Uchebnik3_3
.pdf
Очевидно, нам подойдет замена |
t = x − 2, то есть |
x = t + 2. Руководствуясь |
||||||||||||||||||
последним, перепишем наш предел через t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim x2 − x − 1 − 1 |
= |
[t = x − 2, t → 0] |
= lim |
(t + 2)2 − (t + 2) − 1 − 1 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||
x→2 |
ln(x − 1) |
|
|
|
t→0 |
|
ln(t + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
t2 |
+ 4 |
t |
+ 4 − |
t |
− 2 − 1 − 1 = lim |
t2 |
+ 3 |
t |
|
1 |
(t2 |
+ 3t) |
= lim |
t |
+ 3 |
= |
3 |
||
|
|
|
|
t |
+ 1 − 1 = lim 2 |
|
t |
|
|
|||||||||||
t→0 |
|
|
|
|
t |
|
t→0 |
|
|
|
t→0 |
|
|
t→0 |
|
2 |
|
2 |
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Правило Лопиталя.
Правило Лопиталя очень просто и помогает решать огромное количество примеров. Чтобы не утомлять читателя теорией, раскроем суть правила на конкретном примере:
2.1з. Вычислите предел: lim |
1 + x − 1 − x . |
x→0 |
x |
Решение: как уже было сказано в начале главы, при нахождении предела всегда полезно подставить значение, к которому стремится х, и посмотреть, сталкиваемся ли мы с какой-то неопределенностью. Если в наш предел подставить вместо икса ноль, то и в числителе, и в знаменателе получим нули, то есть мы имеем дело с
0 |
]. Оказывается, что правило Лопиталя применимо |
|||
неопределенностью вида [0 |
||||
|
0 |
]или же |
∞ |
], в остальных случаях |
исключительно к неопределенностям вида [0 |
[∞ |
|||
его применять нельзя (однако можно пытаться свести пример к неопределенностям таких видов, чтобы применить правило).
Итак, в нашем случае правило Лопиталя должно работать. Само правило заключается в том, что вместо числителя мы можем написать производную числителя, а вместо знаменателя - производную знаменателя (конечно же, при условии, что эти производные существуют, и производная знаменателя не равна
50
нулю). Взять производную при этом от чего-то одного нельзя, если уж мы беремся применять правило, то необходимо взять производную как от числителя, так и от знаменателя. Применим правило к нашему примеру:
lim |
1 + x − 1 − x |
= |
0 |
] |
= lim |
( 1 + x − 1 − x)′! |
|
x |
(x)′! |
||||||
x→0 |
|
[0 |
x→0 |
Ответ: 1.
Используем правило еще на одном примере:
2.1е. Вычислите предел: |
lim |
x3 |
+ x2 − x − 1 |
. |
|
|
|
||||
x3 − 3x − 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x3 + x2 − x − 1 |
= |
0 |
|
= lim |
3x2 + 2x − 1 |
= |
0 |
|
||
x3 − 3x − 2 |
[0 |
] |
3x2 − 3 |
|
[0 |
] |
|||||
x→−1 |
|
x→−1 |
|
|
|||||||
1 |
− |
−1 |
21 + 21 |
|
2 1 + x |
2 1 − x = |
= 1 |
||
|
1 |
|
1 |
|
6x + 2 = −6 + 2 = 2. 6x −6 3
(Примечание: в данном примере правило Лопиталя применялось дважды.)
2
Ответ: 3.
Метод домножения на сопряженное.
Два алгебраических выражения будем называть сопряженными, если каждое из них
содержит корни какой-то степени, а их произведение является рациональным
выражением (не содержит корней).
Так, выражения |
a + b и |
a − b являются сопряженными, так как |
( a − b)( a + |
b) = a − b . Собственно, во всех примерах на это правило нас |
|
будет интересовать именно формула x2 − y2 = (x − y)(x + y).
Данный метод хорошо работает, когда у нас есть разность или сумма корней,
дающая неопределенность вида [∞ − ∞]. В таких случаях надо умножить и
разделить на сопряженное выражение. Проверим этот метод на примерах.
51
Задачи.
2.1р. Вычислите предел: |
x→lim+∞ ( x2 + 3x + 1 − |
x2 − 3x − 4). |
|
|
||||
Решение: перед нами - типичный случай: разность корней, неопределенность |
|
|||||||
вида [∞ − ∞]. Тогда домножим и разделим на |
x2 + 3x + 1 + |
x2 − 3x − 4: |
|
|||||
lim |
x2 + 3x + 1 − x2 − 3x − 4 |
) |
= lim |
( x2 + 3x + 1 − x2 − 3x − 4)( |
x2 + 3x + 1 + x2 − 3x − 4) |
= |
||
x→+∞ ( |
|
|
x→+∞ |
|
( x2 + 3x + 1 + x2 − 3x − 4) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
= lim |
x2 |
+ 3x + 1 − x2 + 3x + 4 |
= lim |
6x + 5 |
x2 |
+ 3x + 1 + x2 − 3x − 4 |
. |
||
x→+∞ |
x→+∞ |
x2 + 3x + 1 + x2 − 3x − 4 |
Разделим и числитель, и знаменатель на х:
lim |
|
6x + 5 |
|
= |
|
lim 1 |
6 + 5x |
= |
|
|
|
|
x2 + 3x + 1 + x2 − 3x − 4 |
|
1 |
|
|
|
|||||
x→+∞ |
|
|
x→+∞ x |
x2 + 3x + 1 + x |
x2 − 3x − 1 |
|
|
|
|||
= lim |
|
6 + 5x |
|
|
|
= lim |
6 + 5x |
= |
6 |
= 3. |
|
|
x2 + 3x + 1 + x |
x2 − 3x − 1 |
|
2 |
|
||||||
x→+∞ x |
x→+∞ 1 + 3x + x12 + 1 − 3x − x12 |
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1с. Вычислите предел: |
x→−∞lim ( |
x2 + 4 − |
x2 − 3x + 1). |
|
|
|
|
||||
Решение: домножим на сопряженное. |
|
|
|
|
|
||||||
x→−∞lim ( |
|
x2 + 4 − x2 − 3x + 1) = x→−∞lim |
( x2 + 4 − x2 − 3x + 1)( |
x2 + 4 + x2 − 3x + 1) |
= |
||||||
|
|
|
( x2 + 4 + x2 − 3x + 1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= lim |
x2 |
+ 4 − x2 + 3x − 1 |
= lim |
3x + 3 |
x2 |
+ 4 + x2 − 3x + 1 |
. |
||
x→−∞ |
x→−∞ |
x2 + 4 + x2 − 3x + 1 |
Теперь разделим и числитель, и знаменатель на х:
52
lim |
|
3x + 3 |
|
= |
lim |
1 |
3 + 3x |
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
x→−∞ |
|
x2 + 4 + x2 − 3x + 1 |
x→−∞ |
x |
x2 + 4 + x |
x2 − 3x + 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Но! Обратим наше |
|
Очевидно, мы должны внести |
x под корни в знаменателе. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
внимание на то, что x → − ∞, следовательно, число x - отрицательное. |
||||||||||
Вспомним правила внесения отрицательного числа а под корень: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
= − a2 () |
|
|
|
В самом деле, например, −3 x + 2 = − |
9 (x + 2). |
|
|
|||||||
Поэтому перед корнями в знаменателе останутся минусы: |
|
|
||||||||
lim |
|
3 + 3x |
|
|
= lim |
3 + 3x |
= − |
3 |
||
1 |
1 |
|
|
|
|
. |
||||
|
x2 |
− 3x + 1 |
|
|
|
|
|
2 |
||
x→−∞ |
x |
x2 + 4 + x |
x→−∞ |
4 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
− 1 + x2 |
− 1 − x + x2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: − 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисление с помощью второго замечательного предела.
Идея использования второго замечательного предела очень близка с технической точки зрения к работе с эквивалентностью. В вычислениях используется формула:
xlim→∞ (1 + 1x )x = e.
При этом вместо икса, как и в случае с эквивалентностью, можно подставить любое выражение, которое будет стремится к бесконечности при х, стремящемся к бесконечности. Кроме того, в немного расширенном виде данная формула выглядит так:
xlim→∞ (1 + αx )x = eα.
53
Случаи, когда необходимо использовать второй замечательный предел, различимы сразу: для них характерно выражение вида (1 + g(x))f(x), где функции f и g такие, что весь пример путем простых манипуляций сводится к применению нашей формулы.
|
α |
x |
Воспользуемся формулой |
xlim→∞ (1 + x ) |
= eα для решения 3-го номера зачетной |
работы 2011 года: |
|
|
1
Задача: Вычислите предел: limx→0(1 − 2sin2(x))1 − cos(x) .
Решение: помимо упомянутой выше формулы, задача подразумевает также знание правил эквивалентных замен: в самом деле, x → 0, а в нашем пределе сразу две тригонометрических функции:
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
x2 |
|
|
||
lim(1 − 2sin2(x))1 − cos(x) = lim(1 − 2x2)( 2 |
) = lim(1 − 2x2)x2 . |
|
|
||
x→0 |
x→0 |
|
x→0 |
|
|
Теперь, очевидно, мы пришли к выражению вида |
|
(1 + g(x))f(x) , и нам пора |
|||
использовать второй замечательный предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
x |
|
Легко заметить, что выражение |
уже соответствует формуле xlim→∞ (1 + x ) |
= eα . |
|||
Для тех, кому это не представляется очевидным, рекомендуется замена t = |
1. |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
Мы же ограничимся тем, что скажем, что α = − 2: |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
limx→0(1 − 2x2)x2 = limx→0((1 − 2x2)x2 ) |
|
= (e−2)2 = e−4. |
|
|
|
Ответ: e−4.
54
Функция
одной переменной.
Дифференциал.
В данном разделе будем рассматривать самый простой случай: на плоскости. Будем рассматривать класс функций, значение которых зависит от одной переменной х, запишем их как f (x).
На практике часто бывает, что нужно вычислить значение функции при неудобном для вычислений значении аргумента (икса).
Рассмотрим пример: пусть f (x) = |
1 x3 , и нам нужно |
|
|
3 |
|
вычислить значение функции при |
x = 1,25 . Понятно, |
|
что без калькулятора подставить |
x = 1,25 в формулу |
|
будет тяжело. Однако, есть удобная точка |
x0 = 1, |
|
которая находится близко к интересующей нас точке x1 = 1,25. Удобной мы ее назовем, потому что сразу
можем назвать значение функции f(x) в точке |
x0 = 1: |
|
f (1) = 1 |
. Понятно, что на самом деле в точке |
x = 1,25 |
3 |
|
1 |
|
|
|
55
реальное значение f(x) будет будет больше найденного нами |
f (1) = |
1 |
. На данном |
||||||
этапе полезно будет представить ситуацию графически. |
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
На рисунке справа |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
представлен график функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 1 x3. Увеличим |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интересующий нас участок и |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проведем касательную к |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
графику f(x) в точке x0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
Дифференциал. Интерактивное изображение. |
|
|
|
||||||
|
o( |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциал |
|
||
f(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На нашем рисунке значение f (x1) разбито на три секции (три оранжевые дуги). |
|
Первая, основная секция - это значение функции |
f (x) в удобной для нас точке |
1 x0 = 1: f (1) = 3.
Однако при переходе из точки x0 в точку x1 значение функции увеличилось: в самом |
|||
деле, есть посмотреть на ось OY, видим, что |
f (1,25) почти в два раза больше |
1 |
|
3 |
|||
(значение f (1)). |
|
||
|
|
||
Если от нас требуется найти точное значение |
f (1,25), то нам необходимо добавить |
||
оставшиеся две секции, которые и показывают, насколько в самом деле выросла |
|
||
функция на отрезке от x0 до x1. Рассмотрим эти секции. |
|
||
Как видно, дифференциал «берет на себя» почти все приращение, составляет главную ее часть. Говорят, что дифференциал - это главная линейная часть приращения функции. Линейная - потому что дифференциал находится с помощью линейной функции, то есть - прямой (в нашем случае на плоскости).
Прямой, обозначенной на рисунке оранжевым пунктиром. Эта прямая, как видно - касательная к графику функции f (x) в точке x0 . По факту, дифференциал показывает, насколько выросла при переходе из точки x0 в точку x1 эта касательная.
Если интересующая нас точка x1 находится близко к x0, то дифференциал подойдет нам как мера приблизительного роста f (x). В самом деле, если перетаскивать нашу точку x1 все ближе и ближе к x0 по оси ОХ, то дифференциал (то, насколько
«выросла» прямая) практически не отличается от реального приращения функции.
Полезно заметить, что в процессе этого «перетаскивания» x1 в сторону x0
дифференциал убывает линейно (или же - равномерно), в то время как последняя,
маленькая секция o( x) уменьшается все быстрее и быстрее. На основе этих
рассуждений можно утверждать, что при x → 0 роль o( |
x) становится совсем не |
|
существенной, и реальное приращение функции |
f удобно заменить |
|
дифференциалом (тут и далее |
x = x1 − x0 , то есть расстояние между |
|
интересующей нас точкой и удобной, или же - приращение аргумента). Подробнее разбирать суть последней секции o( x) тут не будем, достаточно запомнить, то при
x → 0 секция o( x) очень быстро приближается к нулю.
57
Как же вычислить дифференциал? На нашем рисунке на странице 52 рассмотрим
MNQ . Ясно, что в нем сторона |
NQ - это и есть искомый дифференциал |
(приращение прямой). |
|
Из школьной программы мы помним, что производная функции f (x) в точке x0 |
|
равна тангенсу угла наклона касательной (к графику функции f (x) в точке x0). Таким |
|||||||
|
|
! |
|
|
|
NQ |
|
образом, f ′(x0) = tgα. Из прямоугольного MNQ: tgα = |
MN . Из этих двух равенств |
||||||
|
|
! |
NQ |
|
|
|
|
вытекает, что f ′(x0) = |
MN . Ясно, что |
MN = |
x . Подставим это в нашу формулу: |
||||
! |
NQ |
|
! |
|
|
|
|
f ′(x0) = |
x |
, откуда NQ = f ′(x0) x . Готово, мы нашли дифференциал. Чтобы его |
|||||
вычислить, мы должны знать приращение аргумента |
x и значение производной |
||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
нашей функции в удобной точке f ′(x0). Будем обозначать дифференциал функции |
|||||||
f (x) как df. Итоговая формула имеет вид: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
! |
x. |
|
|
|
|
|
df = f ′(x0) |
|
|
||
|
|
|
____________________________ |
|
|
||
|
|
|
Для интересующегося читателя: |
|
|||
Вместо x часто пишут dx. Тогда формула принимает вид: |
|
||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
df = f ′(x0)dx, |
|
|
||
|
df |
! |
|
|
|
! |
df |
откуда |
dx |
= f ′(x0). Ранее производная обозначалась как |
f ′(x) или |
dx . Теперь же, из |
|||
|
|
|
|
|
df |
|
|
приведенного выше равенства, мы видим, что |
dx - это дробь, поэтому нам будут |
||||||
разрешены соответствующие операции. |
|
|
|
||||
|
|
|
____________________________ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
! |
x + o( x). Если же |
Итак, запишем f (x1) как сумму трех секций: f (x1) = f (x0) + f ′(x0) |
|||||||
мы хотим вычислить f (x1) приблизительно, то можно отбросить самую маленькую секцию o( x). Заметим еще раз, что практически совсем закрыть на нее глаза мы можем в случае x → 0. Получаем:
f (x1) ≈ f (x0) + f ′(!x0) x.
58
Вычислим дифференциал для нашего примера: |
f (x) = |
1 x3 |
. Нам уже известно |
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
x = x1 − x0 |
= 1,25 − 1 = 0,25. Осталось найти f ′(x0). Ясно, что f ′(x) = |
3 x |
(3−1) |
2 |
. |
|||||
|
|
= x |
||||||||
|
|
! |
|
|
! |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда f ′(x0) = 1. Мы готовы вычислить значение дифференциала |
|
|
|
|
||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df = f ′(x0) |
x = 1 0,25 = 0,25. Получается , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) ≈ 1 + 0,25 = |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Стоит добавить, что в большинстве случаев x = 0,25 было бы слишком большим приращением аргумента (то есть x1 лежит довольно далеко от x0), и дифференциал дал бы нам лишь грубую оценку реального приращения функции. К методу более точной оценки мы перейдем позже.
Базовые правила дифференцирования.
Для успешного освоения дальнейшего материала необходимо вспомнить основные правила дифференцирования (нахождения производной). Приведем те, которые часто вызывают путаницу:
x |
! |
|
x |
lna |
! |
|
|
1 |
(a |
)′ = a |
|
(logax)′ = |
lna x |
||||
(sinx)′ = cosx |
|
|||||||
(cosx)′ = − sinx |
||||||||
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
(tgx)′ = |
|
|
1 |
(ctgx)′ = − |
|
1 |
||
|
! |
cos2x |
! |
|
sin2x |
|||
|
|
|
|
|||||
(arcsinx)′ = |
|
1 |
(arccosx)′ = − |
|
1 |
|||
|
! |
|
|
1 − x2 |
! |
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(arctgx)′ = |
|
1 |
(arcctgx)′ = − |
1 |
||||
|
! |
|
1 + x2 |
! |
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
59