Uchebnik3_3
.pdf
3 |
ex |
ex 3 |
|
e3 |
− e |
|
|
∫ |
5 dx = |
5 |
1 |
= |
|
5 |
≈ 3,47. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вот и все наше решение. Можно заметить, что мы не писали стандартное «+С» в
промежуточном шаге. А зачем? В итоге получилось бы
3 |
ex |
ex 3 |
|
e3 |
e |
|
e3 − e |
|
|
∫ |
5 dx = |
5 |
1 |
= |
5 + C − |
5 |
− C = |
5 |
, то есть ничего бы не изменилось. Поэтому |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«+С» в подобных задачах писать нет никакого смысла.
Зачем нужен определенный интеграл? Что показывает число 3,47, которое мы в итоге получили?
Интеграл функции f (x) в пределах от а до b показывает площадь под графиком функции f (x) на отрезке [a; b]. Если быть более точными - площадь между графиком и осью ОХ: если график проходит над осью ОХ, площадь будет считаться нами со знаком «+», а если под осью - со знаком «-». Те из вас, кто уже имеет первое представление о теории вероятностей, уже понимают, зачем может понадобиться вычисление определенного интеграла в некоторых практических целях (конечно, такие вычисления нужны и для физики, и для биологии, и для множества других наук).
Например, в нашем случае, 3,47 - это площадь под графиком функции f (x) = ex на отрезке от 1 до 3. Ниже приведен соответствующий рисунок.
90
Как уже было сказано, если график функции проходит под осью ОХ, то определенный интеграл покажет нам площадь между графиком и осью, но с отрицательным знаком. Так, на основе предыдущего примера, очевидно, что:
3 |
ex |
ex 3 |
|
e3 |
− e |
|
|
∫ − |
|
|
|||||
5 dx = − |
5 |
1 |
= − |
|
5 |
≈ − 3,47. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи. |
|
|
4 |
dx |
|
(C) 6.65. Вычислите определенный интеграл: ∫ |
||
. |
||
0 |
2x + 1 |
|
|
dt
Решение: введем замену t = 2x + 1. Тогда dt = 2dx, откуда dx = 2 . Подставляем в
4 |
dx |
9 |
dt |
|
9 |
|
|
t = 2x + 1 |
|
|
|||
наш интеграл: ∫ |
|
= dt = 2dx = ∫ |
|
= t |
= 3 − 1 = 2. |
|
2x + 1 |
2 t |
1 |
||||
0 |
1 |
|
|
|
Заметим, что в ходе решения у нас сменились пределы интегрирования. Это связано с заменой переменной: теперь наша переменная «гуляет» уже не от 0 до 4,
ведь это уже не х. Чтобы вычислить новые пределы, воспользуемся введенной нами
зависимостью t(x) = 2x + 1: нижняя «граница» - значение функции t(0) = 1, а верхняя - t(4) = 9.
Кроме того, замена переменной осуществляется в промежуточном квадратном
«окне», совершенно так, как мы это делали в случаях с заменами при нахождении пределов.
При этом возвращаться к исходной переменной в данном случае нам необязательно: искомое значение и так найдено.
Ответ: 2.
91
(С) 6.31. Найдите неопределенный интеграл: ∫ |
|
dx |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 − 2x − x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
ближайшая подходящая табличная формула - это |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 = arcsinx + C , к которой с помощью замены мы и постараемся свести |
||||||||||||||||||||||||||||||||
наш пример. |
|
|
|
C помощью простейших действий получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
2 |
|
= ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
dx |
. Теперь вынесем |
|
4 из-под |
|||||||||||||
3 − 2x − x |
|
4 − (x |
2 |
+ 2x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − (x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
корня в знаменателе: |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
2 . Осталось ввести замену |
|||||||||||||||||
|
4 − (x + 1) |
2 |
2 1 − ( |
x + 1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
переменной: |
|
u = x + 1 |
, откуда |
|
du = dx |
, т.е. |
dx = 2du . Тогда наш интеграл |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x +2 |
1 = u |
|
|
|
|
|
|
|||
превратится в следующий: |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
= |
= ∫ |
du |
|
2 |
|
(двойки |
|||||||||||||
|
2 |
1 − ( |
x + 1 |
) |
dx = 2du |
1 − u |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сократились). Осталось воспользоваться формулой и вернуться к исходной |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
переменной: ∫ |
|
|
du |
|
= arcsinu + C = arcsin( |
x + 1 |
)+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 − u2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Без лишних комментариев и шагов решение могло бы выглядеть так: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
= ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
x +2 1 = u |
= ∫ |
du |
|
= arcsin( |
x + 1 |
)+ C. |
|||||||||||||
3 − 2x − x2 |
2 |
1 − ( |
x + 1 |
) |
2 |
dx = 2du |
1 − u2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: arcsin( |
x + 1 |
)+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(С) 6.27. Найдите неопределенный интеграл: ∫ |
2arcsinx + x |
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
92
Решение: тут мы воспользуемся еще одним полезным свойством: интеграл можно
раскладывать на суммы интегралов. В нашем случае дробь 2arcsinx + x представима
1 − x2
в виде |
2arcsinx + |
x |
, поэтому: |
|
1 − x2 |
1 − x2 |
|
∫ |
2arcsinx + x |
dx = ∫ ( |
2arcsinx |
+ |
1 − x2 |
1 − x2 |
x |
2arcsinxdx |
+ ∫ |
xdx |
1 − x2 )dx = ∫ |
1 − x2 |
1 − x2 . |
Таким образом, мы упростили себе задачу, разложив один сложный интеграл на два простых. Найдем каждый из этих простых интегралов отдельно. Итак,
рассмотрим ∫ 2arcsinxdx . Как было сказано, удобной будет замена того выражения,
1 − x2
производная которого уже содержится как множитель под знаком интеграла. В
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
1 |
|
|
|
нашем случае подойдет u = arcsinx, ведь тогда u′ = 1 − x2 . |
|
|
|
||||||||||||||
Вспомним, что нам нужно «ликвидировать» |
dx. Для этого найдем дифференциал |
||||||||||||||||
функции u(x) = arcsinx : du = |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 − x2 . Таким образом, arcsinx мы заменим на u , а |
|||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x2 - на du: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
2arcsinxdx |
|
|
u = arcsinx |
= ∫ |
|
2 |
2 |
x + C. |
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 − x2 |
|
= |
du = |
1 − x2 |
2udu = u |
|
+ C = arcsin |
||||||||||
Осталось найти ∫ |
|
xdx |
|
2 |
. Введем замену переменной t = 1 − x2. Это нам удобно в |
||||||||||||
|
1 − x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
том числе и тем, что производная от заменяемого выражения (умноженная на |
|||||||||||||||||
число, но это не так важно) содержится как множитель в числителе: |
|
|
|||||||||||||||
∫ |
xdx |
|
|
|
t = 1 − x2 |
|
= ∫ |
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
dt = − 2xdx |
= − t + C = − 1 − x |
2 |
+ C. |
||||||||||||
1 − x |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx = −2x |
|
|
|
−2 t |
|
|
|
|
|
|||||
93
Мы нашли оба простых интеграла, теперь мы готовы записать ответ: |
|
|||||||||
∫ |
2arcsinx + x |
dx = ∫ |
2arcsinxdx |
+ ∫ |
xdx |
|
= arcsin2x − 1 − x2 |
+ C. |
||
1 − x |
2 |
1 − x |
2 |
1 − x |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что наши две константы «сложились» в одну. Это логично: в сумме две константы дают другую, третью константу (при желании к каждой константе в рамках одного упражнения можно дописывать индекс: C1 , C2 и так далее, чтобы показать, что это - «разные» константы).
Ответ: arcsin2x − 1 − x2 + C.
(А) Найдите площадь области, заключающейся между графиками функций y = x2 − 3x и y = 3x − 5.
Решение: для начала, приведем рисунок.
Очевидно, речь идет о нахождении определенного интеграла. Но для этого необходимо знать пределы интегрирования. То есть узнать, в каких точках пересекаются графики данных функций. Эти точки найти очень просто:
x2 − 3x = 3x − 5, откуда x = 1 или x = 5.
94
Для того, чтобы найти площадь фигуры между графиками, требуется вычислить
5
интеграл ∫ (3x − 5 − x2 + 3x)dx. Под знаком интеграла бы из той функции, график
1
которой проходит выше, вычитаем ту, график которой ниже. Это прямо следует из наших рассуждений о том, что определенный интеграл для данной функции показывает площадь между графиком этой функции и осью ОХ.
|
5 |
x3 |
5 |
2 |
Итак, S = ∫ (3x − 5 − x2 + 3x)dx = − |
|
|||
3 + 3x2 − 5x |
= 10 |
3. |
||
|
1 |
|
1 |
|
Ответ: 10 |
2 |
|
|
|
3. |
|
|
|
|
95