ТФКП и ОП
.pdf
131
Ответ
Задание № 4
Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 = −3 + 4i и z2 = 4 −3i , изображен на рис.
Варианты ответов: 1) |
2) |
3) |
4). |
Задание № 5 |
|
|
|
Даны 2 комплексных числа z1 |
и |
z2 . |
|
Тогда аргумент произведения |
arg(z1z2 ) (в градусах) равен |
||
Ответ
132
Задание № 6
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент отношения arg(z1 / z2 ) (в градусах) равен
Ответ
Задание № 7
Найти модуль комплексного числа z, если Re z =10, а arg z = arccos(2 / 3).
Ответ
Задание № 8
Дано комплексное число z = 3 + 
2i. Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения.
1 |
zz |
|
11 |
|
|
|||||
2 |
z / |
|
z |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
z + z |
|
2 |
2i |
|
|
||||
4 |
z − z |
|
3 |
− |
2 |
i |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
11 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Задание № 9
Найти значения корня 4 −16 . Показать их на комплексной плоскости.
Ответ
Задание № 10
Заданию каких двух действительных функций действительной переменной эквивалентно задание комплексной функции комп-
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
|
|
лексной переменной |
f (z) = ez2 . |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
90 |
Пусть z = |
+i |
. |
Вычислить |
|
+i |
|
|||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Варианты ответов: |
1) -1 |
2) 1 |
3) i |
4) |
−i . |
|
Задание №12 |
|
|
|
|
|
|
Укажите значение комплексного логарифма Lnz |
при |
z = 2i . |
||||
Ответ |
|
|
|
|
|
|
Задание № 13
Дана функция комплексной переменной: f (z) = ez . Проверить, является ли она аналитической.
Ответ
Задание № 14
Укажите первые три члена разложения функции комплексной переменной w = −sin z2 в ряд Тейлора.
Ответ
Задание № 15
(z2 +1)dz
Вычислить интеграл ∫ ( )( ).
z =1,5 z −1 z − 2
Ответ
Задание № 16
|
|
|
|
∞ |
z |
n |
|
|
|
Определите радиус сходимости ряда |
∑ |
|
|
. |
|
||||
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
n=1 |
(1−i) |
|
|||
Варианты ответов: 1) 2 |
2) 1 |
3) |
2 |
4) |
2 . |
||||
2 |
|
||||||||
Задание № 17 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти сумму |
вычетов |
функции |
комплексной |
переменной |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = |
|
относительно ее особых точек. |
|
||||||
z2 −3z + 2 |
|
||||||||
|
134 |
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: 1) 0 |
2) |
1 |
3) − |
1 |
4) |
|
1 |
. |
2i |
2i |
|
||||||
|
|
|
|
πi |
||||
Задание № 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить операционным методом задачу Коши для дифференци-
ального уравнения: |
y′− 2 y = 3, |
|
y(0) = 0 : привести “изобра- |
|||
жающее” уравнение; |
выполнить обратное преобразование Лап- |
|||||
ласа. |
|
1 |
|
|
||
Указание: Оригиналу f (t) =1 •=• |
. |
|
||||
|
||||||
|
|
|
p |
|||
Ответ |
Изображающее уравнение |
|
||||
|
Решение задачи Коши |
|
|
|
||
|
|
ВАРИАНТ № 3 |
||||
Задание № 1 |
|
|
|
|
||
Установите соответствие между номером комплексного числа и номером его модуля
|
1 |
|
4 +i |
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
3 −4i |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
−2 +i |
|
|
17 |
|
|
|
|
4 |
|
− 2 − |
2i |
|
|
17 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Задание № 2 |
|
|
|
|
(2 +5i)2 |
|
|
||
Действительная часть комплексного числа |
равна |
||||||||
Варианты ответов: |
1) |
29 |
2) 4 |
|
3) -21 |
4) 21. |
|||
Задание № 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
На рис. представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x +iy. Тогда тригонометрическая форма записи этого
числа имеет вид
Ответ
135
Задание № 4
Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 = 3 + 2i и z2 =1−3i , изображен на рис.
Варианты ответов: 1) |
2) |
3) |
4). |
Задание № 5 |
|
|
|
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент произведения arg(z1z2 ) (в градусах) равен
Ответ
136
Задание № 6
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент отношения arg(z1 / z2 ) (в градусах) равен
Ответ
Задание № 7
Найти модуль комплексного числа z, если Re z = 3, а arg z = arctg(3 / 2).
Ответ
Задание № 8
Дано комплексное число z = 
3 + 2i. Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения.
1 |
|
|
zz |
|
|
4i |
|
|
|||||
2 |
|
|
z / |
|
z |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
z + z |
|
|
2 |
3 |
|
|
||||
4 |
|
|
z − z |
|
|
3 |
− |
2 |
i |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
Задание № 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти значения корня 4 |
−81. Показать их на комплексной плос- |
||||||||||||
кости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 10
Заданию каких двух действительных функций действительного переменного эквивалентно задание комплексной функции ком-
плексного переменного |
f (z) = e |
− |
z |
|
|
||||
2 . |
||||
137
Ответ
Задание № 11
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
40 |
|
Пусть |
z = |
−i |
. |
Вычислить |
|
−i |
|
|
||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Варианты ответов: |
|
1) i |
2) -i |
|
3) 1 |
4) -1. |
||||||
Задание № 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Укажите значение комплексного логарифма |
Ln z |
при |
||||||||||
z =1− |
3i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ
Задание № 13
Дана функция комплексной переменной: f (z) = z2 + z. Проверить, является ли она аналитической.
Ответ
Задание № 14
Укажите первые три члена разложения функции комплексной переменной w =1−cos z2 в ряд Тейлора.
Ответ
Задание № 15
Вычислить интеграл |
|
|
|
∫ |
|
ez dz |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
=1,5 (z +1)(z − 2) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определите радиус сходимости ряда |
∑(2i)n zn . |
|
|
||||||||||||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||
1) 0,5 |
2) |
2 |
|
3) 1 |
|
4) ∞. |
|
||||||||
Задание № 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти сумму вычетов функции комплексной переменной |
|
||||||||||||||
f (z) = |
z −1 |
относительно еë особых точек. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
2πi |
|
||
Варианты ответов: |
1) |
0 |
2) |
|
3) |
4) 1. |
|||||||||
138
Задание № 18
Решить операционным методом задачу Коши для дифференциального уравнения: y′+ y = e3t , y(0) = 0 : привести “изобра-
жающее” уравнение; выполнить обратное преобразование Лапласа.
Указание: Оригиналу f (t) = eat • =• |
1 |
|
. |
||
p − a |
|||||
|
|
|
|||
Ответ |
Изображающее уравнение |
|
|
||
|
Решение задачи Коши |
|
|
||
ВАРИАНТ № 4
Задание № 1
Установите соответствие между номером комплексного числа и номером его модуля
|
1 |
|
6 +8i |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
2 |
|
−3 + 2i |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
1−2i |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
−5 −4i |
|
|
|
|
41 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
Задание № 2 |
|
|
|
(4 −i)2 |
|
|
|
|||
Мнимая часть комплексного числа |
равна |
|
|
|||||||
Варианты ответов: |
1) 4 |
2) |
−4 |
3) 8 |
4) −8. |
|||||
Задание № 3
На рис представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x +iy. Тогда тригонометрическая форма записи этого
числа имеет вид
139
Ответ
Задание № 4
Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 = 2 −i и z2 = −3 +3i , изображен на рисунке
Варианты ответов: |
1) |
2) |
3) |
4). |
Задание № 5 |
|
|
|
|
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент произведения arg(z1z2 ) (в градусах) равен
Ответ
Задание № 6
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент отношения arg(z1 / z2 ) (в градусах) равен
Ответ
140
Задание № 7
Найти модуль комплексного числа z, если Re z = 8, а arg z = arccos 34
Ответ
Задание № 8
Дано комплексное число z = −
2 + 
2i. Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения.
1 |
zz |
|
− 2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z / |
|
z |
|
|
|
2 |
2 i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
3 |
z + z |
|
− 2 |
− 2 i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
z − z |
|
|
4 |
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
Задание № 9
Найти значение корня 4 − 256 . Показать их на комплексной плоскости.
Ответ
Задание № 10
Заданию каких двух действительных функций действительного переменного эквивалентно задание комплексной функции ком-
плексного переменного f (z) = z2 −2z .
Ответ