Эконометрика. Тихомиров

эндогенных и экзогенных переменных. Вместе с тем, как это было видно из рассмотренных выше примеров, в конкретных системах взаимосвязи между отдельными переменными могут либо отсутствовать, либо быть определены заранее. Например, в системе (8.1) в первом уравнении не присутствует экзогенная переменная It. В системе (8.6) уже известны коэффициенты балансового соотношения при эндогенной переменной Сt и экзогенной переменной Zt. Они оба равны единице. В этих случаях на соответствующих местах в матрицах А и В (выражение (8.25)) должны стоять либо нули (при отсутствии в уравнении соответствующей переменной), либо известные значения коэффициентов.

Между коэффициентами структурной формы могут иметь место и более сложные взаимосвязи (например, в виде алгебраических соотношений, типа равенств). вытекающие из предпосылок экономической теории. Так,

учетом условия a1+a2=1. Эти ограничения, как это будет показано далее,

играют существенную роль при оценке коэффициентов систем взаимозависимых эконометрических моделей.

Рассмотрим некоторые примеры систем взаимозависимых эконометрических моделей, которые использовались в исследованиях реальных процессов, и соответствующие им структурные и приведенные формы.

Пример 8.1.

Для исследования динамики цен и потребления электроэнергии,

формирования на основе выявленных закономерностей рациональной политики в сфере электроснабжения в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений, по содержанию эндогенных переменных похожая на систему (8.1):

чтобы выделить отличие их знаков от соответствующих коэффициентов структурной формы;

продающих электроэнергию, к количеству аналогичных территориальных компаний;

х11=lnХ11 и Х11 – временной фактор.

Исходные данные для модели (8.18) имеют пространственно-временную структуру. Они отражают уровни рассматриваемых процессов по 48 штатам за 9 лет. При этом отметим, что время являлось одним из факторов модели,

аккумулирующим аспекты потребления электроэнергии, связанные с научно-

техническим прогрессом. Таким образом, индекс t в системе (8.18)

соответствует порядковому номеру набора, t=1,2,..., T; T = 48 9.

где y1t – уровень потребления в году t; y1,t–1=х1t;

основной капитал плюс изменения в товарных запасах плюс субсидии минус косвенные налоги;

х5t – экспорт.

Первое уравнение системы (8.34) описывает динамику потребления с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от произведенного в государстве дохода; второе – динамику инвестиций как функцию от национального дохода и дохода, полученного в прошлом году в результате предпринимательской деятельности; третье – динамику импорта с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от национального дохода и последнее уравнение представляет собой балансовое соотношение, характеризующее распределение национального дохода на

основные составляющие.

Система (8.34) содержит четыре эндогенные переменные и пять экзогенных, в число которых входят две запаздывающие эндогенные переменные y1,t–1 (потребление прошлого года) и y3,t–1 (импорт прошлого года) и одна запаздывающая чисто экзогенная переменная х2 (доход от предпринимательской деятельности прошлого года), которая однако рассматривается как незапаздывающая, поскольку переменная х2t в модели отсутствует.

Взаимозависимый характер модели (8.34) придает вхождение в правые части первых трех уравнений переменной, выражающей национальный доход, которая, в свою очередь, представлена балансовым соотношением. В

результате переменная y4t оказывается статистически взаимосвязанной с

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что матрицы А и В,

образующие структурную форму системы взаимозависимых эконометрических моделей, часто содержат некоторое количество известных

(преопределенных) элементов. В то же время матрица С из приведенной формы содержит только неизвестные элементы. Их количество соответствует числу экзогенных переменных модели.

Приведенная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей играет важную роль в решении проблемы получения несмещенных оценок коэффициентов структурной формы этой системы. Эта проблема более подробно рассматривается в следующих разделах этой главы.

8.3. Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы

систем взаимозависимых эконометрических моделей

В разделе 8.2. было показано, что использование МНК приводит к смещению оценок коэффициентов только структурной формы модели. В

силу статистической независимости экзогенных переменных и ошибок структурной и приведенной форм оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными (часто имеется в виду свойство их состоятельности). При этом ничто не мешает с помощью этого метода определить оценки коэффициентов каждого уравнения приведенной формы отдельно от других.

Это замечание наводит на мысль использовать для оценки коэффициентов структурной формы алгебраическое матричное уравнение (8.15) или его аналог, который может быть представлен в следующем виде:

где 0 обозначает матрицу соответствующего размера с нулевыми элементами.

В выражении (8.36) в качестве неизвестных рассматриваются элементы матриц структурной формы А и В, в то время как элементы матрицы приведенной формы С являются известными. Их можно определить путем использования МНК для оценки коэффициентов приведенной формы (8.13), (8.14) при известных значениях эндогенных и экзогенных переменных. Такой подход получил название косвенного метода оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей.

Теоретически косвенный метод представляется вполне приемлемым.

Оценки коэффициентов матрицы С в силу независимости экзогенных переменных и ошибок соответствующих приведенных уравнений являются несмещенными и эффективными. Однако, к сожалению, как свидетельствуют результаты практических исследований, оценки коэффициентов структурной формы, полученные путем решения системы уравнений типа (8.36), свойство несмещенности, как правило, теряют. От оценок приведенной формы к оценкам структурной формы передается свойство состоятельности. Кроме того, использование соотношений типа (8.36) для получения оценок коэффициентов структурной формы в общем случае вообще представляется неприемлемым. В самом деле, заметим, что система (8.36) содержит т (n+1)

уравнений (по числу элементов, содержащихся в матрице 0), а неизвестных коэффициентов в общем случае в ней т2+т (n+1), в том числе т2

коэффициентов содержит матрица А, а т (n+1) коэффициентов – матрица В.

Вследствие этого система (8.36) в общем случае не имеет единственного решения.

Вместе с тем часто в конкретных исследованиях (см. примеры раздела 8.2)

на коэффициенты матрицы А и В накладывают дополнительные априорные ограничения, вытекающие, например, из теоретических предпосылок,

эмпирических результатов, интуитивных предположений. При достаточном количестве таких ограничений число неизвестных параметров в матрицах А и В может быть снижено до уровня, обеспечивающего разрешимость системы

(8.36).