Uchebnik3_3

Эту формулу запомнить довольно просто, развернутое объяснение спрашивается

не всеми семинаристами. Запомнив эту формулу, вы сможете моментально находить обратную матрицу для любой матрицы 2 × 2 при решении матричного

уравнения. Вероятность того, что будет необходимо найти обратную матрицу для какой-то другой матрицы (не 2 × 2) крайне мала.

Задачи.

−2 3

3.27д. Решите матричное уравнение: X(−13 −52) = (−45 −21).

Решение: ясно, что нам нужно домножить наше уравнение на матрицу, обратную матрице (−13 −52). Выпишем такую матрицу (допустим, что мы не ученики Котовой, и можем сразу смело применять формулу для матрицы 2 × 2).

20

3.11г. Исследуйте систему векторов на линейную зависимость или независимость: a1 = (1;2;3), a2 = (2; − 1;1), a3 = (1;3;4).

Решение: как мы знаем из предыдущей главы, система векторов линейно

зависима, если один вектор можно представить через другие. Раньше мы

занимались тем, что пытались найти такое представление, а если не находили, то

говорили, что наша система линейно независима.

Теперь наша задача гораздо проще: оказывается, если система векторов линейно

зависима, то определитель соответствующей матрицы равен нулю.

Заметим, что такой способ определения линейной зависимости гораздо проще

предыдущих!

Ответ: линейно зависима.

21

22

Расширенная матрица - основная матрица (матрица коэффициентов) с

дописанным к ней через черту столбцом свободных членов. В рассмотренном

(1 −1 2 2)

выше примере расширенной матрицей будет: 3 −3 7 9 .

Система линейных уравнений называется совместной, если у нее имеется хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.

Теорема Кронекера-Капелли: ранг основной матрицы равен рангу

расширенной матрицы тогда и только тогда, когда система является совместной.

Если rangA = rangB = n , где А и В - основная и расширенная матрицы соответственно, а n - количество переменных в системе, то у системы имеется единственное решение.

Если же rangA = rangB n , то решений бесконечно много, и в этом случае появляются свободные и базисные переменные.

Метод Гаусса - метод решения систем линейных уравнений:

Шаг1: выписать расширенную матрицу.

Шаг2: привести ее к треугольному виду.

Шаг 3 : последовательно выражать переменные, преобразовывая строчки полученной матрицы обратно в уравнения. Начинать с последней строчки. В

случае rangA = rangB = n получим значения для каждой переменной и наше единственной решение. В случае, если rangA = rangB n, необходимо обозначить свободные и базисные переменные. Для того, чтобы определить, какие переменные свободные, а какие базисные, предлагается в уме провести черту,

отделяющую все нули в нашей матрице треугольного вида (черту, отделяющую левый нижний угол). Получается линия ступенчатого вида. Все те числа, которые будут стоять непосредственно у стенок получившихся ступенек, отвечают базисным переменным, остальные - свободным.

Шаг 4 (случай rangA = rangB n ): выразить все переменные через свободные,

обозначив свободные переменные как параметры.

23

Рассмотрим применение метода Гаусса на примерах:

Решение: будем действовать по методу Гаусса (собственно, других методов в рамках этого курса и не будет).

виду: для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на 3. Получим:

(количество ненулевых строк) - 2 . То есть, мы вынуждены ввести свободные и базисные переменные. Проведем вышеупомянутую линию:

На картинке видим: 1 в первом столбце стоит рядом со стенкой, значит,

отвечающая этому столбику переменная x1 - базисная. -1 во втором столбике у стенки не стоит, следовательно, x2 - свободная переменная. 1 в третьем столбце стоит около «стенки», поэтому x3 - базисная переменная.

Теперь начинаем преобразовывать нашу матрицу обратно в уравнения, начиная с последней строки: x3 = 3. Перепишем первую строку как уравнение:

x1 − 1 t + 2x3 = 2. Подставим в это уравнение x3 = 3: x1 − t + 6 = 2. Отсюда x1 = t − 4.

24

как и ожидалось, мы получили бесконечное количество решений: подставляя

различные t из полученной формулы получим именно такие значения переменных,

которые будут удовлетворять изначальной системе уравнений. При этом столбик

−4

( 03 )называют частным решением системы.

25

26

x

Возьмем какой-нибудь вектор n = (yz). Заметим, что если мы умножим нашу

матрицу А на вектор n, то получим опять вектор, назовем его n1. Запишем его:

Прокомментируем последний шаг: когда мы задумывали матрицу А и вектор n, мы договорились, что как все элементы матрицы, так и все координаты вектора - совершенно конкретные числа. Поэтому их суммы и произведения - тоже числа, и

каждая строчка получившейся после умножения матрицы - это всего лишь одно

число, поэтому мы можем договориться, что первое из этих чисел назовем m ,

второе - n, и третье - q.

Мы снова получили вектор-столбец, в чем мы и хотели убедиться.

Таким образом, мы могли бы взять какой-нибудь другой вектор , а не обязательно вектор n . И в итоге матрица А перевела бы его опять в вектор, как мы в этом убедились. На самом деле, лучше говорить « оператор», а не «матрица», когда речь идет о таком преобразовании векторов. Класс таких операторов называют линейным (так как он «сохраняет» сумму, но это уже необязательные подробности),

кроме этого, часто говорят « линейное преобразование». Действительно, вектор n был преобразован в вектор n1.

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать определение собственных векторов и чисел преобразования (матрицы).

Собственным вектором матрицы А называется тот вектор n , который после

То, что получившийся вектор n1 коллинеарен исходному вектору n, означает, что существует такое число λ, умножив на которое исходный n мы получим n1. Такое число λ называется собственным числом преобразования А, соответствующим вектору n. Разберемся с этой терминологией на примере.

27

Рассмотрим матрицу A = (10 02). Что получится, если преобразовать с помощью А

каждый вектор, лежащий на плоскости? Имеется в виду самая обычная плоскость с прямоугольной декартовой системой координат; та, на которой в школе все рисовали графики прямых, парабол и так далее. Оказывается, наша плоскость растянется вдоль оси ОY в два раза.

Для ясности покажем действие такого преобразования на картинке.

преобразования. Пусть на ней живут несколько векторов. Наше утверждение заключается в том, что плоскость растянется, то есть, любой вектор не изменит своей координаты ] по оси ОХ, но по оси ОY координаты всех векторов «вырастут» в два раза.

после «действия» матрицы А на нашу плоскость. Видно, что вектора растянулись вдоль оси OY.

Вспомним, что же такое собственные вектора? Это те вектора, которые перешли в параллельные. Легко заметить, что на нашем рисунке есть только один такой вектор, он подсвечен оранжевым цветом. Действительно, с

этим вектором не случилось вообще

28

ничего! То есть, собственное число, соответствующее этому собственному вектору - это 1. Ведь его нужно умножить на единицу, чтобы получить вектор, появившийся после преобразования.

____________________________

Для интересующегося читателя:

На самом деле, преобразование было совершено не совсем над векторами, и не сделать это замечание было бы слишком неправильно.

В нашем примере растягиваются не сами вектора, а плоскость. Можно представлять, что плоскость сделана из резины, и у нас есть возможность взяться за нее сверху и снизу и растянуть вдоль ОУ.

Преобразование А плоскости называется линейным, если для любой точки на

«новой» плоскости ее «новые» координаты (x *, y * )могут быть записаны через

«старые» (x, y):

{x = a1x + b1y + c1 y = a2x + b2y + c2

При этом, естественно, коэффициенты в этой системе должны оставаться постоянными для любой точки. Очевидно, линейное преобразование характеризуется равномерными растяжениями, поворотами, смещениями и масштабированием.

В нашем преобразовании координата х не изменялась, а у просто увеличивалась в два раза, поэтому в данном частном случае система имеет вид:

{x = x y = 2y

И уже отсюда можно показать, что векторы тоже «растянутся» в два раза:

предположим, у нас был вектор a с началом в точке (x1; y1) и концом в точке (x2; y2).

Тогда его координаты в «старой» плоскости: a = (xy22 −− yx11). После преобразования

29