Эконометрика. Тихомиров

Иными словами, входящие в первое уравнение независимая переменная и ошибка оказываются коррелированными, а, следовательно, и прямое использование МНК для получения оценок коэффициентов этого уравнения даст смещенные результаты. При этом из выражения (8.5) следует, что это смещение не может быть устранено увеличением объема выборки, поскольку

Оценки со смещением, не устраняемым увеличением объема выборки,

называют несостоятельными. Если такие оценки получены с использованием

МНК, то часто употребляется термин “несостоятельный МНК”.

Аналогично можно показать, что во втором уравнении системы (8.1)

переменная Qt связана с ошибкой 2t и применением обычного МНК и в этом случае ведет к смещенным оценкам параметров 0, 1 и 2.

Заметим далее, что, вообще говоря, уравнения системы (8.1) могли бы быть рассмотрены и по отдельности. Однако это не будет означать, что взаимосвязи между переменными, входящими в их правые части, и

соответствующими ошибками исчезли. Эти взаимосвязи существуют вне зависимости от того, объединяются ли данные уравнения в систему. Они предопределены характером взаимоотношений в экономике между рассматриваемыми процессами, а не самим объединением их в систему.

Просто в системе взаимосвязи между независимыми переменными и ошибкой становятся непосредственно очевидными, поскольку они могут получить количественную оценку.

Таким образом, системы взаимозависимых эконометрических моделей выражают через структурную форму взаимосвязей между явлениями их

Вместе с тем следует отметить, что существует класс систем взаимозависимых эконометрических моделей, в которых эндогенные переменные и ошибки можно считать статистически независимыми. Это так называемые “рекурсивные системы”. Простейшим их примером можно считать систему (8.2).

В результате подстановки первого уравнения из (8.2) во второе получим

Из выражения (8.8) вытекает, что цена товара Pt в период t, определяемая вторым уравнением, зависит от ошибки первого уравнения. Однако,

поскольку при определении коэффициентов первого уравнения из (8.2)

используется не значение Pt, а значение Pt–1, которое не связано с ошибкой

t*, то использование МНК не приводит к смещению оценок коэффициентов

0 и 1.

С учетом этого факта коэффициенты каждой из эконометрических моделей, входящих в рекурсивную систему, могут быть оценены с использованием обычного МНК и полученные их оценки не будут смещенными.

Рассмотрим проблемы построения систем взаимозависимых эконометрических моделей более подробно, в том числе и с формальных позиций.

* Ошибка t формируется позже, чем значение Pt–1, поэтому связь между этими переменными отсутствует.

ошибками всех моделей системы (8.1), поскольку ошибки иkt являются линейными комбинациями ошибок it.

Точно так же, как и для системы (8.1), можно доказать, что и в общем случае системы (8.9) и ее векторно-матричного аналога (8.11), ее характерной чертой является наличие статистических взаимосвязей между эндогенными переменными уkt, входящими в правую часть i-го уравнения этой системы, и

его ошибкой it. Для переменной y2t, например, это несложно сделать,

подставив во второе уравнение системы вместо переменной y1t,

определяющее ее первое уравнение системы. В результате получим

следующее выражение:

факторов, входящих в модель, после подстановки первого уравнения системы во второе, и приведения подобных членов.

Аналогичным образом, подставляя во второе уравнение системы (8.9)

третье, четвертое и т. д. т-е уравнение, увидим, что переменная y2t

взаимосвязана с ошибками 3t, 4t,..., mt и ее вхождение в правую часть этих уравнений в качестве независимого фактора в случае использования МНК влечет за собой смещение оценок их параметров.

Точно также можно показать наличие взаимосвязей и между другими эндогенными переменными, рассматриваемыми в уравнениях системы (8.9) в

качестве независимых факторов, и ошибками этих уравнений.

При сопоставлении структурной и приведенной форм системы (8.11)

следует иметь в виду, что при заданном составе эндогенных и экзогенных

переменных приведенная форма является единственной, определенной матричным уравнением (8.13). В то же время структурная форма вытекает из содержательных предпосылок, лежащих в основе модели, отражающих эмпирический опыт, интуицию исследователя, то или иное направление экономической теории. Вследствие этого, даже при известном составе эндогенных и экзогенных переменных в общем случае может существовать множество структурных форм, каждая из которых определяется специфическими соотношениями включенных переменных, в свою очередь,

отражающими определенные варианты содержательных предпосылок системы (8.9).

Можно показать, что некоторые из этих форм взаимосвязаны между собой.

Предположим, что существует невырожденная матрица F размера т т.

Умножим выражение (8.11) слева на эту матрицу. В результате имеем

F А уt+F В хt=F t. (8.18)

Обозначив F А=А1, F В=В1, F t= t , получим новую структурную форму

А1 уt+В1 хt= t . В частности, приведенная форма (8.13) получена при условии, что F = А–1.

Преобразуем новую структурную форму (8.18) в приведенную. Для этого умножим это выражение слева на матрицу (F А)–1.

В результате получим следующее выражение:

уt=–А–1 В хt+иt.

Выражения (8.18) и (8.19) формально доказывают единственность приведенной формы и множественность структурных форм для заданного состава эндогенных и экзогенных переменных.

Заметим, что структурная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей (8.11) может быть представлена и в более компактной форме записи

где вектор zt размера (т+п) объединяет векторы уt и хt , а матрица D размера

т( т+п) объединяет матрицы А и В.

где [А В] – матрица, образованная построчным присоединением матрицы В к

матрице А. Таким образом, она содержит т строк и т+п+1 столбец. Кроме того, заметим, что и структурная форма (8.11) и приведенная форма (8.9)

сформированы для каждого из текущих индексов t. В общем виде, развернув каждую из переменных по индексу t, структурную форму (8.11) можно представить в следующем виде:

где Y и X представляют собой матрицы размера Т т и Т( п+1)

соответственно:

аматрица размера Т т объединяет ряды ошибок it, i=1, 2,..., т; t=1, 2,..., T:

11 21 ... m1

= ... ... ... ... . (8.24)

1T 2T ... mT

Вряде литературных источников можно встретить чуть более привычное развернутое представление системы (8.11), в котором элементы матриц А и В

сформированы в виде векторов, состоящих из т2 и т (п+1) компонент соответственно. Тогда общий вид этой системы определяется следующим выражением:

где Y – блочно-диагональная матрица размера (Т т т2) вида

X – блочно-диагональная матрица размера (т Т (n+1) т) вида