Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП и ОП

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

		91
f2	(z) =	z2 − 4		=	z − 2	.
f2	(z) =	z(z +3)(z + 2)4		=	z(z +3)(z + 2)3	.
		z(z +3)(z + 2)4			z(z +3)(z + 2)3
Полагая теперь z(z +3)(z + 2)3 = 0,			находим, что z = 0 и z = −3 -

простые нули, а z = −2 - нуль третьего порядка. Поэтому для заданной функции точки z = 0 и z = −3 являются простыми полюсами, а точка z = −2 - полюсом третьего порядка.

Замечание. Как видно из этих примеров, если известно, что точка z = z0 является полюсом функции, то для определения его

порядка можно и не разлагать функцию в ряд Лорана.

4.4. Понятие вычета функции. Основная теорема о вычетах

Пусть z = z0 - изолированная особая точка аналитической функции. Тогда в окрестности этой точки функция f (z) может быть разложена в ряд Лорана

n=∞		1	f (z)dzn+1 .
f (z) = ∑Cn (z − z0 )n , где	Cn =
n=−∞		2πi C∫(z − z0 )

Коэффициент C−1 при минус первой степени (z − z0 ) в раз-

ложении функции в ряд Лорана в окрестности конечной изолированной особой точки z0 называется вычетом функции f (z) от-

носительно особой точки z0 и обозначается символом

Res[ f (z); z0 ] = C−1 = 21πi C∫ f (z)dz .

Здесь C – произвольный замкнутый контур, охватывающий точку z0 и проходимый в положительном направлении (напри-

мер, окружность малого радиуса).

Пусть функция f (z) аналитична внутри простого замкнуто-

го контура C и на нем, за исключением конечного числа изолированных особых точек: z0 , z1,..., zn . Проведем окружности мало-

го радиуса с центрами в этих точках так, чтобы они лежали целиком внутри контура C , не пересекались между собой и чтобы внутри каждой из них находилось лишь по одной особой точке

( рис. 32).

Рис. 32

Тогда по теореме Коши для сложного контура можно запи-

сать

1	∫ f (z)dz =	1	∫ f (z)dz +	1	∫ f (z)dz +... +	1	∫ f (z)dz.
2πi	C	2πi	γ1	2πi	γ2	2πi	γn
	C		γ1		γ2		γn

Но каждое из слагаемых в правой части представляет собой вычет функции относительно соответствующей особой точки zi (i =1,2,..., n). Поэтому

	n
∫ f (z)dz = 2πi∑Res[ f (z); zk ].		(4.32)
C	k=1

Итак, нами доказана следующая основная теорема о вычетах: если функция f (z) аналитична всюду в области, ограничен-

ной простым замкнутым контуром, за исключением конечного

числа изолированных особых точек, то величина	1	∫ f (z)dz
	2πi	C
равна сумме вычетов подынтегральной функции	f (z)	относи-

тельно всех еë особых точек, лежащих внутри области. Важность основной теоремы о вычетах заключается в том,

что она позволяет свести вычисление контурных интегралов от аналитических функций комплексной переменной к вычислению вычетов подынтегральной функции относительно еë особых точек, расположенных внутри контура, то есть к вычислению дифференциальных величин, какими являются вычеты.

4.5. Техника вычисления вычетов

Если точка z = z0 является устранимой особой точкой, то в разложении этой функции в ряд Лорана, как известно, отсутству-

ет главная часть. Поэтому вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю.

Если в точке z = z0 функция имеет существенно особую

точку, то вычет функции относительно этой точки находится с помощью разложения функции в ряд Лорана и непосредственного определения коэффициента C−1.

Если точка z = z0 - простой полюс функции f (z) , то при

разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки в главной части будет только один член, поэтому еë можно представить в виде

f (z) =ϕ(z) +	C−1	,	(4.33)

	z − z0

где ϕ(z) - сумма правильной части разложения функции в ряд Лорана: ϕ(z) является аналитической, а потому, тем более непрерывной функцией в точке z0 . Из формулы (4.33) находим

	C−1 = (z − z0 ) f (z) −(z − z0 )ϕ(z).
Перейдем к пределу при z → z0 . Так как функция ϕ(z) не-
прерывна в точке z0 , то существует конечный предел
limϕ(z) =ϕ(z0 ) , поэтому lim[(z − z0 )ϕ(z)] = 0.
z→z0	z→z0
Отсюда следует, что вычет функции относительно простого
полюса равен	Res[ f (z); z0 ] = lim[(z − z0 ) f (z)].			(4.34)

	z→z0
Если функция f (z) , аналитическая в окрестности простого
полюса z = z0	, представляет собой дробь f (z) =	f1 (z)	,	причем

		f2 (z)
f2 (z0 ) = 0, а	f1 (z0 ) ≠ 0, то удобнее применить иную формулу для

вычета функции, выполнив преобразование формулы (4.34):

Re s[ f (z); z0 ] = lim[(z − z0 )	f1	(z)	] =
	f2	(z)
z→z0

lim f1 (z)

z→z0 =

lim f2 (z)

z→z0 z − z0

f1 (z0 )

(z) − f

)

′

lim

2 (z0 )

z − z0

z→z0

Итак,

f1 (z0 )

Res[ f (z); z0 ] =

(4.35)

f2′(z0 )

Если точка z = z0 является полюсом n – го порядка для функции f (z) , то можно показать, обобщая равенство (4.34), что справедлива формула

Res[ f (z); z0 ] =	1	lim	d n−1	[(z − z0 )n f (z)].	(4.36)
			dzn−1
	(n −1)! z→z0

Примеры. Найти вычеты функций относительно полюсов:

f (z) =

;

f (z) =

;

f (z) =

ez −1

;

(z −1)(z − 2)2

z(z +1)

f (z) = z3 sin

1) Функция f (z)

имеет простой полюс z0 =1 и полюс вто-

рого порядка z0

= 2. По формуле (4.34) находим

z +1

Res[ f (z), z0

=1] = lim (z −1)

= lim

= 2.

(z −1)(z

−

→1

z→1 (z − 2)

Заметим, что для вычета функции

f (z)

относительно про-

стого полюса

z0 =1 можно воспользоваться и формулой (4.35),

приняв

(z) =

z +1

(z) = z −1. Тогда

(z −2)2

Res[ f (z), z0

z +1

′

= 2.

1] =

(z − 2)

/(z −1)

z=z0

По формуле (4.36) при n = 2 имеем

Res[ f (z), z0 =				d
		2] = lim			(z

			z→2	dz
= lim	d z +1		= lim	− 2


z→2	dz z −1		z→2 (z −1)2

−2)	2	z +1		=

		(z −1)(z − 2)	2
		(z −1)(z − 2)

= −2.

2) Особые точки функции f (z) = z41+1 - нули знаменателя,

то есть корни уравнения z4 +1 = 0.

Так как

4 −1 = 4 cosπ +isinπ = cos π + 2kπ

+isin

π + 2kπ

cos π +i sin π = ei 4

k = 0,

3π

cos

3π

+i sin

3π

= ei

k =1,

5π

+i sin

= −cos

−i sin

= e

−i

k = 2,

cos

7π

3π

−i sin 3π

= e−i

3π

cos

+i sin

= −cos

k = 3,

то, применяя формулу (4.35), получим

Res[ f

2 (z), z0

= e

−i

3π

4 ] =

4z3

z0 =ei

3π

9π

Res[ f

2 (z), z0

= e

]

−i

z0 =ei

3π

Res[ f

2 (z), z0

= e

−i

4 ] =

z0 =e−i 4

3π

9π

Res[ f

2 (z), z0

= e

−i

] =

4 .

z0 =e−i

3π

3) У функции f (z) =

−1

нули знаменателя: z = 0 и

z(z +1)

z = −1. Точка z = 0 является устранимой особой точкой, так как

+... −1

−1

lim

= lim

z(z +1)

z→0

Поэтому Res[ f (z), z0

= 0] = 0.

Точка z = −1 - простой полюс:

1+	z		+	z2	+...
1+	2!		+	3!	+...
	2!			3!		=1.
		z +1				=1.
		z +1

−1

= lim e

−1

Res[ f (z), z0

= −1] = lim (z +1)

=1−e−1.

z(z +1)

z→−1

4) Функция f (z) = z3 sin

имеет особую точку z = 0 , яв-

ляющуюся существенно особой. Действительно, используя известное разложение для sin z по степеням z, легко получить лорановское разложение функции f (z) , содержащее бесконечное

число членов в правой части:

f (z) = z3 z12 − 3!1z6 + 5!1z10 −... = z − 3!1z3 + 5!1z7 −...

Так как член Cz−1 в главной части отсутствует, то коэффици-

ент C−1 = 0. Следовательно, Res[f (z),z=0]=0.

Примеры. Вычислить интегралы, применяя теорию вычетов (заметим, что некоторые из рассмотренных ниже интегралов вычислены с помощью интегральной формулы Коши - см. стр. 6570):

1) ∫			z2		dz.
			z −	2
	z	=3

Контур интегрирования, особая точка подынтегральной функции и еë расположение относительно контура показаны на рис. 27. В области z < 3 подынтегральная функция аналитична

всюду, кроме точки z0 = 2, являющейся простым полюсом. Cогласно основной теореме о вычетах

∫

dz = 2πi Res[ f (z), z0

= 2] = 2πi limz→2

(z − 2)

=8πi.

z −2

z −

cos zdz

∫

z+2i

x2 + ( y + 2)2 = 32 с

Контур

интегрирования –

окружность:

центром в точке (0;-2) радиуса r = 3. Подынтегральная функция

cos z	=	cos z	в области	z + 2i	< 3 имеет простой полюс


z2 +9		(z +3i)(z −3i)

z0 = −3i . Преобразуем интеграл к виду

cos zdz

cos z

∫

= ∫

∫

z −3i

dz.

z+2i

(z +3i)(z −3i)

z+2i

z +3i

Находим вычет подынтегральной функции по формуле (4.35):

Res[ f (z), z0 = −3i] =

Поэтому

∫

cos zdz

= 2πi

z+2i

∫

e2 z

dz .

−5z

z−1

		cos z				cos(−3i)		i
		z −3i			=	cos(−3i)	=	i	ch3.
			′		=	−6i	=	6	ch3.
	(z +3i)					−6i		6
				z=−3i
				z=−3i
i ch3 = −					π ch3.
6					3

Контур интегрирования – окружность (x −1)2 + y2 = 25 с центром в точке (1;0). Подынтегральная функция имеет два про-

стых полюса

= 0 и

z0 = 5, лежащих внутри окружности (см.

рис. 28). По основной теореме о вычетах

∫

e2 z

dz = 2πi{Res[ f (z), z0 = 0] + Re s[ f (z), z0 = 5]}.

−5z

z−1

Применяя формулу (4.35), находим

, z0

2 z

= −1

Res

= 0

−

−5z)′

z=0

2z −5

z=0

2 z

Res

, z0

= 5

= e .

−

−5z)′

z=5

2z −5

z=5

Заметим, что вычисление вычетов можно выполнить, представляя подынтегральную функцию иначе:

e2z

, z0

e2z

e2 z

= −

Res

= 0

−5z

z - 5

z′

z=0

z −5

z=0

e2z

, z0

e2z

e2 z

e10

Res

= 5

′

−5z

(z −

z=5

В результате

2 z

dz = 2πi

−

1 + e

2π(e −1)i .

∫

z−1

=5 z

−5z

5 5

∫

e2 z

dz.

(z +1)

Подынтегральная функция аналитическая всюду в круговой

области

= 2, кроме точки

= −1 - полюса третьего порядка,

лежащего внутри окружности. Применяя формулу (4.36) при n=3, получим:

∫

e2 z

dz = 2πiRes[f(z),z

= −1] = 2πi 1

lim

d 2

(z +1)3

e2 z

(z +1)

z→−1

(z +

=πi lim 4e2 z = 4πi .

z→−1

∫tgzdz.

z=2

Вобласти z < 2 подынтегральная функция tgz аналитична

всюду, кроме точек z =	π	и	z = −π		, являющихся простыми по-
	2			2		π
люсами. Другие особые точки zn				=		π	+πn функции f (z) = tgz
						2

лежат вне области z = 2 и поэтому не учитываются. По формуле

(4.35) имеем

sin z

Res f (z), z =

= −1,

(cos z)′

z=π

sin z

Res f (z), z

= −

= −1.

(cos z)′

z=−π

∫tgzdz = 2πi(−1−1) = −4πi.

Следовательно,

6) ∫

cosπz

dz.

−1)

z+1

Контур интегрирования – окружность (x +1)2 + y2 =1 с центром в точке (−1;0). Подынтегральная функция имеет две особые точки, являющиеся полюсами второго порядка: z0 =1 и z0 = −1, из которых только полюс z0 = −1 лежит внутри контура интегрирования. Используя формулу (4.36) при n = 2 , находим

∫

cosπz

dz = 2πiRes[f(z), z0 = −1] =

−1)

z+1

cosπz

= 2πi

lim

(z +1)

(z −1)

2 == 2πi lim

1! z→−1 dz

z→−1 dz

(z −

= 2πi lim

−

π sinπz (z

−1)2 − 2(z −1)cosπz

= −

πi

(z −1)4

= 2πi

z→−1

∫

dz.

(z +1)2 (z − 2)

Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в двух точках z = −1 и z = 2, лежащих внутри окружности z = 3.

Точка z = 2 является простым полюсом, а точка z = −1 - полюсом второго порядка. Применяя основную теорему о вычетах, формулы (4.35) и (4.36) при n = 2 , получим

ez dz

= 2πi{Res[ f (z), z0

= 2] + Re s[ f (z), z0

= −1]}=

z∫=3 (z −2)(z +1)2

2πi

lim

(z +1)

(z −

′

+1)

(z −2)

z=2

z→−1

2πi

= 2πi

(z −3)

+ lim

z→−1 dz

− 2

(z −2)

z→−1

2π(e

2πi e

−

− 4) i.

Отметим в заключение, что с помощью вычетов удается вычислять многие определенные и несобственные интегралы от функций действительной переменной, для чего эти интегралы предварительно преобразуются в интегралы по замкнутому кон-

туру [1, 3].

100

5. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Операционное исчисление представляет собой своеобразный и эффективный метод решения различных математических задач, прежде всего, дифференциальных уравнений. Популяризации операционного исчисления способствовал английский инженер – электротехник О. Хевисайд22, который успешно применил его в электротехнике. В настоящее время операционное исчисление как один из методов так называемых интегральных преобразований широко применяется при решении различных задач физики, механики, автоматики, электротехники, в которых рассматриваются временные процессы. В основе операционного исчисления лежит понятие преобразования Лапласа.

5.1. Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа называется преобразование, которое ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F(p) комплексной переменной p по формуле

∞
F( p) = ∫ f (t)e−pt dt.	(5.1)
0

Несобственный интеграл в правой части формулы (5.1), зависящий от комплексного параметра p, называется интегралом Лапласа.

Интеграл сходится и действительно определяет собой некоторую функцию F(p), если подынтегральная функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:

•f(t) - кусочно - непрерывная функция;

•f(t) = 0 при t < 0;

•f(t) по абсолютной величине возрастает не быстрее заранее выбранной показательной функции, то есть можно найти такие постоянные M и α , что f (t) < M eα t . Число α называется

показателем роста функции f(t).

Функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая перечисленным выше трем условиям, называется оригиналом , а

22Хевисайд Оливер (18.05.1850 –03.02. 1925) – английский физик

иинженер.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.201578.34 Кб38ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ.doc
#
27.03.2016280.2 Кб48Тренировочная работа форматирование в Excel.pdf
#
27.03.201696.26 Кб63тсп КПземляные работы.doc
#
27.03.201616.76 Mб1311ТСП Лекции.doc
#
27.03.20161.24 Mб150ТСП ПЗ.doc
#
27.03.20162 Mб157ТФКП и ОП.pdf
#
27.03.2016682.64 Кб255Тяговый расчет ГМ.pdf
#
06.09.2019430.08 Кб28уитс.doc
#
23.11.20181.17 Mб64УМК для менеджеров.doc
#
23.11.20191.15 Mб12УМК для экономистов.doc
#
15.09.20191.59 Mб13УМК Отечественная история (2010).doc