2.4.2. Дисперсия

Когда мы имеем дело со случайной величиной, то, как правило, недостаточно определить только ее среднее значение, следует ввести также меру ее разброса вокруг среднего значения, характеризующую вариативность значений случайной величины. Так, например, для выборки объемов продаж холодильников важно знать не только средний объем продаж, но и то, в каких пределах он может изменяться ото дня ко дню.

Одной из мер вариативности является дисперсия, определяемая как средний квадрат отклонения случайной величины от среднего значения.

Используя определение частот появления различных значений в выборке, мы, так же как и в случае среднего значения, можем переписать формулу для расчета дисперсии в виде

Пример 2.5

Для определения дисперсии объемов продаж холодильников (Пример 1) мы находим отклонения объемов продаж в каждый из дней от среднего значения, возводим их в квадрат и усредняем (складывая и деля на число наблюдений, уменьшенное на единицу):

Используя определение частот появления различных значений в выборке, получаем формулу для расчета дисперсии в виде

В пределе, при достаточно большом числе наблюдений пзначенийх_k, частоты_kпереходят в соответствующие вероятности , и для анализа отклонений случайной величины от сред­него значения полезно ввести в рассмотрение новую случайную величинуZ= (X - )², значения которой представляют квадраты отклонений случайной величиныXот среднего значения=М[Х]. Распределение этой случайной величины также можно представить в виде таблицы:

Z	(x1 - )2	(x2 - )2	…	(xn - )2
Р	Р1	Р2	…	Рn

Математическое ожидание такой случайной величины

характеризует среднее отклонение (точнее, средний квадрат отклонения) исходной случайной величины x_kот среднего значениеМ[Х] =и называется дисперсией случайной величиныX,обознача­емойD[Х] или².

Итак, общее определение дисперсии как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины имеет вид:

Свойства дисперсии:

D[с] = 0

D[Х+b] = D[Х]

D[аХ] = а²D[Х]

D[аХ+b] = а²D[Х]

-для любых чисел (констант)а, b ис.

Эти свойства могут быть доказаны из определения дисперсии и свойств математического ожидания.

2.4.3. Связь дисперсии с математическим ожиданием

Для практического расчета дисперсии случайных величин часто бывает удобно использовать следующую формулу:

D|Х| = М[Х²] - М²[Х]

Для доказательства воспользуемся определением и свойствами дисперсии:

Стандартное отклонение случайной величины  - мера разброса случайной величины вокруг среднего значения, имеющая размерность данной случайной величины. Стандартное отклонение случайной величины-это среднее квадратическое разброса случайной величины или корень из ее дисперсии:

Коэффициент вариации случайной величины V – мера относительного разброса случайной величины (безразмерная величина).

Коэффициент вариации показывает, какую долю среднего значения случайной величины составляет ее средний разброс.

Дисперсия и другие меры разброса часто применяются при анализе риска различных активов в портфеле и портфеля активов в целом в финансовом анализе, а также при анализе риска других действий со случайным исходом.

Задача

Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, принимающей значение 0, если монета при подбрасывании падает «орлом» вверх и 1, если падает «решкой».