точек и нормальному вектору Уравнение плоскости, проходящей через точку 0( 0, 0, ) перпенди-

кулярно нормальному вектору = { , , } имеет вид:

( − 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0

Примечание: если раскрыть скобки и объединить постоянные величины − ∙ 0, − ∙ 0 и − ∙ 0 в новую постоянную величину , то получится общее уравнение плоскости + + + = 0, где = − ∙ 0 − ∙ 0 − ∙ 0

11. Уравнение прямой в пространстве: каноническое, параметрическое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ ,

} направляющий вектор прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(вектор, параллельный или совпадающий с прямой)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьмём , тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(; ; )

 

, т.к. 0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

{

 

;

; }

 

 

 

 

 

 

 

{ − 0, −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

 

координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− , − },

∙ = {

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, }, приравняв

 

 

 

(

;

 

,

 

 

)

 

0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

иполучим:{ − 0 = (1) и (2)

0 =

 

 

 

=

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

{

=

+

 

– параметрическое уравнение прямой

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

=

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

0

=

0

=

0

 

– каноническое уравнение прямой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-12-

30.10.2015 Ярослав Ермилов (МП-14)

12. Уравнение прямой в п-мерном пространстве. Уравнение гиперплоскости.

Уравнение прямой в п-мерном пространстве

 

 

 

 

 

 

Если

= ( 0

, 0

, … , 0)

– фиксированная точка прямой , = { , , … ,

 

}

 

 

 

 

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

– направляющий вектор прямой, то каноническое уравнение прямой имеет вид:

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

=

 

2

 

2

=. . . =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение гиперплоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гиперплоскость

n-мерного

 

пространства — подпространство

 

с

размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство, т.е. n−1

 

 

 

Если

= ( 0

, 0

, … , 0)

– фикс. точка гиперплоскости, = ( ,

2

, … ,

 

)

 

 

 

 

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

– нормальный вектор гиперплоскости, то уравнение гиперплоскости имеет вид:

 

 

 

( − 0) +

2

( − 0)+. . . +

 

( − 0) = 0

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∙ +

2

∙ +. . . +

 

∙ + = 0

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Расстояние и отклонение точки от прямой на плоскости.

 

 

 

 

 

Если на плоскости задана точка (

 

, ) и прямая , заданная уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вида + + = 0, то расстояние и отклонение этой точки от прямой можно найти по следующим формулам:

 

| ∙ + ∙ + |

 

∙ + ∙ +

( , ) =

 

 

; ( , ) =

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2

 

 

2 + 2

 

Примечание: доказательство аналогично доказательству нахождения расстояния и отклонения точки от прямой в пространстве (

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-13-

30.10.2015

Ярослав Ермилов (МП-14)

15. Расстояние и отклонение точки от плоскости.)

14. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

 

 

 

 

Пусть точка 0

принадлежит прямой , для

 

 

которой задан направляющий вектор , тогда

 

 

 

 

 

 

, )

 

 

[ 0

× ] = | 0| ∙ | | ∙ sin( 0

S

 

 

 

 

 

 

 

= |[ 0, ]|; с другой стороны = ∙ | |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|[ 0 × ]|

|[ 0 × ]|

 

 

=

| | =

| |

(, ) =

| |

 

 

 

 

 

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-14-

30.10.2015

 

 

 

 

 

 

 

Ярослав Ермилов (МП-14)

15. Расстояние и отклонение точки от плоскости.

 

 

 

 

Первый способ (через параметрический вид уравнения перпендикуляра):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: : + + + = 0; ( , , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

найти расстояние от точки

 

до

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости

 

проведём

прямую

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направляющий вектор прямой совпадает с

 

 

 

 

 

 

нормальным вектором плоскости α. Запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение прямой в параметрическом виде:

 

 

 

 

 

 

=

+ ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

+ ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: {

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

+ ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим выраженные через параметр значения координат PK в

уравнение плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( + ∙ ) + ( + ∙ ) + (

+ ∙ ) + = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ∙ (A2 + 2 + 2) = − ∙ − ∙ − ∙ −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∙ + ∙ + ∙ +

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

− значение параметра для точки К

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ∙ + ∙ + ∙ + | ∙ √2 + 2 + 2

 

(, )

 

| |

∙ | | =

 

 

 

 

 

 

=

= | | =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ∙ + ∙ + ∙ + |

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| ∙ + ∙ + ∙ + |

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∙ + ∙ + ∙ +

 

 

 

 

 

 

(, )

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй способ (через проекцию):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: : + + + = 0; ( , , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы найти расстояние от точки до

 

 

 

 

 

 

плоскости выберем произвольную точку 0

 

 

 

 

 

 

на плоскости и спроецируем вектор

 

 

 

 

 

 

 

0 на

 

 

 

 

 

 

нормальный

вектор

 

плоскости

α.

Длина

 

 

 

 

 

полученной проекции вектора и есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расстояние от точки до плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(, )

 

 

| 0

| ∙ | | ∙

( 0 , )

|( 0 , )|

= 0 = | 0 | ∙ ( 0 , ) =

| |

=

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

 

-15-

30.10.2015

 

 

 

 

 

 

Ярослав Ермилов (МП-14)

16. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

 

 

 

 

 

 

 

Прямые 1 и 2 скрещивающиеся, т.е. не

 

 

лежат в одной плоскости,

значит их можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заключить в параллельные плоскости α и β.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

общий перпендикуляр скрещива-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ющихся прямых 1 и 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 , 1 2 , 1 2 1, Н1 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

точки прямой

и

 

соответственно

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

< ,

 

 

объём параллелепипеда, построенного на векторах

, 1 2 > = пар.

,

 

 

 

] = осн. – площадь его основания, 1 2 = – высота.

и 1 2. [ ×

(

,

 

) = = пар. = |<

 

,

 

 

 

, 1 2 >|

1

 

2

 

осн.

 

 

 

|[ × ]|

 

 

 

 

 

 

17. Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости.

Поворот системы координат относительно начала координат

 

 

 

 

Выразим координаты точки (, )

 

 

 

 

через систему координат ′ ′: (, )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∙ + ∙ = ′ ∙ ′ + ′ ∙

 

 

 

 

 

= (cos , sin ) = ∙ cos + ∙ sin

 

 

 

 

= (cos (

 

+ ) , sin (

 

+ )) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

= ∙ − ∙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∙ + ∙ = ( ∙ + ∙ ) + ( ∙ − ∙ ) =

=( ∙ cos − ∙ sin ) + ( ′ ∙ + ′ ∙ cos )

= cos + sin { = cos − sin

= cos − sin { = cos + sin

формула перехода от старой системы к новой

формула перехода от новой системы к старой

Параллельный перенос системы координат

 

 

’ = (, ), = (, ) = (, )

 

 

{

= −

{

= +

 

 

 

= −

=

+

 

 

 

 

 

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-16-

30.10.2015 Ярослав Ермилов (МП-14)

18. Вывод канонического уравнения а) эллипса, б)гиперболы, в) параболы.

 

Эллипс. Определение. Каноническое уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эллипс – геометрическое место точек плоскости, для которых сумма

 

расстояний до двух фиксированных точек 1 и 2

этой плоскости, называемых

 

фокусами, есть величина постоянная.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если точка с координатами (, )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(; )

 

– точка эллипса, то | 1| + | 2| = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. 1 + 2 = 2, т.к. сумма двух сторон

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 и 2треугольника 1 2 больше

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(− ; )

(; )

 

 

третьей стороны F1 2 = 2, то 2 > 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= √( + )2

+ 2, = √( − )2 + 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√( + )2 + 2 + √( − )2 + 2 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

 

2

= 1

– каноническое уравнение эллипса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гипербола. Определение. Каноническое уравнение.

Гипербола – геометрическое место точек плоскости, для которой абсолют-

ная величина разности расстояний до двух фиксированных точек 1 и 2 этой

плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

2

2

= 1

– каноническое уравнение гиперболы

 

2

2

 

 

 

 

Парабола. Определение. Каноническое уравнение.

Парабола – геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой этой плоскости,

называемой директрисой.

2 = 2 – каноническое уравнение параболы

19. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Избавление от “ ” с помощью

поворота.

 

2 + 2

+

22

2 + 2

+ 2

23

+

33

= 0

– уравнение

кривой

11

12

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

второго порядка в общем виде, где

2 + 2

+

22

2 – квадратичная часть,

 

 

 

 

 

11

 

 

12

 

 

 

 

 

213 + 223 – линейная часть, 33 – свободный член.

 

 

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-17-

30.10.2015

 

Ярослав Ермилов (МП-14)

= cos − sin

= cos + sin

 

{ = cos + sin

{ = cos − sin

– формулы перехода к новой,

повёрнутой на угол , системе координат ’ ’:

11 2 + 212 + 22 2+ . . . = 011()2 + 212( )( + ) +

+ 22( + )2+ . . . = 0

 

Коэффициент перед = 0, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

∙ ∙ + 2 ( 2

2 )

+ 2

22

∙ ∙ = 0

11

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 sin 2 + 212 cos 2 + 22 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 22

11) sin 2 = −212 cos 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2 = −

 

212

; 2 =

212

 

; =

 

1

 

212

 

 

 

22

 

 

22

2

 

22

 

 

 

 

 

11

11

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

Вывод: чтобы избавиться от нужно повернуть систему координат на угол ,

который равен

1

 

 

2 12

2

 

11

 

 

 

 

22

20. Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка. Классификация кривых 2-го порядка.

21. Построение и свойства эллипсоида.

22. Построение конуса и гиперболоидов. Асимптотический конус гиперболоида.

23. Построение параболоидов.

24. Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка.

25. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности 2-го порядка:

а) , , ≠ ; б) , ≠ , = ; в) ≠ , , = ; Классификация

поверхностей 2-го порядка.

«Ответы на вопросы к коллоквиуму по аналитической геометрии»

-18-

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]