ТФКП и ОП

41

рактеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Для функции комплексной переменной это означает, что если точка z окажется внутри круга радиуса δ с центром в точке z0 , то соответствующая точка w попадет внутрь круга радиуса ε

с центром в точке w0 = f (z0 ), построенного в плоскости w (рис. 17).

Рис. 17

Функция f (z) называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

w = f (z) : ∆w = f (z + ∆z) − f (z).

Производной функции f (z) в точке z называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении ∆z к нулю по любому закону:

f ′(z) = lim ∆w .

∆z→0 ∆z

Замечание. Так как на комплексной плоскости геометрическое место точек, равноудаленных от точки z на расстояние ∆z , представляет собой окружность радиуса ∆z (см. рис. 17), то требование существования производной для функции комплексной переменной, как следует из определения, означает существование предела ∆w / ∆z при стремлении точки z + ∆z к точке z по любому пути (в частности по любому из бесчисленного множества радиусов) и равенство всех этих пределов. Это требование является значительно более жестким по сравнением с аналогичным требованием для функций действительной переменной и приво-

42

дит к тому, что дифференцируемые функции комплексной переменной обладают рядом дополнительных свойств по сравнению с функциями действительной переменной.

2.5. Условия Коши – Римана9

Пусть f (z) = u(x, y) +iv(x, y) и приращение аргумента ∆z = ∆x +i∆y. Тогда приращение функции будет равно

∆w = f (z + ∆z) − f (z) = ∆u +i∆v,

где ∆u = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y), ∆v = v(x + ∆x, y + ∆y) −v(x, y).

Пусть этот предел существует и по определению не зависит от закона стремления ∆z = ∆x +i∆y к нулю. Рассмотрим два слу-

чая.

Пусть, например, точка z + ∆z стремится к точке z по прямой, параллельной оси 0x (см. рис. 18). Тогда ∆z = ∆x и поэтому

9 Коши Огюстен Луи (21.08.1789 – 23.08.1857) – французский математик и механик.

Риман Георг Фридрих Бернхард (17.09.1826 – 20.07.1866) – немецкий математик.

Так как выражения (2.17) и (2.18) должны совпадать, то

Эти условия называются условиями Коши – Римана (Да-

ламбера – Эйлера10) и являются необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости функции комплексной переменной.

Нами доказана необходимость выполнения этих условий для того, чтобы функция была дифференцируемой. Если, кроме того, частные производные функций u(x, y) и v(x, y) будут не-

прерывными в области, то условия Коши – Римана будут и достаточными условиями аналитичности функции.

Функция комплексной переменной f (z) , дифференцируе-

мая в каждой точке некоторой области, называется аналитиче-

ской (или регулярной) в этой области.

Те точки области, в которых функция является аналитической, называются правильными, а те точки области, в которых функция перестает быть аналитической (или не определена), называются особыми.

Замечание. Так как основные теоремы о пределах и определение предела для функции комплексной переменной не отличаются от соответствующих теорем и определений для функций действительной переменной, то формально техника дифференцирования функций комплексной переменной является такой же, как и для функций действительной переменной. Другими словами, правила дифференцирования и теоремы дифференцирования

10 Эти условия значительно раньше О.Коши и Г.Римана были получены Ж.Л.Даламбером (1752) и Л.Эйлером (1755, 1777). Даламбер Жан Лерон (16.11.1717 – 29.10.1783) – французский математик и философ.

44

сложных функций действительной переменной остаются справедливыми и для функций комплексной переменной.

Как видно, условия Коши - Римана выполняются всюду, кроме точки z = 0. Следовательно, функция w = z + 1z аналитична

всюду на комплексной плоскости с “выколотым центром”. Еë производная равна w′ =1-1/z2 .

условия Коши – Римана нигде в плоскости z не выполняются, следовательно, функция w = cosiz не является аналитической ни в одной точке плоскости.

в) e2z = e2( x+iy) = e2 xe2iy = e2 x (cos 2 y +isin 2 y) =

45

= e2 x cos 2 y +ie2 x sin 2 y,

cos3z = cos(3x +3iy) = cos3x cos3iy −sin 3x sin 3iy = = cos 3x ch 3y −i sin 3x sh 3y,

w = e2 x cos 2 y + 2 cos 3x ch 3y +i(e2 x sin 2 y −2sin 3x sh 3y). u(x, y) = e2 x cos 2 y + 2 cos 3x ch 3y, v(x, y) = e2 x sin 2 y − 2sin 3x sh 3y.

Поэтому

∂∂ux = 2e2 x cos 2 y −6sin 3x ch 3y = ∂∂yv ,

∂∂uy = −2e2 x sin 2 y +6 cos3x sh 3y = − ∂∂vx .

Так как условия Коши – Римана выполняются, то функция w аналитическая всюду на плоскости, следовательно,

w′ = dwdz = 2e2z −6sin 3z.

2.6. Связь аналитических функций с гармоническими

Как известно, гармонической в области функцией называется действительная функция u(x, y) двух действительных пере-

менных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

∆u = ∂2u + ∂2u = 0. ∂x2 ∂y2

Это уравнение называется уравнением Лапласа11. Оно (и соответственно гармонические функции) играет важную роль в математической физике.

Можно показать, что если функция комплексной переменной f (z) = u(x, y) +iv(x, y) однозначна и аналитична в некоторой

области, то в этой области еë действительная и мнимая части являются гармоническими функциями.

11Лаплас Пьер Симон (23.03.1749 – 05.03.1827) – французский математик, астроном и физик.

46

Вместе с тем, не из любых двух дифференцируемых функций u(x, y) и v(x, y) можно составить дифференцируемую функ-

цию комплексной переменной, так как для функции u(x, y) +iv(x, y) условия Коши – Римана могут не выполняться.

Аналитическую функцию f (z) = u(x, y) +iv(x, y) можно по-

строить, если произвольно задав одну из двух гармонических функций (u(x, y) или v(x, y) ), подобрать другую так, чтобы

удовлетворялись условия Коши – Римана. Для этого надо определить вторую из функций по еë полному дифференциалу.

Рассмотрим эту процедуру на примере: найти аналитическую функцию w = f (z), если u(x, y) = x3 −3xy2 , f (0) = i.

v = ∫(3x2 −3y2 )dy +ϕ(x) = 3x2 y − y3 +ϕ(x),

где ϕ(x) - произвольная функция интегрирования. Дифференци-

f (z) = x3 −3xy2 +i (3x2 y − y3 +1).

Выразим далее f (z) как функцию аргумента z. Так как z = x +iy,

2.7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной от аналитической функции

1. Пусть f (z) - аналитическая функция в некоторой области комплексной плоскости z. Возьмëм какую – нибудь точку z0

в этой области и проведем через неë произвольную кривую l

(см. рис. 19).

раметрической форме: z = z(t), где t - некоторый параметр. Тогда уравнение кривой L при отображении, осуществляемом функци-

48

Учитывая, что при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, получим Arg w′(t0 ) = Arg f ′(t0 ) + Arg z′(t0 ).

Очевидно, величина f ′(z0 ) , а значит и Arg f ′(z0 ) , не зависит от выбора кривой l , а зависит только от вида функции f (z) и точки z0 . Поэтому можно принять Arg f ′(z0 ) =α = const.

В результате приходим к выводу о том, что аргумент производной от аналитической функции имеет наглядный геометрический смысл: он равен углу, на который надо повернуть касательную в точке z0 к любой кривой, проходящей через эту точку,

чтобы получить направление касательной в соответствующей точке w0 к образу данной кривой при отображении, осуществ-

ляемом функцией w = f (z). При этом, если arg f ′(z0 ) > 0, то по-

ворот происходит против часовой стрелки и наоборот. Следовательно, если через точку z0 провести какую - ни-

будь другую кривую так, чтобы угол между касательными к кривым был равен ϕ, то при отображении, осуществляемом анали-

тической функцией, угол между касательными к образам этих кривых в плоскости w будет также равен ϕ.

2. Рассмотрим далее геометрический смысл модуля производной. Так как ∆z - это расстояние от точки z0 до точки z0 + ∆z , а

∆w - расстояние от точки w0 до точки w0 + ∆w, то величина ∆w / ∆z показывает, в каком отношении меняется расстояние

между соответствующими точками при отображении, осуществляемом функцией w = f (z). Предел этого отношения и есть мо-

дуль производной:

таточно малой окрестности точки z0 расстояния между точками

увеличиваются (происходит растяжение) и наоборот.

Из соотношения (2.20) с точностью до величин высшего порядка малости следует приближенное равенство: ∆w ≈ k ∆z . Гео-

49

метрически это означает, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом. Это свойство называют свой-

ством постоянства растяжения.

Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0 , осуществляемое аналитической функцией w = f (z) и обла-

дающее свойствами постоянства растяжений и сохранения (консерватизма) углов между линиями (во всех точках, где производ-

ная f ′(z0 ) ≠ 0), называется конформным отображением.

Понятие конформного отображения является одним из важнейших в математике. Конформные отображения аналитических функций находят широкое применение для решения различных сложных задач механики (в гидро – и аэродинамике, плоской и неоднородной теории упругости), физики (в теории электростатического, магнитного и теплового полей), в картографии. Оказывается, что во многих случаях при решении задач для областей сложной формы (например, профиль крыла самолета, отверстие некруговой формы и т.п.) можно конформно отобразить заданную область сложного очертания на область простой формы (например, на единичный круг), для которой соответствующая задача или уже решена, или решение находится просто. Обратный переход производится с помощью той же функции, которая осуществляет конформное отображение. Существенный вклад в развитие и применение этих методов к задачам механики сплошной

среды внесен отечественными учеными Н.Е.Жуковским12, С.А.Чаплыгиным13, Г.В.Колосовым14, Н.И.Мусхелишвили15.

12Жуковский Николай Егорович (17.01.1847 - 17.03.1921) - механик, основоположник авиационной науки.

13Чаплыгин Сергей Алексеевич (05.04.1869 - 08.09.1942) - математик и механик, академик АН СССР.

14Колосов Гурий Васильевич (24.081867 - 07.09.1936) - механик, чл.-корр. АН СССР.

15Мусхелишвили Николай Иванович (16.02.1891 -15.07.1976) - математик и механик, академик АН СССР.

50

3. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

3.1 Понятие контурного интеграла от функции комплексной переменной

Рассмотрим на плоскости комплексной переменной гладкую (или кусочно – гладкую) кривую C, начальную и конечную точки которой обозначим соответственно через z0 и zn . Тем самым на-

ми установлено положительное направление обхода кривой. Пусть функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) непрерывна во всех точках

этой кривой.

Разобъем кривую C на n частей (рис. 20) точками z1, z2 ,...zn−1 так, что zk = xk +iyk , и составим так называемую интегральную

n

сумму ∑ f (ξk )∆zk , где ξk - произвольно взятая точка на элемен-

k=1

тарной дуге zk−1zk , f (ξk ) - значение функции в точке ζk ,

∆zk = zk − zk−1.

Рис. 20

Определенным (контурным) интегралом от функции комплексной переменной, взятым вдоль кривой C, называется предел построенной интегральной суммы, когда число частичных дуг стремится к бесконечности, а длина наибольшей из них стремится к нулю: (max ∆zk → 0 )