ТФКП и ОП
.pdf121
y(t) = 1 te−t sin 2t +C e−t |
cos 2t + (C |
|
+C |
|
) |
1 e−t sin 2t = |
1 te−t sin 2t + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
+C e−t (cos 2t + |
sin 2t) + |
C |
e−t |
sin 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. |
|
Решить |
систему |
|
|
линейных |
дифференциальных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = −3y |
− z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ = y − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при начальных условиях |
|
y(+0) =1, z(+0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть y(t)•=• Y ( p) , |
|
|
|
z(t)•=• |
Z ( p). |
|
С учетом начальных условий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′(t) •=• pY ( p) −1, |
z′(t) •=• pZ ( p) −1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изображающая система примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p +3)Y ( p) + Z ( p) =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−Y ( p) + ( p +1)Z ( p) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решая еë по формулам Крамера, находим |
|
|
|
p +3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Y ( p) = |
|
|
|
|
1 p +1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
p |
|
|
|
, Z ( p) = |
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
= |
|
p + 4 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p +3 1 |
|
|
|
( p |
+ |
2)2 |
|
|
|
p +3 1 |
|
( p + 2)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
p +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
p +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Y ( p) = |
|
p |
= |
p + 2 − 2 |
|
= |
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
• =• y(t) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( p + 2)2 |
( p + 2)2 |
|
p + 2 |
( p |
+ 2)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= e−2t − 2te−2t = e−2t (1−2t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Z ( p) = |
|
p + 4 |
|
= |
|
|
|
|
p |
|
|
|
+ |
|
|
4 |
|
|
|
• =• z(t) = e−2t (1− 2t) + 4te−2t = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
( p + 2)2 |
|
( p |
+ 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= e−2t (1+ 2t).
Итак, решение задачи Коши для системы уравнений запишется в виде
y(t) = (1− 2t)e−2t ,z(t) = (1+ 2t)e−2t .
122
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица соответствия между оригиналами и изображениями
Функция – оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
eat |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p − a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||
cosωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
+ω2 |
|
|
|
|
|||||||||
chωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p2 |
|
−ω2 |
|
|
|
||||||||||
sh ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
−ω2 |
|
|
|
||||||||||
e−a t cosωt |
|
|
|
|
|
|
p + a |
|||||||||||||
|
|
|
( p + a)2 |
+ω2 |
|
|||||||||||||||
e−a t sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( p + a)2 |
+ω2 |
|
|||||||||||||||
e−at ch ωt |
|
|
|
|
|
|
p + a |
|||||||||||||
|
|
|
( p + a)2 −ω2 |
|
||||||||||||||||
e−at sh ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( p + a)2 −ω2 |
|
||||||||||||||||
cos (ωt −α) |
|
|
p |
|
|
|
e−(α /ω) p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
p2 +ω2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
123
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (ωt −α) |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
e−(α /ω) p |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p2 +ω |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
tn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
tneat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)n+1 |
|
|
|
||||||||||||
|
at +b |
|
|
|
|
|
|
|
a +bp |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
||||||
(1+ at)eat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
cos2 ωt |
|
|
|
|
|
p2 + 2ω2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p( p2 + 4ω2 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
sin2 ωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ω2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p( p2 + 4ω2 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
t |
sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
(t2 +ω2 )2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
eat −ebt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a −b |
|
|
( p − a)( p −b) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−τt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−e−τt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТЕСТЫ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ИОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
1.Дайте определение комплексного числа, укажите три формы записи комплексного числа…………………………………
2.Модулем комплексного числа называется ……………… …
3.Аргументом комплексного числа называется…………………
4.Приведите формулы для определения аргумента комплексного числа………………………………………………………………
5.Укажите геометрическую интерпретацию комплексного числа.
6.Если даны комплексные числа z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ) и
|
z2 = r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ) , то их произведение z1z2 равно……… |
7. |
Если даны комплексные числа z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ) и |
|
z2 = r2 (cosϕ2 +isinϕ2 ) , то частное от деления этих чисел равно |
8. |
Если дано комплексное число z = r(cosϕ +i sin ϕ), то zn =....…. |
9. |
Дано комплексное число z = r(cosϕ +i sinϕ). Укажите, сколько |
|
значений имеет n z и приведите формулу для их определения. |
10.Дайте определение функции комплексной переменной и понятия функции комплексной переменной как отображения…
11.Заданию каких двух функций равносильно задание однозначной комплексной функции комплексного аргументаw = f (z)?
12.Запишите формулы Эйлера, связывающие показательные и тригонометрические комплексные функции комплексного аргумента………………………………………………………..
13.Запишите формулы, связывающие тригонометрические и показательные комплексные функции комплексного аргумента.
14.Приведите определение логарифмической функции комплексного аргумента Ln z …………………………………….
15.Приведите определение производной функции комплексной переменной f (z) ………………………………………………..
16.Запишите условия Коши – Римана и укажите их смысл……..
17.Дайте определение контурного интеграла от функции комплексной переменной, укажите его выражение через криво-
125
линейные интегралы от действительной и мнимой частей функции…………………………………………………………..
18.Приведите определение аналитической функции…………….
19.Сформулируйте теорему Коши для односвязной области…..
20.Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области…
21.Приведите формулу Ньютона – Лейбница вычисления интегралов от аналитических функций………………… ………..
22.Запишите интегральную формулу Коши. В чем ее значение ?
23.Запишите формулу, дающую интегральное представление производной n –го порядка от аналитической функции……
24.Дайте определение степенного ряда в комплексной области. Сформулируйте теорему Абеля……………………………..
25.Сформулируйте теорему о разложении аналитической функ-
ции в ряд Тейлора……………………………………………….
26.Приведите различные формы записи ряда Тейлора и укажите область сходимости ряда Тейлора……………………………
27.Приведите формулы для определения радиуса сходимости
ряда Тейлора…………………………………………………….
28. Запишите разложение в ряд Тейлора по степеням z функции f (z) = ez ………………………………………………………..
29. Запишите разложение в ряд Тейлора по степеням z функции f (z) = cos z …………………………………………………….
30. Запишите разложение в ряд Тейлора по степеням z функции
f(z) = sin z …………………………………………………….
31.Запишите разложение в ряд Тейлора по степеням z функции
f(z) = 1+1 z …………………………………………………….
32.Сформулируйте теорему о разложении аналитической функции в ряд Лорана и укажите область сходимости ряда Лорана
33.Запишите ряд Лорана в виде суммы правильной и главной частей и приведите формулы для определения радиуса сходимости правильной и главной частей ряда Лорана………. ..
34.Дайте определение и классификацию особых точек аналити-
ческой функции…………………………………………………
35.Дайте определение понятия вычета функции относительно особой точки. Сформулируйте основную теорему о вычетах.
126
36.Чему равен вычет функции относительно устранимой особой точки ?
37.Как определяется вычет функции относительно существенно особой точки ?
38.Приведите формулы определения вычета функции относительно простого полюса……………………………………..
39.Приведите формулу определения вычета функции относительно полюса n –го порядка………………………………….
40.Дайте определение преобразования Лапласа, понятий ориги-
нала и изображения…………………………………………….
41.Сформулируйте теорему линейности изображения………….
42.Сформулируйте теорему подобия……………………………..
43.Сформулируйте теорему смещения изображения……………
44.Сформулируйте теорему запаздывания…………………….
45.Сформулируйте теорему дифференцирования оригинала…....
46.Сформулируйте теорему дифференцирования изображения
47.Сформулируйте теорему интегрирования оригинала………..
48.Сформулируйте теорему обращения………………………..
49.Запишите формулу разложения Хевисайда…………………..
50.Укажите последовательность решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом…………………………….
ВАРИАНТ № 1
Задание № 1
Установите соответствие между номером комплексного числа и номером его модуля
|
1 |
|
3 + 4i |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 −i |
|
|
13 |
|
|
|
3 |
|
−1+ 8i |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
−5 −12i |
|
|
7 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 2 |
|
|
|
|
|
|
||
Действительная часть комплексного числа |
(1+3i)2 |
равна |
||||||
Варианты ответов: |
1) 10 |
2) 6 |
|
3) -8 |
4) 1. |
|||
127
Задание № 3
На рис представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x +iy. Тогда тригонометрическая форма записи этого
числа имеет вид
Ответ
Задание № 4
Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 = −1+ 2i и z2 = 2 −i , изображен на рисунке.
Варианты ответов: |
1) |
2) |
3) |
4) . |
Задание № 5 |
|
|
|
|
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент произведения arg(z1z2 ) (в градусах) равен
Ответ
128
Задание № 6
Даны 2 комплексных числа z1 и z2 .
Тогда аргумент отношения arg(z1 / z2 ) (в градусах) равен
Ответ
Задание № 7
Найти модуль комплексного числа z, если Im z =17, а arg z = arcsin(17 / 8) .
Ответ
Задание № 8
Дано комплексное число z =1+ 
3i. Установите соответствие между операциями над данным числом и результатами их выполнения.
1 |
zz |
|
1 − |
|
3 i |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
z / |
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
z + z |
|
2 |
|
|
3i |
||||
4 |
z − z |
|
|
|
|
4 |
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
− 1 |
+ |
3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
129
Задание № 9
Найти значения корня 4 −1. Показать их на комплексной плоскости
Ответ
Задание № 10
Заданию каких двух действительных функций действительного переменного эквивалентно задание комплексной функции ком-
плексного переменного |
f (z) = z3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
Пусть z = |
+i |
. |
Вычислить |
|
+i |
|
|
||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Варианты ответов: |
|
|
1) -1 |
2) |
1 |
|
3) i |
4) −i . |
|||||
Задание № 12
Укажите значения комплексного логарифма Ln z при z =1+i.
Ответ
Задание № 13
Дана функция комплексной переменной: f (z) = z2 . Проверить, является ли она аналитической.
Ответ
Задание № 14
Укажите первые три члена разложения функции комплексной переменной w = cos z2 в ряд Тейлора.
Ответ
Задание № 15
|
|
|
∫ |
zdz |
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
z−1 |
|
. |
|
|
|
||
(z −1)(z − 2)2 |
|
|
|
|||||
|
|
=1/ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 16 |
|
|
|
|
z |
n |
||
|
|
|
|
∞ |
||||
Определите радиус сходимости ряда ∑ |
|
. |
||||||
|
n |
|||||||
|
|
|
|
n=1 |
(1+i) |
|||
|
|
130 |
|
|
Варианты ответов: 1) |
2 |
2) 2 |
3) 2 |
4) ∞. |
2 |
Задание № 17
Найти сумму вычетов функции комплексной переменной f (z) = z21+1 относительно ее особых точек.
Варианты ответов: |
1) 0 |
2) |
1 |
3) − |
1 |
4) |
1 |
. |
2i |
2i |
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
|||
Задание № 18
Решить операционным методом задачу Коши для дифференциального уравнения: y′+ y =1, y(0) = 0: привести “изображаю-
щее” уравнение; выполнить обратное преобразование Лапласа. Указание: Оригиналу f (t) =1 •=• 1p .
Ответ Изображающее уравнение Решение задачи Коши
ВАРИАНТ № 2
Задание № 1
Установите соответствие между номером комплексного числа и номером его модуля
1 |
3 +3i |
|
6 |
2 |
3 −i |
|
12 |
3 |
−2 +3i |
|
10 |
4 |
−3 −3 3i |
|
10 |
5 |
|
|
13 |
Задание № 2 |
|
|
|
|
Действительная часть комплексного числа |
(3 − 2i)2 |
равна |
||
Варианты ответов: |
1) 13 |
2) 5 |
3) -12 |
4) 1. |
Задание № 3 |
|
|
|
|
На рис. представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z = x +iy. Тогда тригонометрическая форма записи этого
числа имеет вид