Uchebnik3_3

называется линейно зависимой, если любой вектор можно представить как как линейную комбинацию остальных.

Легче всего представить себе эту ситуацию на плоскости. Возьмем два вектора на плоскости: вектор n и вектор m. Как понять, зависима ли линейно такая система векторов? Как мы уже заметили, она будет зависимой, если любой вектор в этой системе можно представить через остальные. Тогда как определить, можно ли

представить n через m? n представим через m (или наоборот), если умножив m на

некоторое число, мы можем получить n . Тогда нам ясно, что такая система

линейно зависима тогда и только тогда, когда наши вектора n и m параллельны (или же если один из них - нулевой вектор. Заметим, что любая система с нулевым вектором линейно зависима - ведь его всегда можно выразить через остальные,

домножив эти самые остальные векторы на нули).

С другой стороны, если n и m не параллельны, то один через другой нам не представить, тогда наша система является линейно независимой.

А если на нашей плоскости три вектора n, m и q, никакие два из которых не параллельны друг другу? Оказывается, что такая система векторов линейно зависимая, то есть n =аm и bq, где a и b - какие-то числа. То есть, если взять а раз вектор m, и b раз вектор q, мы получим вектор n. Это остается справедливым для любых n, m и q на плоскости. На самом деле, еще со школы мы знаем, что на плоскости нам достаточно двух независимых векторов, чтобы через них

представить любой другой: это векторы i и j. Например, вектор a = (34)мы можем записать как a = 3i + 4j.

В то же время, на прямой нам было бы достаточно одного вектора для представления любого другого: мы можем просто домножать его на некоторое число (как это было с n и m), и таким образом получить всевозможные векторы,

живущие на нашей прямой.

Базис и линейная оболочка.

Если у нас есть некоторая система векторов (назовем ее А), то для нее всегда существует базис. Базис - это такой минимальный набор векторов, что через эти векторы можно представить любой вектор из А. Минимальный - значит,

10

содержащий наименьшее возможное количество векторов. Легко понять, что сам по себе базис - система линейно независимых векторов. В самом деле, если, скажем,

в базисе у нас 3 вектора a , b и c, и c представим через a и b, то зачем нам c в базисе,

раз нам нужно наименьшее количество векторов? Каждый раз, если нам понадобился бы c для составления какого-нибудь вектора из системы А, мы могли бы вместо c писать его выражение через a и b.

Как мы выяснили, для плоскости в базисе обязательно два вектора. Например, i и j.

Но необязательно именно они, нам подойдут любые два не параллельных ненулевых вектора. Для прямой, как мы выяснили, достаточно одного вектора.

Итак, для одномерного пространства - один вектор.

Для двумерного - два вектора.

Для трехмерного логично предположить три. Так оно и есть.

В n-мерном линейном пространстве нам будут нужны n векторов. Иными словами,

размерность пространства равна количеству векторов в базисе. Еще раз обратим внимание на то, что сам базис при этом - обязательно линейно независимая система!

Линейная оболочка для системы векторов А - это множество всех таких векторов, которые мы можем «собрать» с помощью нашего набора А. Опять же,

рассмотрим ситуацию на плоскости. Для любых двух не параллельных n и m

линейной оболочкой будет все векторы, лежащие на нашей плоскости! Это легко понять, вернувшись к рассуждениям на предыдущей странице. В частности, для i и j линейной оболочкой будет множество всех векторов, лежащих на плоскости.

Чтобы понять, зависима ли система векторов, каков ранг матрицы, состоящей из этих векторов (ранг - количество векторов базисе) - вектора обычно записывают в матрицу, а матрицу преобразовывают. Оказывается, в матрице, составленной из векторов, любую строчку можно домножить на любое число кроме нуля (то есть - домножить каждый элемент данной строчки на это число), можно переставлять строчки местами и прибавлять одну строчку к другой (соответственно, можно и вычитать из одной строчки другую). При этом, как было отмечено, базис будет

11

Цель таких преобразований матрицы обычно - проверить, зависима ли система векторов, которая записана в эту матрицу. Если через некоторое количество шагов мы можем получить нулевую строчку (все элементы - нули), то наша система зависима. Если это невозможно - она независима. Это можно понять, вспомнив,

что строчки - это вектора. Если мы получили нулевую строчку, значит на предыдущем шаге у нас были две одинаковые строчки, и вы одну вычли из другой.

Если у нас были две одинаковые строчки, то обычно одна из них не менялась с самого начала преобразований, а вторая - это сумма других строчек, домноженных на какие-то числа! То есть - линейная комбинация этих строчек (векторов).

Получается, что мы представили одну строчку (вектор) через другие. Тогда,

действительно, система должна быть линейно зависимой. Покажем примеры таких преобразований.

Решение: будем мыслить эту матрицу как систему векторов. У нас есть три строки - три вектора. Сразу можем заметить, что второй вектор - это первый вектор, умноженный на 2, а третий - первый, умноженный на 3. Получается, чтобы выразить любой вектор этой системы, нам достаточно одного (первого). Чтобы получить какой-то другой, мы умножаем его на число. Получается, все векторы этой системы лежат на одной прямой. Вспомним определение ранга с предыдущей страницы. Количество векторов в базисе - один.

Ответ: 1.

3.11г. Исследуйте систему векторов на линейную зависимость или независимость.

12

понять, можно ли создать здесь нулевую строчку путем элементарных

преобразований. Домножим первую строку на 3, вторую на -1, и третью на 5:

две одинаковые строчки! Заметим, что мы представили третий вектор через

первые два. Осталось вычесть из последней строчки вторую:

система линейно зависима.

Ответ: линейно зависима.

13

14

Безусловно, необходимо уметь вычислять определитель. Итак, если матрица состоит из единственного элемента, то определитель такой матрицы равен этому элементу.

Эту формулу просто необходимо запомнить.

Для матрицы 3 × 3 правило немного сложнее:

detA = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 . Как видно, в

формуле фигурируют 6 слагаемых: три со знаком плюс и три со знаком минус.

Всевозможные правила для запоминания этой формулы можно найти в Интернете.

В случае, если наша матрица матрица имеет размеры 4 × 4, запомнить подобную формулу было бы довольно тяжело, поэтому определитель в таком случае будем находить разложением по строке или по столбцу.

Для этого необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения.

Минор и алгебраическое дополнение

Для каждого элемента матрицы существует минор. Для aij элемента матрицы минор обычно обозначается как Mij.

Чтобы вычислить минор для некоторого элемента, необходимо мысленно вычеркнуть строку и столбец, в которых стоит наш элемент. После этого, сосчитав определитель получившейся (после вычеркивания) матрицы, получим минор данного элемента.

Алгебраическое дополнение можно вычислить для каждого элемента матрицы.

Отличается от минора оно только знаком, да и то не всегда. Мы будем вычислять алгебраические дополнения уже после нахождения минора по формуле:

15

Aij = ( − 1)i+j Mij. Таким образом, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит наш элемент, четна, то алгебраическое дополнение равно минору элемента.

Если указанная сумма нечетна - алгебраическое дополнение отличается от минора знаком.

Теперь мы готовы к тому, чтобы выписать формулу для вычисления определителя матрицы A с помощью разложения во строке или столбцу.

n

detA = ∑( − 1)i+jaijMij

j=1

Попытаемся разобраться в этой формуле. Будем рассматривать случай матрицы

4 × 4, хотя методом разложения по строке или стобцу можно пользоваться и в других случаях (например, для нахождения определителя матрицы 3 × 3, если формула с предыдущей страницы никак не запоминается).

Итак, будем рассматривать матрицу 4 × 4. Тогда, оказывается, мы можем взять любую строчку матрицы, и определитель матрицы будет равен сумме произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения (аналогичное верно и для любого столбца!). Например, если я захочу разложить определитель матрицы 4 × 4 по первой строке, то общая формула будет выглядеть так:

det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14

Еще раз подчеркнем, что определитель остается неизменным вне зависимости от того, какую строку или столбец для разложения мы выберем.

Понятно, что вычислять все 4 алгебраических дополнения нам было бы не очень удобно. Поэтому, лучше всего будет выбрать строку или столбец, содержащий наибольшее количество нулей. В таком случае, нам не нужно будет вычислять алгебраические дополнения для нулевых элементов, ведь эти элементы просто

«занулят» соответствующие им слагаемые.

16

Решение: итак, чтобы не вычислять лишний раз алгебраические дополнения,

найдем строку или столбец с максимальным количеством нулей. Это 3й столбец. По нему и будем раскладывать. Тогда detA = 0 A13 + 2 A23 + 0 A33 + 0 A43 = 2 A23.

Как мы договаривались, для нахождения алгебраического дополнения сперва

инструкции, нам нужно вычеркнуть вторую строку и третий столбец.

составленной из оставшихся элементов, это и будет нашим минором. Итак,

Еще на прошлой странице мы определили, что detA = 2A23. Тогда detA = 2 20 = 40.

Ответ: 40.

Обратная матрица и матричные уравнения

Здесь необходимо упомянуть о транспонировании. О нем мы говорили еще на

первой странице главы, где речь шла о том, что при транспонировании матрицы ее

определитель остается неизменным.

Итак, если у нас имеется матрица А, и мы ее транспонируем, то получим матрицу,

которую мы обозначим как AT . Она будет состоять из тех же элементов, что и

17

элементом aji в AT . То есть, наша матрица «перевернется» относительно главной диагонали.

Теперь мы готовы понять, что такое обратная матрица. Итак, если у нас имеется матрица А, то обратную матрицу к А мы будем обозначать A−1 . Суть обратной матрицы заключается в том, что для произвольной матрицы А: A A−1 = A−1 A = E.

В этой формуле отображено сразу 2 момента: во-первых, неважно, умножаем ли мы данную матрицу на обратную ей или же обратную матрицу на данную. Во-вторых,

такое произведение равно E , то есть - единичной матрице. Вспомним, что единичная матрица - это такая матрица, главная диагональ которой состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Заметим, что при решении матричных уравнений Е мы не будем записывать, так как Е является аналогом 1 в мире матриц: при домножении на Е ничего не меняется.

Зачем же нужна обратная матрица, и как ее находить?

Пригодится она нам для решения простейших матричных уравнений. Мы будем решать уравнения такого вида: AX = B, где А, X и В - матрицы, А и В будут нам известны, и задача будет заключаться в нахождении матрицы Х.

Чтобы найти Х, нам нужна запись X = …. Но нам мешает матрица А, которая

«прикреплена» к Х слева. Чтобы от нее избавиться, надо домножить наше уравнение на A−1.

Заметим, что в общем случае AB ≠ BA для произвольных матриц А и В!

Поэтому нам нужно определиться, с какой стороны нам нужно домножать каждую из частей уравнения AX = B на A−1 : слева или справа? Для этого достаточно посмотреть на ту часть, которая содержит Х: мы будем домножать на A−1 так, чтобы A−1 встала рядом с А. Если бы мы домножили справа, получилось бы

AXA−1 = BA−1. Такой вариант нам не подходит! Подчеркнем, что A−1 должна встать

18

уравнение принимает вид: EX = A−1B. Как мы уже говорили: «Е является аналогом 1 в мире матриц: при домножении на Е ничего не меняется». Поэтому теперь наше уравнение имеет вид X = A−1B. То есть, мы получили то, что хотели: запись вида

X = …. Осталось тогда найти произведение матриц A−1 и B, и ответ готов.

Тогда хорошо было бы знать, как найти A−1.

Итак, если у нас есть некоторая матрица А, то справедлива формула:

A−1 = 1 CT det A

где С - матрица алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Попробуем записать эту формулу в частном случае: пусть наша матрица А будет

Мы знаем (смотри страницу 11), что detA = ad − cb. Тогда наша формула принимает

19