Эконометрика. Тихомиров

динамики уровня жизни, спроса населения и других социальных процессов при достаточно быстрых изменениях доходов, движении цен, инфляции,

появлении новых товаров на рынке, исследованиях динамики структуры и темпов роста экономики в связи с научно-техническим прогрессом, рынка ценных бумаг, а также ряда других процессов в условиях переходной экономики. Модели с постоянной структурой в таких условиях в лучшем случае отобразят некоторые “усредненные” за весь рассматриваемый период взаимосвязи между процессами, которые, по всей видимости, окажутся несоответствующими их закономерностям на его последней стадии.

Вследствие этого, использование таких моделей в решении плановых и прогнозных задач может привести к существенным ошибкам, избежать которых было бы возможным, опираясь на модели с переменной структурой.

Изменчивость структуры эконометрической модели может быть вызвана также и некоторыми “техническими” причинами, связанными с особенностью ее построения на этапах выбора состава входящих в нее переменных, форм зависимостей между ними и т. п. В таких случаях модели с переменной структурой за счет использования меняющихся оценок их коэффициентов, адаптированных к изменениям рассматриваемых процессов,

способны уменьшить ошибки спецификации по сравнению с моделями с постоянной структурой. В общем случае можно выделить следующие причины, вызванные неточной спецификацией эконометрической модели,

которые обусловливают преимущества использования переменной ее структуры по сравнению с постоянной. Это:

–невключение по разным причинам в уравнение модели существенных факторов (из-за слабости ее содержательного обоснования, отсутствия исходных данных и т. д.);

–использование в качестве исходных данных значений процессов, не совсем точно выражающих рассматриваемые явления;

–неправильно выбранная функциональная форма модели;

– использование сложных по своей внутренней структуре переменных,

являющихся комбинациями некоторых других факторов.

На практике установить закономерности изменчивости каждого из коэффициентов эконометрической модели априорно, как правило, не представляется возможным. Вследствие этого, построение модели с переменной структурой рассматривается как одно из направлений совершенствования модели с постоянной структурой, позволяющее обеспечить более точную аппроксимацию исследуемых процессов и,

возможно, дать более обоснованное содержательное объяснение закономерностей их развития. Таким образом, построению эконометрической модели с переменной структурой обычно предшествуют этапы построения соответствующей ей модели с постоянной структурой и проверки целесообразности ее дальнейшей модификации. Такая проверка может быть осуществлена с использованием специальных тестов,

направленных на выявление закономерностей в изменениях оценок коэффициентов эконометрической модели. Вместе с тем, здесь следует иметь в виду, что эти закономерности могут достаточно существенно различаться по своему характеру.

Например, изменения коэффициентов модели могут быть скачкообразными. В этом случае предполагается, что на последовательных интервалах времени (1, Т1), (Т1, Т2),..., (Тk, Т) переменная уt связана с независимыми факторами х1t,..., хпt линейными зависимостями,

различающимися между собой по величине коэффициентов. Причем изменения их значений, происходят скачком в точках пересечения (или пограничных точках) рассматриваемых интервалов.

Эконометрические модели с таким характером изменения коэффициентов часто называют моделями с переключениями. Они обычно используются с целью аппроксимации сложных (может быть неизвестных) зависимостей

у=f(х1,..., хп) последовательностью линейных функций путем их сшивания в

коэффициентов эконометрической модели, определенных по наблюдениям t–

1.

Таким образом, числитель в выражении (9.3) представляет собой прогноз ошибки модели в момент t, коэффициенты которой определены по предшествующим t–1 наблюдениям, т. е. прогноз ошибки на одно наблюдение вперед:

а знаменатель этого выражения представляет собой стандартизующий эту ошибку коэффициент.

Можно показать, что при постоянной структуре модели значения wt, t=k+1,..., T независимы и одинаково распределены по нормальному закону с нулевым средним и конечной дисперсией 2, N (0, 2). В этом случае сумма их (r–n–1) значений, обозначаемая как Wr, определяемая следующим образом:

* Согласно процедуре (4.1)–(4.14) вектор оценок коэффициентов модели по t измерениям определяется на основании следующей последовательности расчетов:

at at 1 k t ( yt xt at 1); k t Ft 1 xt (1 x't Ft 1 xt);

Ft Ft 1 k t x't Ft 1;t k 1, k 2,...,T .

представляет собой сумму (r–n–1) независимых случайных величин,

распределенных по стандартизованному нормальному закону N(0,1), где

–оценка дисперсии модели.

Сучетом этого несложно показать, что wr также распределено по нормальному закону со следующими характеристиками:

Напоминаем, что п+1 количество параметров модели.

С учетом (9.7) можно сформировать доверительные интервалы для

стандартизованного нормального закона величиной доверительной вероятности p*. Напомним, что для p*=0,95, * =1,96 (см. рис. 9.1).

Wr

Рис.9.1. Доверительный интервал для кумулятивной суммы

стандартизованных ошибок модели

Таким образом, для любого r для эконометрической модели с постоянной структурой с п независимыми переменными имеет место следующее вероятностное условие, определяющее границы нахождения кумулятивной суммы Wr:

Выход значений Wr, r=k+1, k+2,..., Т за границы, определенные в выражении (9.8), является свидетельством того, что оценки коэффициентов эконометрической модели при увеличении количества исходной информации характеризуются систематическими изменениями.

Наряду с критерием кумулятивной суммы ошибок (прогнозных ошибок)

для выявления факта систематической изменчивости коэффициентов модели может использоваться также критерий кумулятивной суммы квадратов ошибок. При этом последний критерий позволяет установить также и факт случайных изменений оценок параметров. Расчетное значение этого критерия представляет собой следующее отношение:

r n 2, n 3,...,T .

При этом можно показать, что величины sr2 и sT2 связаны следующим рекуррентным соотношением, которое можно использовать при расчете числителя отношения (9.9):

В самом деле, поскольку оценки коэффициентов модели, определенные по r–1 и r измерениям, удовлетворяют равенству:

то связь между соответствующими значениями sr–12 и sr2 может быть представлена в следующем виде:

Далее, выражая в последнем слагаемом правой части этого равенства матрицу Fr через матрицу Fr–1 (см. выражение (4.5)):

после несложных преобразований с учетом (9.3) непосредственно получаем равенство (9.10).

Из (9.10) непосредственно вытекает, что значение показателя r из (9.9)

определяется следующим соотношением:

При этом для моделей с постоянной структурой можно показать, что случайная величина r имеет бета-распределение со средним значением

и ее доверительный интервал при заданном уровне доверительной вероятности p* находится между прямыми, определяемыми уравнениями

с0 (r n 1) / (T n 1), с0 (r n 1) / (T n 1), (9.13)

где с0 – константа, зависящая от уровня доверительной вероятности p**.

Таким образом, нахождение показателя r при r=п+2, п+3,..., Т–1 в

границах, определенных выражением (9.13), является свидетельством постоянства структуры эконометрической модели. В противном случае можно утверждать, что оценки е параметров с ростом объема выборки меняются. При этом изменения могут иметь как систематический, так и случайный характер. Заметим здесь, что в отличие от нормированных ошибок wt, именно их квадраты (wt2) чувствительны к случайным изменениям оценок параметров.

При большом числе измерений Т (объеме выборки исходных данных) для проверки гипотезы о постоянстве структуры эконометрической модели можно использовать так называемый критерий гомогенности остатков,

который является “мерой” равномерности распределения квадрата ошибки на отдельных участках рассматриваемого интервала времени (1,Т).

Значительный разброс этого показателя свидетельствует об изменчивости оценок коэффициентов модели.

* Ее значение определяется с использованием теории статистик Колмогорова-Смирнова.

Расчетное значение этого критерия формируется следующим образом. На интервале (1,Т) по имеющимся исходным данным строится эконометрическая модель и определяется сумма квадратов значений ее фактической ошибки s2(1,Т). Далее рассматриваемый интервал разбивается на k частей (желательно равных для целей упрощения выкладок) (1, Т1), (Т1+1, Т2),...., (Тk–1, Т). На каждом из этих подинтервалов для построенной эконометрической модели рассчитывается соответствующая сумма квадратов ошибок sj2, j=1,..., k.

Известно, что значения s2(1,Т) и sj2, j=1,..., k связаны между собой согласно формуле представления общей дисперсии в виде суммы межгрупповой и внутригрупповой дисперсий. При этом отношение среднего квадрата отклонений между группами к среднему квадрату внутригрупповых отклонений в случае постоянства структуры эконометрической модели распределено по закону Фишера с (k–1) (n+1) и [T–k (n+1)] степенями

свободы.

Таким образом, для проверки гипотезы о постоянстве структуры модели на основе критерия гомогенности остатков необходимо рассчитать следующее

дисперсионное отношение:

степеней свободы 1=(k–1) (n+1) и 2=[T–k (n+1)].

Гипотеза о постоянстве структуры эконометрической модели может быть принята с вероятностью p*, если будет выполнено следующее соотношение:

F F*( 1, 2).