Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

n−1

∞

+... +

(z − z0 )n

2πi C∫′(ς − z0 )

f (ς)dς +.... == 2πi

∑n=0 (z − z0 )n ×

× ∫(ς − z0 )n−1 f

(ς)dς ==

C−1

C−2

+... + +

C−n

n +... =

C′

z − z0

− z0 )

(z − z0 )

∞

C−n

n ,

(4.19)

= ∑

n=0 (z − z0 )

где

C−n = 21πi C∫′

f (ς)(ς − z0 )n−1 dς.

(4.20)

Складывая теперь разложения (4.17) и (4.19), получим окон-

чательно разложение функции f (z)

внутри кольца в виде ряда

∞

C−n

C−n+1

f (z) = ∑Cn (z − z0 )n + ∑

=...

− z0 )

n−1

n=0

n=1 (z − z0 )

− z0 )

+... +

C−1

+C (z − z

) +C

(z − z

+... +C

(z − z

)n +... =

z − z0

n=∞

= ∑Cn (z − z0 )n .

n=−∞

Ряд

n=∞

f (z) = ∑Cn (z −

n=−∞

∞	∞	C−n
z0 )n = ∑Cn (z − z0 )n + ∑		C−n		,	(4.21)
z0 )n = ∑Cn (z − z0 )n + ∑		(z − z0 )	n	,	(4.21)
n=0	n=1	(z − z0 )

содержащий как положительные, так и отрицательные степени z ,

называется рядом Лорана.

Коэффициенты ряда Лорана определяются по формуле

	1	f (ς)dς
Cn =	2πi C∫(ς − z0 )n+1		,	n = 0,±1,±2,...	(4.22)

где C - любая расположенная в данном кольце окружность с центром в точке z0 .

n=∞

При этом ряд ∑Cn (z − z0 )n , содержащий положительные

n=0

степени z , называется правильной частью ряда Лорана.

∞

C−n

Ряд

∑

, содержащий отрицательные степени z , на-

(z − z0 )

n=1

зывается главной частью ряда Лорана.

Как следует из общей теории степенных рядов, для ряда

∞

C−n

∑

областью сходимости

является внешность

круга

(z − z0 )

n=1

z − z0

> r, где радиус сходимости r определяется по формуле

r = lim

C−(n+1)

(4.23)

C−n

n→∞

Поэтому (если r < R ) ряд Лорана сходится в кольце

r <

z − z0

< R.

(4.24)

Итак, доказана теорема: если

f (z) - аналитическая функция

в кольцевой области r <

z − z0

< R ,

то она может быть представ-

лена рядом Лорана, равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей этому кольцу.

Примеры. Найти область сходимости рядов:

∞

(1+i)n

1) ∑

; 2) ∑

(z −2) ; 3)

∑

;

n=0

n=1

n +1

n=1

∞

z +i

∞

(3 + 4i)n

∑

+ ∑

(z +i)

n=0 7

n=1

∞

1) Ряд ∑

сходится на всей комплексной плоскости, так

n=0

= lim (n +1)!

как

R = lim

= lim(n +1) = ∞.

Cn+1

n→∞

∞

2) Ряд

∑n=1

(z −2)

имеет радиус сходимости R = e.

n +

Действительно, по формуле Коши - Адамара

lim 1

n→∞ n Cn

= lim

n→∞

1
		n n
n
n

	1
n +

= lim		1		=
= lim		n	n	=
n→∞		n	n


	n +1

n +1

= e.

= lim

== lim 1+

n→∞

∞

∑n=1

Поэтому ряд

(z − 2)

сходится в круге

z −2

< e.

∞

(1+i)

3) Для ряда ∑

C−n

= (1+i)n ,

C−(n+1) = (1+i)n+1,

тогда

n=1

(1+i)n+1

−(n+1) = lim

= lim1+i =

r = lim

(1+i)n

n→∞ C−n

n→∞

∞

(1+i)

Следовательно, ряд

∑

. сходится в области z >

n=1

∞

4) Для ряда ∑

имеем Cn

Cn+1 =

. Поэто-

n+1

n=0

му радиус сходимости ряда равен R = lim

= lim

7n+1

= 7, а его

Cn+1

n→∞

область сходимости z +i < 7.

Для второго ряда

C−n

= (3 + 4i)n ,

C−(n+1)

Следовательно, r = lim

−(n+1)

= lim

(3 + 4i)n+1

+ 4i)n

n→∞

C−n

n→∞

Второй ряд сходится в области z +i > 5.

= (3 + 4i)n+1.

= lim 3 + 4i = 5.

n→∞

∞	z +i n		∞
Так как r < R , то ряд ∑			+ ∑

n=0		7	n=1

5 < z +i <

	(3 + 4i)n	сходится в кольце
	(z +i)n	сходится в кольце
	(z +i)n
	7.

Общие формулы для вычисления коэффициентов рядов (4.6), (4.22) сложны и применяются очень редко. На практике обычно при разложении функций в ряды Тейлора и Лорана пользуются известными разложениями для основных элементарных функций (2.2-2.6, 4.10 - 4.13), преобразуя их к требуемому виду.

Примеры. Разложить заданные функции в ряд Тейлора по степеням z, используя известные разложения:

1) f (z) =

;

f (z) = cos2

;

f (z)

4) f (z) =

; 5) f (z) =

(1− z)2

(1− z)3

1) f (z) =

z 2

1−

∞

= 1 ∑(−1)n

3 n=0

=	z	;
	z2 −2z −3

z		3
−			−...	=
	3

2) Применим формулу понижения степени и формулу (2.3):

f (z) = cos

2 iz

+cos

1 iz 2

1 iz

1 iz 6

1−

−

4! 2

+...] = 1

+ 1

1 +

∞

+...

∑

2! 2

4! 2

(2n)!

2 2 n=0

3) Заметим, прежде всего, что при разложении в степенные ряды рациональных дробей целесообразно представить их в виде суммы простейших дробей. Если при этом рациональная дробь неправильная, то предварительно нужно выделить целую часть.

f (z) =

z2 − 2z −

(z +1)(z −3)

z +1

z −3

Находя обычным образом коэффициенты A и B, получим:

A =

1 , B =

3 .Поэтому

f (z)

1 1

+ 3

− 2z −3

z −3

4 1+ z

(−3) 1−

− z

+ z

− z

−

+...) − 1+

+...

4 1+ z

1− z / 3

9 27

−

28z

+... = −

−

−... .

3 3

4)Сначала с учетом (4.10) представим функцию f (z) =1−1 z

ввиде ряда:

∞

=1+ z + z2 + z3 +... = ∑zn .

1− z

n=0

Тогда

разложение

функции

f (z) =

можно

найти,

(1− z)2

дифференцируя полученный ряд:

′

+ 2z +

+... + nz

n−1

+...

(4.25)

(1− z)2

1− z

5) Чтобы получить разложение в ряд функции f (z) =

(1− z)3

дифференцируем ряд (4.25):

′

(2 +3 2z + 4 3z

+...).

;

(1− z)

6). Разложить функцию

f (z) =

в ряд Тейлора по степе-

z + 2

ням

(z −1) и найти радиус сходимости ряда.

Преобразуем исходную функцию, выделяя правильную

дробь, и воспользуемся известным разложением (4.10)

−

=1−

−

−1

z + 2

3 +(z −1)

3 1+

−

z −1

(z −1)2

∞

n+1 (z −1)n

−... =

−

+...

2∑(−1)

n+1

n=1

(−1)n+1

Cn+1 =

(−1)n+2

, R = lim

= lim

(−1)n+13n+2

= 3.

3n+1

3n+2

Cn+1

(−1)n+2 3n+1

n→∞

7). Разложить функцию

f (z) =

в ряд Тейлора или

z2 −3z + 2

Лорана в: а) в круге 0 <

<1;

б) в кольце 1 <

< 2.

а) Разложим сначала заданную функцию на простейшие дроби:

f (z) =

−

(4.26)

−3z + 2

(z − 2)(z −1)

z − 2

z −1

Используя представление (4.10), запишем разложение по степеням z для каждой дроби отдельно:

1		1		1		1			z	z	n			1		z		zn
	= −				= −		1	+		+... +		+...	= −		−		−... −		−...
z − 2		2	1	− z / 2		2			2					2		22		2n+1
										2

(4.27)

Радиус сходимости ряда (4.27) определяется расстоянием до особой точки, поэтому ряд (4.27) сходится в круге z < 2.

Для второй дроби в формуле (4.26)

−

=1+ z + z2

+... + zn +...

(4.28)

z −

1− z

Ряд (4.28) сходится в круге

<1.

Складывая разложения (4.27) и (4.28),

получаем

f (z) =

+ 1

−

z +

−3z +

z − 2

− z

(4.29)

1−

+... + 1−

+...

2n+1

Ряд (4.29) является рядом Тейлора и сходится в круге z <1. б) Рассмотрим разложение заданной функции в кольце 1 < z < 2.

Для ряда 1/(z − 2) справедливо разложение (4.27). Ряд (4.28)

использовать нельзя, так как он сходится внутри круга

<1.

1 2

1 n

−

= −

+... +

+...

z −1

1−

(4.30)

∞

= −

+... +

+...

= −∑

n+1

n=1 z

Ряд (4.30) сходится при

>1.

Следовательно, оба ряда (4.27) и

(4.30) сходятся в кольце 1 < z < 2. Складывая эти ряды, получим

f (z) =

= −

−

−... −

−3z + 2

z − 2

− z

2n+1

−1z − z12 − z13 ... − z1n −...

4.3.Нули и особые точки аналитической функции, их классификация

Нулем аналитической в области D функции f (z) называется точка z0 в этой области, в которой f (z0 ) = 0. Если

f (z0 ) = f ′(z0 ) =... = f (n−1) (z0 ) = 0, а f (n) (z0 ) ≠ 0 ,

то точка z0 называется нулем функции порядка n или кратно-

сти n. В частности, если n =1, то нуль называется простым. Если точка z = z0 является нулем n – го порядка для аналитической

функции f (z) , то коэффициенты разложения этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки z0 C0 = C1 =... = Cn−1 = 0, а Cn ≠ 0 и,

следовательно, разложение функции в ряд Тейлора будет иметь вид

f (z) = Cn (z − z0 )n +Cn+1 (z − z0 )n+1 +... = (z − z0 )n[Cn + +Cn+1 (z − z0 ) +...] = (z − z0 )nϕ(z),

где функция ϕ(z) z=z0 ≠ 0 и аналитична в точке z0 .

Пример. Найти нули функции f (z) = cos z и определить их

порядок.

Представим функцию cos z в виде

cos z = cos(x +iy) = cos x cos iy −sin x sin iy = cos x ch y −i sin x sh y.

Равенство cos xchy −i sin xshy = 0 равносильно системе

cos x ch y = 0,	(4.31)
	(4.31)
sin x sh y = 0.
Так как ch y ≠ 0 ни при каком значении y, то	из первого

уравнения системы следует, что cos x = 0. Поэтому система (4.31) приводится к совокупности двух:

cos x = 0,	cos x = 0,
sin x = 0;	sh y = 0.

Первая из этих систем несовместна, а решение второй имеет вид:

		π	+πn,
	x =	2	+πn,
		2

	y = 0.			π
Следовательно,	z = x +iy =			π
причем производная	′			2
	′	= −sin
	(cos z)	= −sin

n Z;

+πn - нули функции cos z ,

z в этих точках не равна нулю.

Поэтому функция cos z имеет простые нули в точках z = π2 +πn.

Точки, в которых однозначная функция перестает быть аналитической (или не определена), называются особыми. Если в некоторой окрестности особой точки z0 нет других особых точек,

то особая точка z0 называется изолированной особой точкой.

Различают три вида изолированных особых точек в зависимости от поведения функции в их окрестности: устранимые, полюса и существенно особые.

Точка z0 называется устранимой, если существует конеч-

ный предел функции lim f (z) в этой точке.
Особая точка z0	z→z0
Особая точка z0	называется полюсом, если lim f (z) = ∞.
	z→z0	ϕ(z)
Если функцию f (z)	можно представить в виде f (z) =	ϕ(z)	,
Если функцию f (z)	можно представить в виде f (z) =	(z − z0 )n	,
		(z − z0 )n

причем ϕ(z0 ) ≠ 0, то особую точку z = z0 называют полюсом n – го порядка (кратности n). В частности, полюс z0 называется про-

стым, если f (z) = ϕ(z) . z − z0

Точка z = z0 называется существенно особой, если не суще-

ствует предела функции в этой точке, ни конечного, ни бесконечного.

В основу этой классификации особых точек положено разложение функции в ряд Лорана. Оно имеет различный вид в зависимости от характера особой точки.

Если в разложении функции в ряд Лорана главная часть отсутствует, то особая точка z = z0 будет устранимой. Действи-

тельно, если разложение функции в ряд Лорана в окрестности

изолированной особой точки z = z0 не содержит главной части,

то есть имеет вид

∞

f (z) = C0 +C1 (z − z0 ) +... +Cn (z − z0 )n +... = ∑Cn (z − z0 )n ,

n=0

то lim f (z) = C0 , то есть функция будет ограниченной в окрестно-

z→z0

сти точки z0 .

Если в разложении функции в ряд Лорана главная часть содержит конечное число членов (причем высшая из отрицательных степеней (z − z0 ) равна n), то особая точка z = z0 будет по-

люсом n – го порядка, если – бесконечное число членов, то точка z = z0 будет существенно особой.

Отметим, что между нулями и полюсами аналитических функций существует тесная связь. Если точка z = z0 является ну-

лем порядка n функции f (z), то для функции ϕ(z) = f 1(z) точка

z0 будет полюсом n – го порядка.

Примеры. Определить характер особых точек для функций

1)	f1	(z) = sin z	;	2)	f2 (z) =	1−cos z	;	3)	f3 (z) =	1−cos z	;
		z				z2				z7

4)f4 (z) = cos z −1 2 .

1)Воспользуемся известным разложением синуса в ряд Тей-

лора (2.4). Тогда

f (z)

= sin z = 1

z −

−...

= 1−

−...

Ряд 1−

−... сходится и при z → 0

имеет сумму, рав-

ную единице. Поэтому lim sin z =1,

и особая точка z = 0 является

z→0

устранимой.

2) Аналогично, используя тейлоровское разложение для cos z (2.3), находим

1− 1

−

−...

1−cos z

(z) =

−

−...

Как видно, в начале координат функция

f2 (z)

имеет устра-

нимую особую точку.

− 1−

−

−...

−cos z

−

+...

2!z5

4!z3

6!z

В разложении функции имеется главная часть, содержащая отрицательные степени z, причем наивысшая отрицательная степень z равна пяти, поэтому особая точка z = 0 будет полюсом 5- го порядка.

4) Используя разложение (2.3), получим

f4 (z) = cos	1	=1−	1	+	1	−...
	z −2		2!(z − 2)2		4!(z − 2)4

В главной части лорановского разложения заданной функции содержится бесчисленное число членов. Следовательно, точка z = 2 будет существенно особой.

Пример. Найти полюса функций:

(z) =

;

2) f2

(z) =

− 4

и определить их

(z2

+ 4)

z(z +3)(z + 2)

порядок.

1) Функция

(z) =

представляет собой правильную

(z2

+ 4)2

несократимую дробь. Найдем нули знаменателя этой функции, раскладывая его на множители и приравнивая нулю:

(z2 + 4)2 = (z + 2i)2 (z −2i)2 = 0 .

Точки z = −2i и z = 2i будут нулями второго порядка для знаменателя. Так как в этих точках числитель дроби не равен нулю, то для заданной функции эти точки будут полюсами второго порядка.

2) Сначала представим заданную функцию в виде правильной несократимой дроби:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб63тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1311ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб254Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб64УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc