Эконометрика. Тихомиров

Четвертое уравнение системы (8.34) по своему содержанию является ограничением. Его необходимо учитывать при формировании матриц G1, G2

и G3 в случае ее использования при идентификации первых трех моделей.

Данное ограничение записывается вектором-столбцом следующего вида:

0

11

Таким образом, например, для первого уравнения системы (8.34) матрица

G1 примет следующий вид:

где первый присоединенный столбец определяет ограничение 12=0, второй –13=0, третий 12 =0,... , предпоследний – 15 =0 и последний – ограничение,

выражаемое четвертым уравнением системы (8.34).

Рассмотренный в данном разделе материал свидетельствует, что оценки параметров структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием приведенной формы этой системы могут быть однозначно определены только в случае идентифицируемости каждого из ее уравнений. При этом, поскольку оценки параметров приведенной формы являются несмещенными, то можно ожидать, что и оценки параметров структурной формы будут обладать этим свойством. На практике оценкам структурной формы передается свойство состоятельности. Вместе с тем, условие идентифицируемости каждой из моделей, входящих в систему, выполняется при наличии вполне определенного количества ограничений, накладываемых на ее параметры.

Это следует из того факта, что в общем случае число уравнений, на основе которых определяются значения этих параметров, меньше их количества.

При этом, заметим, что для идентифицируемости всей системы моделей необходимо, чтобы число ограничений в каждой из них было одно и то же.

Естественно, что столь жесткие требования на количество ограничений на практике удовлетворяются далеко не часто. Вследствие этого рассмотренный косвенный метод при оценке параметров структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей нельзя считать универсальным.

В следующем разделе будут рассмотрены более общие подходы к решению проблемы получения таких оценок, которые не имеют столь жестких ограничений по своему применению.

8.4. Оценивание параметров структурной формы на основе

двухшагового МНК с использованием инструментальных переменных

Двухшаговый МНК является одним из наиболее “популярных” методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы. Рассмотрим особенности применения этого метода на примере

Основная идея использования двухшагового МНК для оценки

коэффициентов модели (8.50) состоит в следующем.

1.На первом шаге конструируются новые значения зависимых

оценке коэффициентов модели (8.50) также с помощью обычного МНК.

m, обычно рекомендуется использовать соответствующие уравнения приведенной формы системы. В соответствии с этим данные значения

определяются как расчетные значения зависимых переменных

“классических” эконометрических моделей для моментов времени t=1,2,...,Т

при иit 0 (в соответствии с традиционным свойством ошибки M[иit]=0), так что

переменных, входящих в приведенную форму системы эконометрических уравнений. Ее размер равен Т(k+1), где k – общее число независимых переменных системы. В то же время в каждом из ее структурных уравнений количество переменных, рассматриваемых как независимые, может быть меньше, чем k. Таким образом, п k. Заметим, что в качестве независимых переменных могут рассматриваться как чисто экзогенные факторы, так и

эндогенные запаздывающие переменные, чьи значения уi,t-r не могут быть связаны с ошибкой it (из-за разницы во времени), где r – величина запаздывания (см. пример 8.3).

инструментальных переменных, рассмотренных в разделе 3.3. Вследствие

этого многие проблемы оценивания параметров эконометрических моделей с использованием инструментальных переменных практически

«автоматически» переносятся и на оценки коэффициентов структурной формы систем таких моделей. В частности, теория свидетельствует, что при выполнении обычных предположений относительно независимости факторов и ошибки, гетероскедастичности и некоррелированности ошибки в пределе при Т , и ряда других (см. главу 3), найденные с помощью подобной процедуры оценки коэффициентов, входящих в систему структурных уравнений (эконометрических моделей), являются состоятельными и что свойство состоятельности с точки зрения практики можно толковать как уменьшение смещения оценок с ростом числа наблюдений (длины рядов исходных данных). Более того, в этих условиях

оценки имеют асимптотически нормальное распределение, что позволяет использовать при анализе качества построенных моделей параметрические критерии Стьюдента и Фишера.

Вместе с тем, в реальных эконометрических исследованиях, как правило,

длина ряда исходных данных ограничена (т. е. зафиксирована конкретным значением Т). В такой ситуации уместен вопрос, начиная с какого количества наблюдений можно считать, что смещения оценок стали незначительными и их можно не принимать во внимание в дальнейшем анализе.

Ответа на этот вопрос теория не дает. Более того, результаты практических исследований часто свидетельствуют, что при относительно коротких временных рядах исходных данных смещенность оценок, полученных с помощью двухшагового МНК, может быть достаточно существенной, по крайней мере, сопоставимой со смещенностью оценок, полученных на основе обычного МНК.

Вместе с тем, свойство состоятельности оценок двухшагового МНК многими специалистами рассматривается как очевидное преимущество этого метода по сравнению с одношаговым МНК, и поэтому именно процедуры двухшагового МНК обычно рекомендуются для построения структурных форм систем взаимозависимых эконометрических моделей в исследованиях реальных процессов.

Рассмотрим проблемы получения оценок коэффициентов уравнений структурной формы системы эконометрических моделей более подробно на примере модели (8.49).

Первый шаг.

На основании выражения

определяется матрица расчетных значений эндогенных переменных у2t,..., уmt.