Эконометрика. Тихомиров

и другие редко меняющиеся экономические параметры, определяющие

“режим” хозяйственной деятельности.

Согласно второму предположению скачок в параметрах модели привязывают непосредственно к моменту времени tj. Здесь имеется в виду,

что даже если режим развития исследуемого процесса зависит от какой-либо из объясняющих переменных, то и ее изменения привязаны ко времени и временной фактор, таким образом, может выступать в качестве косвенной объясняющей переменной.

Далее, без ограничения общности будем рассматривать время t в качестве такой переменной, объясняющей скачкообразное изменение параметров эконометрической модели в отдельных точках (1, Т).

Таким образом, кусочно-линейную регрессию на интервале (1, Т) можно представить в виде следующей системы линейных эконометрических моделей:

где i(j) – коэффициенты линейной эконометрической модели, “работающей” на j-м сегменте; t(j) – ошибка модели j-го сегмента; уt(j), хit (j) – исходные значения зависимой и независимой переменной, соответственно, в j-м

временном сегменте; j=1, 2,..., r; i=0, 1,...,n.

Заметим, что модель типа (9.32) включает в себя также и случай, когда некоторые из объясняющих переменных на каких-либо сегментах отсутствуют. Предположим, что на j-м сегменте переменная хi отсутствует.

Тогда при формировании исходных данных вектор-столбец ее значений хi(j)

должен быть приравнен к нулю.

Если точки t1, t2,..., tr–1 известны*, то построение моделей (9.32) не представляет особых сложностей. В зависимости от их особенностей (типа)

для оценки их коэффициентов могут быть использованы рассмотренные в предыдущих разделах методы (обычно МНК).

В тех ситуациях, когда сами точки скачков параметров не известны, но известно их количество r, при построении модели кусочно-линейной регрессии (9.32) можно использовать специальные методы оценки ее коэффициентов i(j), j=1, 2,..., r; i=0, 1,..., n, позволяющие одновременно фиксировать и оптимальные местонахождения скачков, соответствующие значениям времени tj. Эти методы достаточно сложны и относятся к классу методов оптимального программирования.

Одним из наиболее эффективных среди этих методов является метод динамического программирования, который в сочетании, например, с МНК позволяет найти оптимальное разбиение исходного временного интервала

(1,Т) на оптимальное число сегментов и оценить на каждом из них коэффициенты линейной эконометрической модели, “наилучшим образом” описывающей рассматриваемый процесс уt в зависимости от значений независимых факторов хit.

Задача построения системы уравнений (9.32) в этом случае может быть сформулирована следующим образом. При заданном общем виде линейной эконометрической модели (1.2) на интервале (1,Т) найти последовательность точек t1,..., tr–1 и оценить на временных периодах (сегментах) между ними специфические для каждого из них значения ее коэффициентов.

Одним из “наиболее подходящих” для метода динамического программирования критериев решения такой задачи является минимум общей для интервала (1,Т) суммы квадратов ошибок всех моделей из системы (9.32), которая может быть определена согласно следующему выражению:

* Эти точки могут быть определены с использованием какого-либо из рассмотренных в разделе 9.2 тестов.

Метод динамического программирования последовательно рассматривает дерево всевозможных решений, отбрасывая при этом заведомо бесперспективные варианты и сужая тем самым области месторасположения оптимальных точек скачка tj, j=1, 2,..., r. Этот метод обычно используется при аддитивных целевых функциях (в нашем случае (9.32)). Другой его важной особенностью является отсутствие “последействия”. Для нашего случая это означает, что оптимальное решение на j-м интервале ( т. е.

месторасположение точки tj), не зависит от месторасположений предшествующих точек t1, t2,..., tj–1, при которых оно определяется.

Решение задачи динамического программирования обычно базируется на принципе относительности Р. Беллмана. Применительно к нашей задаче он формулируется следующим образом. Пусть определено т первых сегментов из общего их количества r, т r. Тогда для получения оптимального

(минимального) значения критерия (9.33) необходимо, чтобы и разбиение оставшейся части временного интервала на сегменты было оптимальным.

Из принципа Р. Беллмана вытекает основное функциональное соотношение для данной задачи:

вариантах разбиения на оставшиеся r–т сегментов интервала (tm, T).

(1,Т).

Для решения подобной задачи обычно используются методы оптимизации квадратичной целевой функции при ограничениях на параметры, задаваемые

ввиде равенств.

9.4.Эконометрические модели с эволюционными изменениями

коэффициентов

Модель с эволюционными изменениями коэффициентов в общем случае

имеет следующий вид:

где ai(t), i=0,..., n – оценки коэффициентов модели, меняющиеся во времени под влиянием каких-либо факторов, условий.

Иными словами, предполагается, что значения оценок коэффициента ai,

рассматриваемые в различные моменты времени, например, t и t+1, могут различаться между собой, т. е. ai(t) ai(t+1).

Заметим, что в общем случае выражение (9.37) можно интерпретировать как модель (п+1) Т коэффициентами, поскольку в каждый момент t=1,2,..., Т

значение ai(t) представляет собой как бы оценку “самостоятельного” коэффициента. Очевидно, что тогда определить весь набор значений ai(t),

Несложно заметить, что для модели (9.40) матрица значений факторов Х

имеет следующий вид:

При известных значениях факторов х1t,..., хпt, zt, элементы этой матрицы определяются однозначно. В этом случае оценки коэффициентов модели

(9.40) могут быть найдены с использованием рассмотренных в главах 2–4

методов с учетом свойств ошибки этой модели, например, с помощью обычного МНК при вполне естественном предположении о независимости ошибок t, u0t,..., unt между собой и со значениями независимых факторов xit.

Обратим также внимание на эффект роста дисперсии ошибки при переходе от модели (9.37) к модели (9.39). Дисперсия последней модели при независимых ошибках определяется согласно следующему выражению:

Основной проблемой при оценке коэффициентов модели (9.40) является обоснование зависимостей, описывающих закономерности изменчивости коэффициентов ai(t), i=0,..., n. Дело в том, что априорно, используя только информацию, выраженную значениями переменных уt, х1t,..., хпt и, может быть zjt, j=1,2,...,k; определить вид этих зависимостей не представляется

возможным. Это связано с тем, что тенденции, закономерности изменчивости оценок коэффициентов ai(t) могут быть выявлены только после вычислительных экспериментов. На практике решение этой проблемы достигается путем последовательно перебора различных возможных вариантов этих зависимостей, по возможности используя для их сокращения,

так называемый динамический подход. Его суть состоит в следующем.

Интервал t=(1, Т) разбивают на ряд частей, возможно пересекающихся. На каждой из них определяются оценки коэффициентов эконометрической модели классического типа, т. е. эти оценки предполагаются постоянными для каждой из рассматриваемых частей интервала. Таким образом,

формируются ряды этих оценок

где ai(j) – значение оценки i-го коэффициента на j-й части интервала t=(1, Т).

Анализируя, тенденции изменения рядов ai(j), можно попытаться установить варианты возможных изменений рассматриваемых коэффициентов и обосновать наиболее подходящие для их описания зависимости. Далее, сравнивая характеристики качества построенных эконометрических моделей (дисперсии, коэффициенты детерминации,

множественной корреляции), соответствующие этим вариантам, можно определить наиболее приемлемую среди них.

В некоторых случаях варианты зависимостей ai(t) могут быть сформированы на основе предварительно выдвигаемых гипотез. Например,

гипотезу о стабилизации коэффициента ai во времени можно отобразить в виде следующего уравнения: