119

Модуль 9. Системы одновременных уравнений

При статистическом моделировании экономических ситуаций часто необходимо построение систем уравнений, когда одни и те же пере­менные в различных регрессионных уравнениях могут одновремен­но выступать, с одной стороны, в роли результирующих, объясняе­мых переменных, а с другой стороны - в роли объясняющих пере­менных. Такие системы уравнений принято называть системами одновременных уравнений. При этом в соотношения могут входитьпеременные, относящиеся не только к текущему периоду t, но и к предшествующим периодам. Такие переменные называются лаговыми. Переменные за предшествующие годы обычно выступают в качестве объясняющих переменных.

Пример 9.1

В качестве иллюстрации приведем пример из экономики. Рас­смотрим модель спроса и предложения. Как известно, спрос Dна некоторый продукт зависит от его ценыр.От этого же параметра, но с противоположным по знаку коэффициентом, зависит и пред­ложение этого продукта. Силы рыночного механизма формируют цену таким образом, что спрос и предложение уравниваются. Нам нужно построить модель описанной ситуации. Для этого имеются данные об уровне равновесных цен и спросе (который равен пред­ложению). Представленную ситуацию можно формализовать в виде следующей линейной модели:

спрос пропорционален цене с коэффициентом пропорциональ­ности а₁<0, т.е. связь отрицательная;

2)

предложение пропорционально цене с коэффициентом пропор­циональности а₂>0,т.е. связь положительная;

3) S_t=D_t

Здесь е_t, е_t^/ (t=1,..., п) -ошибки модели, имеющие нулевое математическое ожидание.

Первые два из представленных уравнений, если их рассматри­вать отдельно, могут показаться вполне обычными. Мы можем оп­ределить коэффициенты регрессии для каждого из этих уравнений. Но в этом случае остается открытым вопрос о равенстве спроса и предложения, т.е. может не выполняться третье равенство, в кото­ром спрос выступает в качестве зависимой переменной. Поэтому расчет параметров отдельных уравнений в такой ситуации теряет смысл.

Экономическая модель как система одновременных уравнений может быть представлена в структурной или в приведенной форме.В структурной форме ее уравнения имеют исходный вид, отражая непосредственные связи между переменными.Приведенная формаполучается после решения модели относительно эндогенных (внут­ренних) переменных, то есть выражения этих переменных только через экзогенные (задаваемые извне) переменные и параметры мо­дели. Например, в модели спроса и предложения эндогенными яв­ляются переменныеp_t, S_t, D_t, ее параметры -a₁, a₂, b₁, b₂, а экзоген­ных переменных в ней нет. Таким образом, в приведенной форме переменныеp_t, S_t, D_tдолжны выражаться только через параметры модели. ПодставивD_tиS_tиз (1) и (2) в (3), получаем

;

Здесь _1t, _2t, _3t- преобразованные отклонения. Мы можем оценить как среднее значениеp_t (т.е. ), а также, но из этих трех соотношений невозможно рассчитать параметры первоначальной моделиa₁, a₂, b₁, b₂(поскольку их четыре).

9.1. Проблема идентификации одновременных уравнений

Тем самым мы подошли к проблеме идентификации - оценке параметров структурной формы модели (в чем, собственно, и состо­ит наша задача) по параметрам приведенной формы. Параметры приведенной формы могут быть оценены обычным МНК, но по ним далеко не всегда может быть идентифицирована исходная мо­дель (как, например, в описанном случае модели спроса и предло­жения).

Для того чтобы структурная форма модели могла быть иден­тифицирована, вводят дополнительные предпосылки (например, о равенстве некоторых коэффициентов нулю или об их взаимосвязи между собой). Часто уже на этапе построения модели стараются выбрать такую ее форму, которая была бы идентифицируема. Та­кой, например, является треугольная форма модели:

,

где х -вектор объясняющих переменных,y_i-i-я зависимая пере­менная. Нежелательна и сверхидентифицируемость модели, когда для параметров структурной формы получается слишком много соотношений из приведенной формы модели. В этом случае модель также нуждается в уточнении.

Можем ли мы применить технические приемы, развитые для оценивания одного уравнения каждому из соотношений последовательно? Или же должны существовать различные приемы для оценивания отдельного уравнения и системы в целом? Чтобы ввести читателя в круг проблем, рассматриваемых в последующих параграфах, мы обратимся вначале к простой дели, состоящей из двух уравнений.

Эта модель содержит функцию спроса

(9. 0)

и тождество, определяющее доход,

Y_t=C_t+Z_t (9. 0)

В ней переменные расшифровываются следующим образом:

С —потребительские расходы;

Y —доход;

Z— непотребительские расходы;

и —стохастическое возмущение;

t —период времени.

В этой модели, состоящей из двух уравнений, предполагается, что пе­ременная Zпринимает множество значений, определяемых вне модели. Например, значениеZможет определяться руководителями общества каким-либо способом, не зависящим отСиY. Мы будем счи­татьСиYэндогеннымипеременными, т. е. переменными, значения которых определяются в результате одновременного взаимодействия образующих модель соотношений, аZ —экзогеннойпеременной, значение которой определяется вне модели.

В качестве альтернативы мы можем считать, что на непотребительские расходы Zвлияют, скажем, последние изменения в уровне дохода и норма процентаr.Это позволяет расширить модель, включив в нее третье уравнение

Z_t=(Y_t-1-Y_t-2)+r_t+v_t

Если r_tрассматривать в качестве экзогенной переменной, то мы приходим к модели, состоящей из трех уравнений с тремя эндогенными переменнымиС,YиZ. В общем случае в модели необходимо специфицировать столько уравнений, сколько в ней имеется эндогенных переменных. Вместе с тем деление переменных на экзогенные и эндогенные относительно, оно зависит от природы и размеров изучаемой системы, а также от цели, с которой эта модель строится.

Чтобы упростить статистические выводы, мы вернемся к модели из двух уравнений (9.1) и (9.2) и будем считать Zэкзогенной переменной. Пусть возмущающее воздействиеиудовлетворяет следующим свойствам:

(9. 0а)

(9. 3б)

Zии независимы. (9. 3в)

Последнее свойство удовлетворяется как для переменной Z, принимающей множество фиксированных значений, так и для переменнойZ, принимающей произвольные значения, распределенные случайным и независимым отиобразом.

Если наша задача состоит в получении «хороших» оценок параметров потребительской функции (9.1), то мы можем прежде всего рассмотреть результаты применения метода наименьших квадратов к урав­нению (9.1). Предположения (9.За) и (9.36) означают отсутствие как гетероскедастичности, так и автокорреляции. Поэтому для обоснования применения обыкновенного метода наименьших квадратов остается только решить вопрос о независимости между ииY. Подставим (9.1) в (9.2) и получим

т. е.

и поэтому в общем случае Y_tиспытывает воздействие со стороныu_t, так как

,

.

Таким образом, входящие в уравнение возмущающее воздействие u_tи объясняющая переменная оказываются коррелированными, а значит,

Утверждение: Непосредственное при­менение к (9.1) метода наименьших квадратов приведет к смещенным оценкам параметров  и .

NB: Это смещение возникает в случае конечных выборок, однако оценки, найденные обычным методом наименьших квадратов,будут к тому же и несостоятельными, т. е. смещение сох­ранится и для бесконечно больших выборок.

Доказательство:

Введем в рассмотрение моменты второго порядка:

Тогда оценки наименьших квадратов параметров иуравнения (9.1), см. модуль 4, можно записать в виде:

и

Решая систему двух уравнений (9.1) и (9.2) относительно эндогенных переменных, получим

(9. 0)

(9. 0)

Усредним эти уравнения по выборочным наблюдениям и найдем отклонения от средних:

так что

что дает нам

.

В силу принятых гипотез при nимеемm_Zu 0,m_uu ². Дополнительно положим, чтоm_zzстремится к некоторой константе . Тогдапредел по вероятности

До тех пор пока < 1, второй член в правой части этого выражения будет равен единице. Поэтому

т. е. оценка наименьших квадратов коэффициента наклона линии регрессии смещена вверх и это смещение не может быть сглажено увеличением объема выборки.