Uchebnik3_3

Короткий К.Б.

Спецкурс по началам линейной алгебры и математического анализа.

Внимание! Данная версия является промежуточной.

Москва

2013

Предисловие Данное пособие может быть использовано для первого ознакомления с линейной алгеброй и математическим

анализом в качестве дополнительной литературы.

Основной причиной написания этой работы является крайне слабая математическая подготовка студентов факультетов социально-экономической направленности. В пособии Вы почти не найдете строгой теории, для этого можно открыть уже существующие учебники или статьи в Википедии.

Здесь приведены объяснения, в основном, на частных случаях, объяснения на пальцах, которые в полной мере могут быть осознаны даже на основе самых слабых школьных знаний математики. По сути,

большая часть изложенного ниже материала и не выходит за рамки хорошей школьной программы.

Более того, те элементы, которые определенно относятся к университетской программе, изучаются на многих факультетах крайне поверхностно. Сочетание поверхностного подхода в изучении и изначальных скудных знаний возвращает в итоге практически полное непонимание материала.

Часто бывает, что даже старательный студент просто выучивает наизусть алгоритмы выполнения типовых заданий, и с этим отправляется на экзамен. Можно наблюдать довольно печальную картину: учащийся бездумно вызубривает решение одной тривиальной задачи, но применить эти знания для решения мало-

i

мальски иной тривиальной задачи он уже не в состоянии. Впрочем, другой студент не делает и этого. Те же, кто лучше остальных вызубривают алгоритм, прослывают чуть ли не гениями математики, и под восхищенными взглядами своих более ленивых товарищей применяют полученные «знания» в прикладных исследованиях.

Исследованиях, в которых задействованные математические инструменты либо вовсе не соответствуют наблюдаемой действительности, либо используются просто некорректно: так, некоторые умудряются считать среднее значение бинарного признака и как-то этот процесс интерпретировать, а другим модель,

объясняющая 2 − 3 процента вариации, кажется вполне адекватной (множественный коэффициент корреляции менее 0.2 при условии линейности).

При этом нет необходимости приводить имена и ссылки, так как подобные случае не единичны, а имеют, несомненно, массовый характер.

Таким образом, тотальное математическое незнание усугубляется с каждым годом,

и те учебники, которые вчера назывались элементарными, сегодня многим видятся неприступными вершинами высшей математики. В этом контексте вопрос об определении математики как части современной мировой культуры теряет свое значение.

Такие печальные рассуждения приводят нас непосредственно к цели создания этого пособия: объяснить материал в такой форме, чтобы читатель понимал всю логику решения, а не справедливость какой-то из его частей (разве не только так можно дойти до самостоятельных рассуждений и самостоятельных решений?). Для достижения такой цели автор иногда, возможно, излишне упрощает некоторые формулировки, за что он просит прощения у просвещенного читателя. В

изложении автор часто, задав вопрос «почему? » , раскладывает пример до уровня средней школы, стремясь показать читателю реальную простоту приведенных упражнений. Если читатель тоже станет иногда задавать самому себе вопросы

«зачем? » и «почему? » , то, возможно, он избавит себя от необходимости часами искать арифметические ошибки (когда дело может быть совершенно не в вычислениях) или заучивать решения типовых задач.

К сожалению, автор не может наверняка знать о том, что использованные средства соответствуют цели. Остается лишь надеяться, что эта небольшая работа внесет свою лепту в решение глобальной задачи.

ii

Структура

Пособие, будучи ориентированным на наглядность, включает в себя большое количество изображений, в том числе интерактивных. Кроме этого, в работу были включены интерактивные упражнения и тесты, подсказки, 3 d-объекты.

Интерактивные элементы работают под управлением операционных систем Apple

в программе i B o o k s . Если Вы читаете бумажную или P D F-версию, Вы можете использовать файлы из блока «Дополнительное».

Все элементы выполнены автором самостоятельно и являются его интеллектуальной собственностью. Копирование текста и объектов (и тем более - плагиат) без ведома автора является нарушением авторского права.

Пособие создавалось для студентов НИУ ВШЭ (факультеты Социологии,

Экономики, Менеджмента, ГМУ, МИЭФ, Политологии). Поэтому задачи были подобраны соответствующим образом: запись (С) перед задачей означает, что она

Международного института экономики и финансов (из экзаменов и домашних работ), (Э) - задачи студентов факультета Экономики (тоже из экзаменов и домашних работ).

iii

4

угла между ними равен 0), то их скалярное произведение равно 0.

В дальнейшем, при поиске всевозможных углов между плоскостями и прямыми,

мы будем использовать формулу с косинусом. Это наша единственная формула, в

составе которой есть косинус угла, поэтому любой угол в задачах должен быть представлен в решении как угол между некоторыми векторами (нормалями,

направляющими итд).

Отметим, что угол между векторами может принимать значения от 0 до 1 8 0

градусов включительно, так как этот угол - угол между направлениями. В то же время, угол между прямыми или плоскостями может лежать в диапазоне от 0 до 90

градусов.

Рассмотрим ситуацию: мы знаем угол между нормалями двух плоскостей. Как найти угол между плоскостями? На рисунке справа две длинные наклонные линии - две плоскости, между которыми мы

хотим найти угол, вид сбоку. Искомый угол - угол β. При этом для левой плоскости вектор нормали - это вектор EF,

Тогда ясно, что α + β = 1 8 0 . Учитывая, что 0 ≤ β ≤ 90 , легко понять, что cosβ = cosα для любых двух плоскостей. Поэтому,

если нам известен косинус угла между нормалями плоскостей,

взяв его модуль, мы получим косинус угла между самими плоскостями.

Уравнения прямой и плоскости.

Сразу же заметим, что в рамках нашего курса математики нам понадобится обычное трехмерное евклидово пространство, поэтому все формулы будут упрощены именно для этого случая.

5

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C, D - числа. При

A

этом вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости) n = (CB). Чтобы

проверить, лежит ли некоторая точка на данной плоскости, нужно подставить координаты точки в уравнение плоскости. Точка лежит на плоскости только тогда,

когда мы получаем верное равенство при такой подстановке. То же самое касается и уравнения прямой.

Кроме этого, бывает полезно составить уравнение плоскости, если мы знаем

Подставив сюда наши координаты, раскрыв скобки, получим уравнение плоскости.

повторяется: чтобы составить уравнение прямой, нам надо «знать» любую точку

A

q = (CB), тоже лежащий на этой прямой.

Обратим внимание на то, что в случае с плоскостью нам нужен перпендикулярный вектор, в случае с прямой - параллельный (любой вектор, параллельный нашей прямой, мы можем сдвинуть на нашу прямую, тогда он будет лежать на ней).

Параметрический вид задания прямой здесь разобран не будет, так как в таком виде прямые в зачетах и контрольных нашего курса не встречаются.

Задачи.

2.10. Найдите угол между плоскостями: x + 2y − 2z − 8 = 0 и x + y − 17 = 0.

Решение: вспомним наши рассуждения об углах в целом и об углах между нормалями плоскостей - в частности.

6

подставляя ее координаты в уравнение плоскости α, мы должны получить верное равенство: 3A − B − 5C + D = 0. Заметим, что полученные три выражения не являются уравнениями чего-либо: это лишь верные равенства, а A, B,C и D - всего лишь числа, которые мы должны найти из этих равенств. Получаем систему:

уравнение, получим C = − 2B. Подставим такое C обратно в (*): A = 2B.

Тогда в третье уравнение подставим A = 2B и C = − 2B. Получим D = − 15B. Теперь вспомним, что мы хотим записать уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Мы

7

можем записать все переменные через B: 2Bx + By − 2Bz − 15B = 0. Сокращаем на В и получаем то, что искали: 2x + y − 2z − 15 = 0.

Ответ: 2x + y − 2z − 15 = 0.

2.5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку M(0;5;6).

Решение: пусть наша искомая плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0. Тогда мы

должны найти A, B,C и D. Заметим, что, раз наша плоскость проходит через ось Ох, то на ней лежит и точка O(0;0;0). Подставляя эти координаты в наше уравнение,

получим D = 0. То есть, уравнение нашей плоскости принимает вид:

Ax + By + Cz = 0.

Но ясно, что раз плоскость проходит через ось Ох, то это должно давать нечто

большее, чем просто «прохождение» через начало координат. Попробуем «подставить» в уравнение плоскости точку L(5;0;0). Ясно, что эта точка лежит на

оси ОХ, значит, лежит и на нашей плоскости, то есть у нас должно получиться верное равенство. Итак, получим: 5A = 0, откуда A = 0. Наше исходное уравнение стало еще проще, так как еще одно слагаемое «занулилось»: By + Cz = 0. Подставим

сюда координаты нашей точки M(0;5;6) из условия: 5B + 6C = 0. Выразим B = − 65C

6

и подставим такое В наше уравнение By + Cz = 0: − 5Cy + Cz = 0. Сократим С (и сразу же домножим на -5): 6y − 5z = 0.

Ответ: 6y − 5z = 0.

8

9