Лабораторная работа №2.3. Построение гистограммы распределения непрерывной случайной величины

Для выполнения данной работы потребуется выборка, характеризующая случайную величину – цены на коттеджи в Подмосковье. Эти данные содержатся в файле LAB1.xls.

Необходимо построить гистограмму распределения цен. Для этого используем средство Сервис \ Анализ данных \ Гистограмма.

Выполнение

Скопируйте файл в свой рабочий каталог.

Предварительно определим размах выборки, ее максимальное и минимальное значение. Для этого, начиная с клетки D1, создайте таблицу по образцу.

Таблица 2.5.

Анализ непрерывной случайной величины
Максимальное значение	= МАКС(B2:B51)
Минимальное значение	= МИН(B2:B51)
Размах выборки	= E2-E3

Чтобы ввести формулы в ячейки E2 иE3, воспользуйтесь командойВставка\ФункцияРазделСтатистические. Адреса клеток вводят латинскими буквами, либо указывают требуемый диапазон с помощью мыши. В ячейках с формулами отобразятся результаты вычислений.

Выберем количество интервалов 6. Для подсчета частоты, с которой значения попадают в тот или иной интервал, зададим их верхние границы в диапазоне H2:H8:

Верхняя граница интервала

=E3

=H3+$E$4/5

=H4+$E$4/5

=H5+$E$4/5

=H6+$E$4/5

=H7+$E$4/5

Теперь введите данные в окно Сервис \ Анализ данных \ Гистограммапо образцу.

После нажатия кнопки ОК на новой странице появится таблица абсолютных и интегральных частот, а также их график. На нем сплошной линией будет отображена кривая интегральных частот, ведущая себя также как функция распределения, а столбчатая гистограмма отображает распределение абсолютных частот.

2.4 Основные характеристики случайных величин ("статистики")

Для любой случайной величины важную роль, помимо функции распределения, играют числовые характеристики ее распределения, важнейшими из которых являются среднее значение (математичес­кое ожидание случайной величины) и дисперсия. Среднее значение - это характеристика центра группирования значений исследуемого признака, а дисперсия - мерой ширины или разброса распределения. Различают арифметическое, геометрическое, гармоническое средние значения, а также моду и медиану.

Во многих практических случаях информация о случайных переменных, со­держащаяся в частотном распределении является избыточной. На­пример, для принятия решения о покупке акций важно, в первую очередь, знать средний доход на них и риск инвестирования в них денег, характеризуемый степенью разброса среднего дохода (дис­персией).

2.4.1. Среднее (арифметическое) значение. Математическое ожидание

Пример 2.4

Пусть имеется, например, выборка объемов продаж холодильни­ковза 10 дней:{х_k} ={1,5,5,6,2,5,6,2,6,5}. Среднее значение объема продаж за один день для этой выборки мы получим, если сложим все выборочные данные и разделим сумму на их число:

=(1+5+5+6+2+5+6+2+6+5)/10 = 4,3

Если мы посмотрим на сумму в правой части равенства, то заметим, что многие числав нейповторяются. При этом число повторений, деленное на общее число данных в выборке, является ни чем иным, как частотой появления соответствующих значений в выборке. Среднее значение:

= = 0,1 + 0,4 + 2,0 + 1,8 = 4,3

здесь суммирование ведется по всем различным значениям случай­ной величины X,встречающимся в выборке (в данном примере{x_k} = {1,2,5,6}), а в роли весов выступают частоты этих значений{_k} = {0,1; 0,2; 0,4; 0,3} (видно, что сумма весов равна единице).

Среднее значение можно определить так:

,

где суммирование ведется по всем различным значениям случай­ной величины X,встречающимся в выборке, а в роли весов выступают частоты этих значений (при­чем сумма весов равна единице).

В пределе достаточно большого числа наблюдений Nчастоты_kзначенийх_kпереходят в соответствующие вероятности , и дискретная случайная величинаXможет быть пред­ставлена в виде таблицы значений {х_k}, которые может принимать случайная величина, и соответствующих им вероятностей :

Х	X1	X2	…	Xn
Р	Р1	Р2	…	Рnи

Математическое ожидание или среднее (по генеральной сово­купности) значение такой случайной величины определяется как взвешенная сумма всех возможных реализации случайной величи­ны X, в роли весов в которой выступают вероятности этих реализа­ций, причем сумма весов равна единице:

M[X] = x₁Р₁ + x₂Р₂, + ... + x_nР_n =  x_kР_k

Это - числовая характеристика (а не функция, на что указывают квадратные скобки) случайной величины X,что означает, что она соответствует всей величинеX,а не различным конкретным ее значениям.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется следующим образом:

Свойства математического ожидания:

М[с] = с;

М[Х+b] = М[Х] + b

М[аХ] = аМ[Х]

М[аХ+b] = аМ[Х] + b, -для любых чисел (констант)a,bиc.

Эти свойства вытекают из определения математического ожидания. Если Х и Y -случайные величины, то можно определить новые случайные величины(Х+ Y), (Х- Y), (X Y), X/Y, рассчитав вероятности принятия ими конкретных значений(х+у), {х-у), (х-у)иx/y.

Для любых случайных величин Х и Y М[Х+Y]= М[Х]+ М[Y].

Математическое ожидание (ожидаемое, или среднее, значение) часто рассчитывается при сравнении затрат и выгод действия со случайным исходом, например ожидаемого выигрыша в лотерее или ожидаемого дохода на акции или другие рисковые ценные бумаги.

Выборка может рассматриваться как дискретная случайная вели­чина, принимающая значения х₁, х₂..., х_nс вероятностями(если некоторые значения х_jсовпадают, то для расчета выборочного среднего и других характеристик они могут условно рассматриваться как разные, что не меняет результата), то естьдля всех1 k  n. Обозначая выборочное среднее какm_n ,имеем

Нижний индекс ппоказывает объем выборки, для которой вычисляются выборочные характеристики.

Для разных конкретных выборок, соответствующих одной и той же генеральной совокупности, выборочные средние будут, вообще говоря, различны.