2.2.2 Репрезентативность выборки. Сравнение относительных частот в выборке и генеральной совокупности.

Проводя какой-либо вероятностный эксперимент, например подбрасывая монету N рази подсчитывая число определенных исходов этого эксперимента, скажем, число выпадений орлаN_орла, мы можем определить частоту появления данного исхода ("орла”) в серии испытаний как отношения числа испытаний, в которых выпал "орел” к общему числу испытанийN_орла /N. В общем случае мы можем дать следующее определение.

Относительной частотой появления события (А_k) называется отношение числа опытов N_k, в которых произошло событие А_k , полному числу испытаний N:

Проводя достаточно большое число опытов, мы можем заметить, что вначале, при малом числе опытов, частота появления какого-либо события, казалось бы, ведет себя случайным образом, но с увеличением числа испытаний ее значение стабилизируется, стремясь к определенному пределу, который и называется вероятностью этого события. Формально, такое определение вероятности Р(А_k) события А_k записывается так:

Р(А_k)=,если указанный предел существует.

Такое определение вероятности имеет смысл только при устой­чивости частоты.

Требование близости соответствующих частот соответствует понятию репрезентативности выборки.

Аналогично можно рассуждать в рассмотренном выше примере 2.1 с дневными объемами продаж холодильников. Если рассматривать дневное число продаж z_kв качестве значений случайной переменнойZ,то при достаточно большом числе наблюдений относительные частоты появления значенийz_kбудут стремиться к вероятности

Рrob{Z=z_k}=

а относительные накопленные частоты - к вероятности

Рrob{Z<z} = = F_z(z)=

которая является функцией конкретного значения zи называет­сяфункцией распределения дискретной случайной величины Z. Здесь и далее индексZ(большая буква латинского алфавита) поясняет, какую случайную величину описывает соответствующая функция (мы будем использовать его в основном в определениях и далее опускать, если это не вызывает недоразумений), аz (малая буква латинского алфавита) - аргумент функции, принимающий значения из множества всевозможных реализации случайной вели­чины Z.

Последовательность пар {(z_j, _j)} называют статистическим распре­делением выборки.Обычно статистическоераспределение записы­вается в виде таблицы, первая строка которой содержит различные элементы выборкиz_j, а вторая - их относительные частоты_j.

При неограниченном росте числа наблюдений относительные час­тоты значений z_j стремятся к вероятностям P_j=Prob{X=z_j}, а статис­тическое распределение выборки переходит в закон распределения дискретной случайной величины X.

Пример 2.2

Английский статистик Пирсон, подбросив монету 12000 раз, нашел, что частота появления "решки" составила при этом приблизительно 0,5069, а для 24000 бросаний - 0,5005, что приближается к классическому результату 0,5.

Рассмотрим следующий простой пример - бросание игрального кубика. В этом случае вероятности (Р)выпадения любого числа очков(X)от 1 до 6 одинаковы и равны '/6. Пусть таблица 2.2 соответствует распределению генеральной совокупности.

Таблица 2.2

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

а некоторая выборка из нее представлена эмпирическим распределением в таблице 2.3

Таблица 2.3

xk	1	2	3	4	5	6
k	0,16	0,17	0,17	0,16	0,17	0,17

Из таблиц видно, что относительные частоты в выборке близки к относительным частотам - вероятностям генеральной совокупности.