Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5135 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Эконометрика. Тихомиров

.pdf
Скачиваний:
458
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
6.13 Mб
Скачать
☆

Выборка составлена таким образом, что номера от 1 до 100 соответствуют

женщинам, а со 101 по 300 – мужчинам.

Требуется:

1.Предложить два способа представления нулевой гипотезы, что заработная плата мужчины для данного уровня образования и опыта работы выше, чем у женщины с такими же характеристиками.

2.Проверить гипотезу, что коэффициенты уравнений типа (9.2),

построенных отдельно для подвыборок мужчин и женщин, совпадают.

Известно, что в модели для женщин сумма квадратов остатков равна 0,13, а

для мужчин – 0,33. Оценка МНК по всей выборке дает сумму квадратов остатков 0,6.

3. Предложить способ тестирования гипотезы, что заработная плата зависит от размера фирмы, причем от размеров фирмы линейно зависит коэффициент 1t:

1t = 10+ 11 zt-

 

4. Показать эквивалентность МНК-оценок коэффициентов 1

и 2 в

модели

 

yt 1 Dt 2 (1 Dt ) t ,

 

где Dt =

1;

для 1,...,T1;

0;

для T1 + 1,...,T

и в модели, построенной отдельно для двух подвыборок t=1,..., Т1; t=Т1+1,...,

Т.

Задание 9.3

Имеется линейная однофакторная регрессионная модель

yt

0t 1t xt ,

(9.3)

в которой неизвестные параметры меняются в случайном порядке

it i it ,i 0,1;

где i – нестохастическая величина и

M[ it ] 0; D[ it ] i2

;Cov( it , j )

0;t ;

 

ij

;t .

 

 

 

 

 

 

Требуется показать, что эту модель можно интерпретировать как линейную регрессионную модель с гетероскедастичным остаточным членом.

Задание 9.4

На основании квартальных данных с 1993 по 1997 гг. с помощью МНК было получено следующее уравнение регрессии:

y

t

114,

0,0111

x1t

5,478

x2t

0,0432

x3t

.

 

 

 

 

 

 

Регрессионная сумма квадратов равна 112,44, а сумма квадратов остатков –

22,78.

Требуется:

1.Проверить гипотезу о наличии сезонности, если при добавлении в уравнение трех фиктивных переменных, соответствующих трем первым кварталам года, регрессионная сумма увеличилась до 120,75.

2.Проверить гипотезу о наличие структурного изменения между вторым

итретьим кварталами 1995 года, если при раздельном проведении двух регрессий на основании данных с первого квартала 1993 г. по 2-й квартал

1995 г. и с 3-го квартала 1995 г. по 4-й квартал 1997 г. были получены суммы

квадратов остатков соответственно 11,44 и 2,75.

ГЛАВА X. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СО

СПЕЦИФИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

В эконометрических исследованиях иногда приходится учитывать взаимосвязи не только между количественными характеристиками рассматриваемых явлений, объектов, но и принимать во внимание различия в их качестве. Качество, например, может быть выражено статусом объекта,

его принадлежностью к какой-либо группе, наличием или отсутствием у него определенных свойств, стохастическим (вероятностным) характером их проявления и т. п. В этих и некоторых других случаях качество может быть выражено специфическими показателями, в частности, порядковыми числами, вероятностями, дихотомическими переменными (0 или 1) и т. д.

При этом такие показатели могут выражать уровни как зависимых, так и независимых переменных эконометрической модели.

К специфическим переменным могут быть отнесены также и переменные,

значения которых измерены с ошибками. В частности, ошибка может возникать из-за использования выборочных средних вместо средних по генеральной совокупности (при измерении спроса, дохода и т.п.), данных экстраполяции вместо измеренных значений, наконец, при использовании неточного инструментария измерения и в целом ряде других случаев.

Включение в эконометрическую модель специфических переменных часто ведет не только к изменению ее вида, содержания, но и может создать определенные проблемы при получении оценок ее параметров. В данной главе будут рассмотрены особенности построения эконометрических моделей, содержащих некоторые виды таких специфических переменных.

10.1.Эконометрические модели с ошибками в переменных

Вобщем случае следует разделять три ситуации, связанные с ошибками переменных эконометрической модели: ошибки имеют место у зависимой переменной, у независимых переменных и у тех и других вместе взятых.

Рассмотрим возможные последствия этих ошибок с точки зрения проблемы получения “качественных” оценок параметров модели.

1. Ошибки измерения зависимой переменной у.

Представим нелинейную эконометрическую модель в векторно-матричной форме записи

y=X + ,

где, как и ранее, X – матрица значений независимых факторов размера

Т (п+1), – вектор коэффициентов модели, состоящий из п+1 компоненты, а

– вектор ошибки модели, обладающий “классическими” свойствами,

Сov( )= 2 E, ошибки и факторы независимы.

В отношении вектора у будем предполагать, что его компоненты,

являющиеся истинными значениями переменной у в моменты t=1,2,...,Т;

измерены с ошибкой ut и данные измерений представлены в виде следующих сумм:

~

 

y

 

 

 

~

y u,

(10.1)

y

t

t

ut

, y

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

где

y

t

– измеренное значение зависимой переменной в момент t, а ut

 

ошибка, допущенная при измерении этого значения. Соответственно характеризует вектор измеренных значений зависимой переменной, а и вектор их ошибок.

С учетом (10.1) эконометрическую модель можно представить следующем виде:

–

~ y

–

в

~

(10.2)

y =X +( +и).

Дальнейшие выводы зависят от свойств ошибки и. Логично предположить,

что вектор и и столбцы матрицы X (значения факторов модели) независимы,

и что математическое ожидание ошибки и равно нулю: M[и]=0, и в ряду ut

отсутствует автокорреляция. В этом случае очевидно, что привнесение ошибки измерения зависимой переменной ведет лишь к увеличению дисперсии модели, поскольку она при независимости ошибок t и ut

определяется следующим выражением:

2= 2+ u2. (10.3)

Наличие у ошибки ut каких-либо свойств, отличающих ее от “белого шума” или характеризующихся ее статистическими взаимосвязями со значениями параметров хit, приводит к тому, что аналогичные свойства появляются и у суммарной ошибки модели (10.2). В этом случае при оценке

еепараметров необходимо использовать соответствующие методы

(обобщенный МНК, метод инструментальных переменных).

Если математическое ожидание ошибки и отлично от нуля (случай систематической ошибки измерений), то очевидно, что использование,

например, МНК при оценке параметров модели (10.2) приведет к смещенным оценкам, поскольку в этом случае математическое ожидание вектора ошибок оценок параметров (Х Х)–1 Х ( +и) будет отлично от нуля, так как M[(Х Х)–

1 Х и] 0 в силу M[и] 0. Однако, если величина смещения ошибки и известна, то корректировкой исходных данных зависимой переменной уt на

ее величину несложно перейти к исходным условиям задачи, когда

o

M [u] 0,

o

o

 

 

u u M [u], где u – скорректированная ошибка зависимой переменной.

 

2. Ошибки измерения независимых переменных хi, i=1,2,..., n.

 

 

Предположим, что истинные значения независимых переменных равны хit,

а

~

ними определена

их измеренные значения равны x it , и связь между

следующим выражением:

 

 

 

~

,

(10.4)

 

x it x it vit

где vit – случайная ошибка измерения i-й переменной в момент t, i=1,2,..., n; t=1,2,..., T.

В отношении этой ошибки будем предполагать, что ее математическое

ожидание равно нулю, дисперсия (постоянная по времени) равна

 

2

,

для

vi

 

 

 

каждого i во временном ряду ошибки vit отсутствуют автокорреляционные связи и ошибки измерения различных параметров независимы между собой,

т. е. cov(vi, vj)=0.

Соответствующие матрицы значений независимых переменных в этом

случае связаны следующим образом:

 

 

~

(10.5)

 

 

X X V,

где

~

и Х – матрицы измеренных и истинных значений

независимых

X

переменных соответственно, а V – матрица ошибок измерения.

В этом случае при использовании данных измерений независимых переменных эконометрическая модель может быть представлена в

следующем виде:

 

у= X (–V),

(10.6)

~

 

где –V представляет собой вектор ошибки такой модели.

Оценивая коэффициенты модели (10.6) с помощью МНК, получим

~ a

~ ~

1

~

( X' X)

 

X'

y

~ ~

1

( X' X)

 

= ~

( X '

~

~

(–V)]=

 

X'[X

 

~

1 ~

 

(10.7)

X )

X ' (–V),

где ~

a

– вектор оценок коэффициентов модели .

Из выражения (10.7) непосредственно следует, что свойства оценок

a

 

~

определяются вторым слагаемым его правой части. При этом несложно

убедиться, что, в частности, оценки

a

являются асимптотически

 

~

 

смещенными (а значит и смещенными при конечном объеме выборки Т) и

несостоятельными.

Заметим, что при ограниченной выборке, т. е. значение Т конечно,

математическое ожидание разности векторов параметров модели и их оценок определяется следующим выражением:

M[

~ a

– ]=M[

~ ( X '

~

1

X )

 

~ X '

( –V )]=M[

–M[ ~ ~ ( X ' X )

~ ( X '

1 ~ X

~

1

~

X )

 

X '

'

V ].

 

]–

(10.8)

Даже при условии независимости истинных значений факторов хit и

ошибки t, второе слагаемое правой части этого выражения отлично от нуля.

Чтобы показать это, выразим одну из матриц

~

 

 

 

 

X ' из (10.8), с учетом ее вида

(10.5). С учетом независимости х и , х и V и нулевых математических

ожиданий ошибок и V, получим

 

 

 

 

 

 

~ ~

1

( X

 

~

~

1

( X V)' V ]=

 

M[ a~ – ]=M[ ( X' X)

 

V)' ––M[( X'

X)

 

 

 

 

 

~ ~ 1

 

 

 

(10.9)

 

 

 

M[ ( X' X)

V' V ] 0,

поскольку математическое ожидание произведения матриц V V не равно нулю.

В частности, при отмеченных выше свойствах ошибки V несложно показать, что

 

0

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

M[V 'V ]

 

2

 

,

v

2

 

 

 

 

 

 

 

...

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

vn

где дисперсия ошибки измерения i-го фактора может быть определена следующим выражением

 

 

 

2

 

 

 

 

vit

,

2

t

 

 

 

 

vi

 

T 1

 

 

 

 

 

а нулевой элемент на главной диагонали характеризует нулевую дисперсию

единичного столбца матрицы

~

X .

Для модели с центрированными переменными в случае одной независимой переменной несложно показать, что величина смещения определяется

следующим выражением:

 

 

 

 

o

]=M[( –v 1) (

o

 

 

 

 

 

Cov[( –v 1) , x

x +v)]=– 1 M[v v]= – 1 v .

 

 

 

 

~

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.11)

где

o

,

o

– вектора центрированных

измеренных и истинных значений

x

x

 

~

 

 

 

 

 

 

независимой переменной соответственно; v – вектор ошибки измерения

независимой переменной; v2 – дисперсия этой ошибки,

1 – параметр

модели, которая в данном случае имеет следующий вид:

 

 

o

 

o

 

 

y

t = 1

~

t + t.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Наличие или отсутствие свойства

 

состоятельности у

оценок

a (в

 

 

 

 

 

~

предположении, что существует предел по вероятности вторых моментов

измеренных значений переменных

~

~ ~

x i , т. е.

plim[1/T ( X ' X )] 0 и предел по

вероятности вторых моментов ошибки измерений plim[1/T (V V)] 0) зависит

от равенства (или неравенства) нулю предела plim[1/T ~ ( –V )], где, X '

напомним, обозначение plim характеризует предел по вероятности при Т

(см. раздел 1.5). Несложно заметить, что это выражение преобразуется к следующему виду:

plim[1/T

~ X '

( –V )]= plim(1/T

~ X '

)–plim(1/T

~ X '

V) .

При предположении об асимптотической независимости (т. е. при Т )

ошибки , измеренных значений факторов и ошибок их измерения получим

plim(1/T

~ X '

V)=plim(1/T Х V)+ plim(1/T V V)= plim(1/T V V).

Откуда следует, что асимптотическое смещение оценок параметров эконометрической модели с ошибками измерений независимых переменных определяется следующей формулой:

plim[

~ a

– ]=–plim (1/T

~ X '

~ X

)–1 plim(1/T V V) .

(10.10)

Очевидно, что правая часть этого выражения не равна нулю, поскольку

~

~

–1

и plim(1/T V V) по определению существуют и

пределы plim (1/T X ' X )

 

второй из них представляет собой асимптотическую ковариационную

матрицу ошибок измерений.

 

 

 

Поскольку

оценка

a

смещенная

для конечных

значений Т и

 

 

~

 

 

 

несостоятельная, то очевидно, что она и асимптотически смещенная.

3. Ошибки

измерения

зависимой

переменной у

и независимых

переменных, хi, i=1,2,..., n.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности