Эконометрика. Тихомиров
.pdf
В общем случае ограничения на структурные параметры моделей системы
(8.36) подразделяются на исключающие и линейно однородные. При исключающих ограничениях коэффициент при отсутствующей в уравнении переменной приравнивается к нулю. При линейно однородных ограничениях значения некоторых коэффициентов приравниваются к конкретному числу,
вытекающему из условий соотношений, в которые входят соответствующие им переменные. Так, в примере 8.3 в первых трех строках в матрице В использованы только исключающие ограничения. В четвертой строке матриц
А и В использованы как исключающие, так и линейно однородные ограничения, соответствующие четвертому (балансовому) уравнению системы (8.34).
Рассмотрим условия, определяющие возможности использования выражения (8.36) для оценки коэффициентов структурной формы системы
(8.11), более подробно для отдельного входящего в эту систему уравнения.
Для этого представим выражение (8.36) с использованием матрицы D=[AB] в
следующем виде:
С |
|
|
[AB] Е п + 1 |
= D G= 0, |
(8.37) |
D=[AB] – матрица размера т (т+n+1), образованная присоединением столбцов матрицы B к матрице A;
С |
|
G= Е п + 1 |
– матрица размера (т+n+1) (n+1), образованная присоединением |
строк квадратной единичной матрицы Еп+1 размера (n+1) к матрице С;
a11 c10 a12 c20 ... |
a1m cm0 b10 0; |
|
a11 c11 a12 c21 ... |
a1m cm1 b11 0; |
|
a11 c12 a12 c22 ... |
a1m cm2 b12 0; |
(8.40) |
.............................................................. |
|
|
a11 c1n a12 c2n a1m cmn b1n 0, |
|
|
где aij – неизвестные оценки соответствующих коэффициентов матрицы А; b1j
– неизвестные оценки коэффициентов первого столбца матрицы В; cij –
известные оценки коэффициентов приведенной формы системы (элементов матрицы С); i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Заметим, что система (8.40) выражает несколько другую запись уравнения
(8.39), которая в векторно-матричной форме записывается как
С
Е п + 1 d 1 = 0.
Система (8.40) в общем случае включает в себя n+1 однородное уравнение и содержит т+n+1 неизвестное (оценки коэффициентов 1i и 1j, i=1, 2,..., m
; j=0, 1,..., n). Вместе с тем для однозначного определения этих оценок необходимо, чтобы количество неизвестных среди них было равно рангу
матрицы G за вычетом единицы.
Если обозначить количество известных коэффициентов в строке d 1 как w1,
а неизвестных – как w2, w1+w2=т+n+1, а ранг матрицы |
G – как (G), то это |
условие может быть представлено в следующем виде: |
|
w2 =т+n+1–w1= (G)–1. |
(8.41) |
Выражение (8.41) известно как условие идентифицируемости системы
(8.11) или ее некоторой модификации.
Напомним, что при выполнении условия (8.41) значения неизвестных коэффициентов системы (8.39) 1i и 1j, i=1, 2,..., m; j=0, 1,..., n; определяются с точностью до множителя. Конкретные их значения можно получить,
выбрав “подходящее” значение одного из коэффициентов заранее, а
остальные в ходе решения системы (8.40) с использованием соответствующего метода (метода Гаусса, Крамера и т.п.). В нашем случае,
как правило, единственное решение системы (8.39) можно получить,
приравняв единице коэффициент 11. Это естественное ограничение вытекает из формы записи первого уравнения системы (8.11) (см. примеры
8.1–8.3). Для других уравнений необходимо приравнивать к единице коэффициенты ii, i=2,..., m. При этом следует иметь в виду, что это естественное ограничение ii=1 не должно учитываться в соотношении
(8.41), т. е. не должно входить в число w1 .
При относительно небольшом числе неизвестных параметров в первой строке матрицы D (эта относительность определяется соотношением w2 (G)–1), система (8.39) становится переидентифицированной
(сверхидентифируемой). Получение единственного решения в этом случае возможно, если, например, существуют ограничения на коэффициенты приведенной формы системы эконометрических моделей, уменьшающие ранг матрицы G. С этой же целью можно попытаться использовать приведенную форму с меньшим числом экзогенных переменных, если это не расходится с предпосылками, лежащими в основе системы моделей.
При условии w2 (G)–1 система (8.39) является недоиндентифицируемой и без дополнительных ограничений на параметры структурной формы однозначно оценить их значения с помощью приведенной формы невозможно.
Заметим, что при решении системы (8.40) могут возникнуть определенные проблемы с учетом ограничений на параметры структурной формы. В
основном это относится к линейно однородным ограничениям. В самом деле,
если речь идет только об исключающих ограничениях, то их легко учесть,
приравнивая к нулю соответствующие коэффициенты ik и ij. Для системы
(8.40) это коэффициенты 1i и 1j, i=1, 2,..., m; j= 0, 1,..., n; являющиеся элементами первой строки матрицы D.
Так, например, система (8.40) для первой модели из системы (8.30) с
учетом исключающих ограничений на коэффициенты b17,..., b1,11 приобретает следующий вид:
a11 |
c10 |
a12 |
c20 |
b10 |
0; |
|
a11 |
c11 |
a12 |
c21 |
b11 |
0; |
|
.......................................... |
|
|||||
a11 |
c16 |
a12 |
c26 |
b16 |
0; |
(8.42) |
a11 |
c17 |
a12 |
c27 |
0; |
|
|
.......................................... |
|
|||||
a11 |
c1,11 a12 c2,11 0. |
|
||||
Однако, если для этой модели имели бы место какие-либо линейно однородные ограничения на параметры структурной формы типа 11= 12+ 16,
12 + 11=0 и т. п., то для их учета при определении коэффициентов структурной формы требуется некоторая модификация систем (8.37), (8.39) и
(8.42).
Рассмотрим альтернативный путь решения задачи оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей с учетом различного типа ограничений на ее параметры с использованием приведенной формы сначала для примера системы (8.30). Этот путь основан на модификации матрицы G путем ее преобразования в матрицу G1 при сохранении для этой матрицы условия (8.37) (и соответственно (8.39)). Для этого заметим, что, например, исключающее ограничение на параметр 17
первого уравнения системы (8.30) может быть представлено в следующем виде:
где единицы в присоединенной части стоят на местах, обеспечивающих в результате произведения вектора d1 на векторы g7 ,..., g11 выполнение условий 17=0, 18=0,..., 1,11=0.
В силу условия (8.43), выполняемого для исключающих ограничений на параметры 17,..., 1,11, для элементов матрицы G1 имеет место такое же соотношение, как (8.39) для матрицы G:
d 1 G1 = 0. |
(8.45) |
Однако заметим, что при этом, во-первых, матрица G1 расширена по сравнению с матрицей G на 5 столбцов (по числу введенных ограничений) и
ее ранг соответственно увеличился, и, во-вторых, вектор-строка d 1
записывается без исключающих ограничений. Ее элементы представляются в
общей, а не в количественной форме записи.
Заметим, что на коэффициенты первой модели системы (8.30) могли быть наложены и ограничения других видов. Рассмотрим особенности их формализованного представления в матрице G1. Так, для линейного
однородного ограничения 11= 12+ 16 |
соответствующий ему вектор |
представляется в следующем виде: |
|
должно быть равно числу взаимозависимых переменных в системе,
уменьшенному на единицу.
При наличии в матрице G1 линейно зависимых столбцов в случае сверхидентифицируемости системы моделей количество вводимых ограничений должно превышать число т–1, r т–1. Объединяя эти два результата в один, получим, что ненулевое решение системы (8.45)
существует при выполнении условия |
|
r т –1, |
(8.47) |
которое означает, что число априорных ограничений должно быть не меньше количества эндогенных переменных в системе взаимозависимых эконометрических моделей за вычетом единицы.
Рассмотрим вопросы идентифицируемости систем моделей на примерах
8.1-8.3. В примере 8.1 первое структурное уравнение системы (8.30)
содержит в общем случае 9 неизвестных параметров (два при эндогенных переменных, включая у1, шесть при эндогенных и один свободный коэффициент). Всего система содержит одиннадцать экзогенных переменных
(двенадцать параметров приведенной формы). Таким образом, матрица G,
сформированная для этой системы имеет размерность 14 12 и ее ранг равен
12 (см. выражение (8.38)). Матрица G1 может быть образована присоединением к матрице G пяти исключающих ограничений на параметры17,..., 1,11. Ее размерность будет равна 14 17.
Имея девять неизвестных параметров, системы уравнений (8.39) и (8.45),
которые могут быть использованы для оценки коэффициентов структурной формы первого уравнения модели (8.30), являются сверхопределенными.
Они содержат по четыре “лишних” уравнения, поскольку условие единственности решения системы (8.39) выполняется, если ранг матрицы G
равен 8, а число присоединенных ограничений в матрице G1 равно 1.