Uchebnik3_3

Нахождение уравнения нормали.

В нашем случае на плоскости нормаль - это прямая, перпендикулярная касательной, проведенной в конкретной точке (к графику функции).

На нашем рисунке пунктирные линии - это две касательные к графику функции y = x2 в точках A(1,1) и B( − 2,4). Перпендикулярные прямые (сплошные линии) - это и есть нормали в этих же точках.

Как найти уравнение касательной - уже понятно, а как найти уравнение нормали?

Существует формула:

y = − 1k x + b,

где k = f ′(!x0), как и в случае с уравнением касательной (значение производной в точке графика, через которую мы и хотим провести нормаль).

Справедливость этой формулы легко показать (хотя, конечно, большинству читателей она и так очевидна, тем не менее, автору представляется полезным следующее упражнение).

70

Как и в случае касательной, главное - это найти коэффициент при x , в нашем

1

случае это − k . Потом мы подставим интересующую нас точку в уравнение прямой (точно так, как мы это делали при поиске уравнения касательной), и найдем b .

1

Следует лишь понять, почему наклон у нашей прямой будет именно − k .

Справедливость вышеупомянутой формулы прямо следует из условия перпендикулярности касательной и нормали.

Итак, пусть у нас есть прямая y = kx + l (пусть вместо b у нас будет l, это ничего не меняет). Очевидно, направляющий вектор этой прямой - v1 = (1k). В этом можно

убедиться как с помощью рисунка, так и с помощью первого раздела этого пособия

Аналогично, направляющий вектор - v2 = (m). Пока что вместо − k мы написали

m , потому что нам только предстоит убедиться в справедливости утверждения m = − 1k .

Нам известно, что касательная и нормаль перпендикулярны, следовательно,

перпендикулярны и их направляющие вектора, следовательно, их скалярное произведение должно быть равно нулю! Запишем скалярное произведение наших

векторов: v1v2 = 1 + mk = 0. Рассмотрим правую часть этого двойного равенства:

1 1 + mk = 0. «Перебросив» единицу вправо и разделив на k, получаем m = − k .

Следует лишь добавить, что свободные коэффициенты b касательной и нормали не равны (вспомним, что b - точка пересечения с OY)! Так что наши прямые отличаются друг от друга не только наклоном.

Получается, схема для нахождения уравнения нормали такая же, как и для касательной: найти k (то есть - f ′(!x0)), подставить найденное значение k в формулу (вместе с интересующей нас точкой), и найти b.

71

Важные дополнения.

] Если касательная в точке горизонтальна (то есть f ′(!x0) = 0), то нормаль будет,

очевидно, вертикальна, и записать мы ее сможем в виде x = a. И, наоборот, если касательная - вертикальна, то нормаль - горизонтальна, и теперь мы ее сможем записать в виде y = c.

Если касательной не существует (то есть производная не определена), то и нормали тоже нет. Например, всем известно, что в точке x = 0 у функции y = x

производной не существует. Здесь посмотрим на график:

Действительно, как провести касательную в нуле? Никак, ведь, чтобы мы могли записать уравнение, нам нужно знать значение производной, а его просто нет.

Очевидно, нормаль мы тоже изобразить не сможем.

Задачи на эту тему будут рассмотрены в конце блока.

72

Исследование функции и построение графика.

Существует множество различных схем для проведения исследования функции.

При этом ни одну из них нельзя назвать универсальной: все зависит от конкретной функции, которую Вы хотите исследовать.

Так, иногда бывает полезным проверить функцию на четность/нечетность, но иногда сразу видно, что данная функция - общего вида, и расписывать отдельно,

почему это так, может быть необходимо только при соответствующем требовании семинариста. Или, например, вторая производная: в некоторых случаях нахождение второй производной может быть занятием совершенно бесполезным (но при этом долгим). Однако, возможно, Вашему семинаристу необходимо знать,

умеете ли Вы интерпретировать знак второй производной, и Вы должны включить этот пункт в Ваше исследование.

Ориентируясь на эти замечания, попробуем сформулировать наиболее общие и простые шаги исследования функции. Условимся, что функция задана явно.

Основные шаги исследования:

•Найти область определения данной функции.

•Найти точки пересечения с осями.

•Найти асимптоты.

•Найти производную. С помощью производной найти точки минимума и максимума, определить промежутки возрастания/убывания.

Часто этих четырех пунктов вполне достаточно, чтобы нарисовать график.

Конечно, как было указано выше, бывает полезным включать в исследование различные дополнительные стадии (четность/нечетность, периодичность, вторая производная и другие) но это не всегда необходимо.

Исследование функции - школьное упражнение, и единственной новой задачей для читателя может стать нахождение асимптот.

73

Асимптоты.

Что такое асимптота? Асимптота - это прямая, к которой стремится график функции. Он приближается к ней бесконечно близко, пытается слиться с ней в одну линию, и все же пересекает ее.

1

Рассмотрим простейший случай: y = x . Как всегда, посмотрим на график.

стремится к этим прямым, но никогда их не пересекает. Конечно, не для всех функций существует хоть какая-нибудь асимптота: простейший пример - y = x2.

Асимптоты обычно подразделяют на два типа: вертикальные и наклонные.

Вертикальные можно записать в виде x = a, наклонные - в виде y = kx + b.

Сначала разберемся с вертикальными. Итак, что необходимо для существования вертикальной асимптоты? Если мы предполагаем, что x = a - вертикальная асимптота для f (x), то график функции f (x) не должен пересекать x = a, то есть в

точке x = a функция f (x) не должна существовать. Однако, это не единственное требование.

74

выражение. Мы это можем сделать во всех случаях, кроме одного: x − 4 = 0 (ведь на ноль нам делить все еще нельзя). Итак, если x − 4 = 0, то есть, если x = 4, то функция не существует, а при любом другом значении х получаем f (x) = lnx.

Тогда наш график - это просто график f (x) = lnx с выколотой точкой:

Можно ли утверждать, что прямая x = 4 - асимптота? Конечно, нет, ведь график

Отсюда необходимое условие: limf (x) = ∞. То есть, при х, стремящемся к а, наш

x→a

график должен «уходить» либо в плюс, либо в минус бесконечность. В случае с

оба односторонних предела lim f (x) и lim f (x). Заметим при этом, что если хотя

бы один из этих пределов равен бесконечности, то прямую x = a уже можно

считать асимптотой. Почему же тогда важно вычислить оба предела?

75

Проще всего показать с помощью графиков:

x = 0 по зеленой линии слева, то мы «уйдем» в двигаться по синей линии к x = 0, мы «уйдем»

Таким образом, очень важно найти предел и справа, и слева: от этого, как видно на рисунках выше, сильно зависит итоговый график функции.

Быстро прокомментируем нахождение наклонных асимптот. Итак, мы ищем

y = kx + b, то есть - конкретные значения k и b. Для этого существуют формулы: f (xx) и b = xlim→∞ (f (x) − kx).

Легко понять, что формула для k показывает, как быстро f (x) растет при x → ∞ по сравнению с y = x. Если этот предел равен бесконечности, то, конечно, асимптоты не существует. В то же время формула для b показывает, к чему стремится расстояние между графиком f (x) и прямой y = kx (очевидно, сначала нужно найти k,

а потом уже искать b).

76

Ясно, что нужно искать указанные пределы отдельно для x → + ∞ и для x → − ∞,

ведь асимптоты при x → + ∞ и x → − ∞ могут быть различны (или может существовать только одна из них, например, в случае y = ex).

Задачи.

(А) Вычислите приближенно (с помощью дифференциала) значение функции

2

y = (13 + 2x)3 в точке x = 7,09.

Решение: в качестве удобной точки выберем x = 7. Тогда понятно, что x = 0,09.

Кроме этого, нужно вычислить значение в удобной точке: f (7) = 9.

Вспомним формулу: f (x1) ≈ f (x0) + f ′(!x0) x . В роли x1 у нас выступает точка

x = 7,09, в роли x0 - удобная точка x = 7. Осталось найти производную в точке x = 7.

Ответ: 9,04.

(С) 3.83. Используя понятие дифференциала функции, вычислите приближенно

(1,015)5 .

Решение: для начала необходимо понять: с какой функцией мы имеем дело? С

функцией «возведение в пятую степень» , ее можно записать как y = x5 . Теперь задача превратилась в стандартную: выбираем удобную точку, вычисляем

производную и так далее.

y(1,015) ≈ y(1) + y′(1)! 0,015 = 1 + 5 0,015 = 1,075.

Ответ: 1,075.

77

(МИЭФ) The volume V of a cubic crystal is 9mm3. Use di erentials to approximate the surface area S of the crystal.

Ответ: 26  mm2.

(A) Имеется круг с радиусом 10см. Радиус увеличили на 2см. Найдите

приближенно (с помощью дифференциала), насколько увеличилась площадь круга.

Затем вычислите точное значение приращения и найдите ошибку вычисления с помощью дифференциала.

Решение: требуется найти приращение функции площади, поэтому полезно для

На самом деле, dS можно представлять себе как площадь прямоугольника со сторонами 2πr и r. Точное приращение можно посчитать, если из площади нового круга вычесть площадь старого круга: S = 144π − 100π = 44π . Естественно, это - площадь кольца.

На следующей странице приведен соответствующий рисунок.

78

На рисунке персиковым цветом изображен начальный круг (пропорции нарушены для наглядности, это не страшно). Синяя окружность ограничивает получившийся новый круг. Кольцо с зеленым узором между «старой» и «новой» окружностью - это реальное приращение площади, а полоска с красным узором, изображенная ниже - то, что мы получили с помощью дифференциала. Понятно, что эта полоска меньше реального приращения: если ее попытаться «обтянуть» вокруг персиковой окружности (заметим, что и у полоски, и у окружности длина составляет 2πr), то она «порвется» по внешним краям. Этот эксперимент можно проделать с бумагой в домашних условиях. Из наших вычислений, ошибка составила 4π.

Ответ: приближенное приращение - 40π, реальное - 44π, ошибка - 4π.

79