Lab_rab_Elektrichestvo_I_Magnetizm

31

Из формулы (4.6) видно, что КПД источника тока есть функция сопротивления внешней цепи: η = Ψ(R) .

Ранее было показано, что PR принимает максимальное значение при R = r. При этом же равенстве сопротивлений внешней и внутренней частей цепи, как следует из (6), КПД источника составляет 50%.

Описание экспериментальной установки

Измерительная схема установки представлена на рис. 1.

Исследуемый источник напряжения представляет собой два последовательно соединенных источника тока с ЭДС ε1 и ε2. Для искусственного увели-

чения внутреннего сопротивления между ε1 и ε2 включается добавочное сопротивление rдоб.

Рис. 1.

Миллиамперметр служит для измерения тока в цепи. Вольтметром измеряется напряжение во внешней цепи. Сопротивление внешнего участка цепи R изменяется с помощью магазина резисторов. ЭДС исследуемого источника тока

и внутреннее сопротивление определяют по графику зависимости UR = f (I). Внутреннее сопротивление источника определяют, также, по графикам зависи-

мости PR = f1(R) и η = Ψ(R) . По графикам зависимости PR = f1(R), P= f2(R) оцениваются потери мощности источника тока при некоторых значениях внешнего сопротивления (конкретное значение внешнего сопротивления указывает преподаватель).

Порядок выполнения работы

1.Собрать рабочую цепь по схеме рис. 1.

2.Включить магазин резисторов в цепь. Замыкая ключ K, измерить ток I в цепи и падение напряжения UR на внешнем участке цепи R при возможных раз-

32

личных значениях сопротивления резистора, изменяя R с шагом 50 Ом от 0 до 1000 Ом.

4. Данные занести в табл.1.

5. Построить график зависимости падения напряжения UR от тока I , который должен иметь вид линейной зависимости

Рис. 4.2

6.По графику определить электродвижущую силу источника E и её значение занести в таблицу.

7.По графику определить внутреннее сопротивление источника тока

r = E .

Iк.з.

8. Вычислить и занести в табл.4.1 полную мощность P= Iε , мощность,

U

выделенную во внешней цепи PR=IUR и КПД источника η= εR . Вычисления

произвести для всех значений R, взятых в эксперименте.

9. Построить графики зависимости КПД источника тока, полной мощности и мощности, выделенной во внешней цепи, от внешнего сопротивления.

(Оба графика мощности PR =f1(R), P=f2(R) выполнить на одном чертеже).

10. По графикам PR = f1(R) и η = Ψ(R) определить внутреннее сопро-

тивление исследуемого источника тока, воспользовавшись тем, что при R = r КПД источника равен 50%, а мощность, выделенная во внешней цепи, максимальна.

11. По графикам PR = f1(R), P = f2 (R) оценить потери мощности внутри

источника тока при двух-трех значениях внешнего сопротивления, указанных преподавателем.

33

Контрольные вопросы

1.Что называется ЭДС источника тока?

2.Почему при измерении ЭДС источника тока с помощью вольтметра

надо выбрать вольтметр с большим внутренним сопротивлением?

3.Как определяется и от чего зависит мощность, выделяемая во внешней цепи? При каком условии она максимальна?

4.При каком условии максимальна полная мощность источника?

5.Вывести закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Получить из него выражения закона Ома для замкнутой (полной) цепи и

однородного участка.

6.При каких R мощность на нагрузке равна половине полной мощности?

7.Какие силы называются сторонними? Привести примеры сторонних

сил.

8.Как возникает ЭДС в гальванических элементах?

9.Какими величинами можно характеризовать источник тока и его действие в цепи?

10.Как можно измерить ЭДС источника тока?

Библиографический список

1.Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 1./ ред. В. Н. Лозовский. – СПб.: Лань, 2007. – § 2.28, 2.31, 2.33

2.Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т. 2 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 2005. –§ 34, 37, 38.

3.Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 2001.

–§ 97, 98, 99.

34

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Цель работы: ознакомление с классическим методом измерения сопротивления при помощи резистивного моста; вычисление удельного сопротивления, температурного коэффициента сопротивления металла; определение энергии активации примесей в полупроводнике.

Оборудование: мост постоянного тока, нагреватель, измеритель температуры, медный провод, полупроводник.

Краткие теоретические сведения

1. Закон Ома

В 1826 г. немецкий физик Георг Симон Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока I, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна напряжению U на его концах:

где R − электрическое сопротивление проводника.

Это соотношение не является универсальным законом, так как электрическое сопротивление R не является константой материала. Оно зависит от формы и размеров электрического проводника. Однако можно выделить в сопротивлении R константу материала − удельное сопротивление ρ.

Наиболее просто это сделать для проводников правильной формы. Так, для однородного проводника цилиндрической формы сопротивление R выражается через удельное сопротивление ρ следующим образом:

где ℓ – длина проводника; S − площадь его поперечного сечения.

Чтобы понять, какие физические величины определяют удельное сопротивление, его необходимо выразить через другие константы материала, как это делается в классической электронной теории (КЭТ).

35

2. Вывод закона Ома на основе КЭТ

КЭТ металлов основана на следующих представлениях. Атом можно представлять как совокупность двух систем электронов. Одна из систем сильно связана с ядром и образует так называемый остов. Другая система, система валентных электронов, у некоторых атомов, например, у атомов щелочных элементов, слабо связана с ядром. При объединении таких атомов в твердое тело, каждый остов занимает вполне определенное место - узел, а совокупность узлов образует кристаллическую решетку. Валентные электроны уже не принадлежат тому или иному остову, а образуют "электронный газ", газ свободных электронов, принадлежащий всему твердому телу в целом. Электронному газу приписываются свойства идеального одноатомного газа. Свободные электроны непрерывно хаотически движутся, причем средняя кинетическая энергия их движения

где m − масса электрона; vt − средняя скорость теплового движения; k - по-

стоянная Больцмана; T − термодинамическая температура.

Под действием внешнего электрического поля свободные электроны приобретают дополнительную скорость, направленную противоположно направлению поля. Это медленное (по сравнению с тепловым движением) направленное движение электронов называется дрейфом, а дополнительная ско-

рость – скоростью дрейфа vd , или дрейфовой скоростью. Максимальная ве-

личина дрейфовой скорости определяется частотой соударений электронов с тем или иным остовом. Каждый остов совершает колебательные движения, амплитуда колебаний определяется температурой твердого тела. При повышении температуры возрастает амплитуда колебаний ионов и, следовательно, увеличивается вероятность столкновения электронов с ионами. В результате скорость дрейфа электронов уменьшается, соответственно уменьшается и ток I. При неизменной разности потенциалов на концах проводника уменьшение тока означает по закону Ома (1) рост сопротивления проводника R. С уменьшением же температуры остовы колеблются все менее интенсивно, все реже соударения электронов с ионами. Поэтому сопротивление проводника убывает с уменьшением температуры.

На основе этих представлений КЭТ найдем связь удельного сопротивления с другими константами материала.

В промежутке между двумя следующими друг за другом соударениями электроны под действием кулоновской силы F = eE двигаются с ускорением

36

где e − заряд; m −масса электрона; E − напряженность электрического поля. Скорость дрейфа и время между двумя последующими соударениями яв-

ляются случайными величинами. Можно предполагать, что эти величины распределены в интервале от нуля до некоторых максимальных значений. Если

τ − среднее время между двумя последующими соударениями, или среднее

время свободного пробега электронов, то максимальная дрейфовая скорость, которую электрон приобретает перед соударением, равна

Средняя скорость дрейфа электронов vd равна, очевидно, половине

максимальной, так как сразу же после соударения скорость дрейфа равна нулю, а затем растет со временем линейно. Используя это соображение и заменяя в (5) ускорение a его значением из (4), получим:

называется подвижностью электронов, имеет размерность м2/(В·с) и численно равна средней дрейфовой скорости в единичном поле.

Для однородного проводника цилиндрической формы с площадью поперечного сечения S силу тока I можно выразить через скорость дрейфа vd . За

время t электроны проходят вдоль проводника расстояние L = vd t . Пусть в

единице объема имеется n электронов проводимости. Число электронов, пересекающих сечение S проводника за время t, составляет nSL. Заряд Q, проходя-

щий через это сечение, равен Q = enSL = enS vd t . Так как сила тока I равна Q/t, тогда

где n − концентрация электронов.

Подставляя в (8) значение дрейфовой скорости из (6) и учитывая, что E = U / ℓ, где ℓ − длина проводника, получим

Из сравнения полученного выражения с законом Ома (1) получим, что

Сопоставляя выражения (10) и (2), можно легко получить искомую связь материальной константы ρ с фундаментальными константами (заряд и масса электрона) и другими материальными константами (концентрация и среднее время свободного пробега электронов):

3. Формула Друде – Лоренца

Преобразуя (11) с учетом (7), удельное сопротивление можно выразить через подвижность электронов:

Величина, обратная удельному сопротивлению ρ, называется удельной проводимостью σ. Используя понятие удельной проводимости, выражение (12) можно записать в виде

Как видно из (13), удельная проводимость пропорциональна концентрации электронов проводимости n и их подвижности µ.

Соотношение (13) носит универсальный характер, является справедливым как для твердых тел (металлов, полупроводников, диэлектриков), так и для жидкостей и газов и известно под названием формула Друде-Лоренца.

4. Зависимость сопротивления R от температуры

Найдем температурную зависимость удельного сопротивления, используя основные положения КЭТ. Для этого в формуле (11) представим среднее

время свободного пробега электронов τ в виде отношения средней длины свободного пробега ℓ к средней тепловой скорости:

(3). Она совпадает со средней тепловой скоростью идеального одноатомного газа:

Подставляя (15) в (14), а затем (14) в (11), получаем температурную зависимость удельного сопротивления ρ(T):

Длина свободного пробега <λ> обратно пропорциональна давлению электронного газа P, а, следовательно, температуре T, так как для идеального газа основное уравнение молекулярно-кинетической теории записывается как P=nkT. Поэтому из формулы (16) следует, что КЭТ предсказывает нелинейную

зависимость удельного сопротивления от температуры ρ T1/2 . Из опыта известно, что в широкой области температур удельное сопротивление металлов ρ T , а удельное сопротивление полупроводников ρ exp( A/ T) , где A − кон-

станта. Несоответствие экспериментальной и предсказываемой КЭТ температурных зависимостей удельного сопротивления металлов и полупроводников является следствием того, что в КЭТ электроны рассматриваются как классические частицы, а совокупность их − электронный газ − как идеальный классический газ, описываемый распределением Максвелла-Больцмана.

Многие проблемы, в том числе и электросопротивление твердых тел, в настоящее время в основном решены с помощью квантовой физики, где показывается, что в металлах энергия свободных электронов, ответственных за электропроводность, намного превышает тепловую даже при температурах, близких к температуре плавления. Поэтому температурно-зависимой величиной в (14) будет только средняя длина свободного пробега, которая, как было показано выше, обратно пропорциональна температуре. Следовательно, удельное сопротивление в соответствии с (11) будет пропорционально температуре.

Как видно из формулы Друде-Лоренца, электропроводность определяется концентрацией и подвижностью носителей заряда. Важным выводом из расчетов электропроводности в рамках квантовой физики является то обстоятельство, что для металлов концентрация носителей заряда, ответственных за проводимость, не зависит от температуры. Температурная зависимость электропроводности металлов определяется температурной зависимостью подвижности. Противоположная ситуация имеет место в полупроводниках. Температурная зависимость электропроводности полупроводников определяется, как правило, в основном сильной (экспоненциальной) температурной зависимостью концентрации носителей заряда, температурная же зависимость подвижности в полупроводниках хотя и имеет место, но в электропроводности проявляется весьма незначительно. В инженерной практике оказывается удобным использовать следующую форму записи для температурной зависимости удельного сопротивления металлов:

ρ0 − удельное сопротивление металла при 0 °С; t − температура в градусах Цельсия; α – коэффициент. Легко показать, исходя из пропорциональности удельного сопротивления термодинамической температуре, что (α = 1/273 K–1. Из опыта могут получаться несколько иные значения, что связано с приближенным характером выражения (17).

Сопротивление примесных полупроводников определяется формулой

R(T) = R0eE2kT ,

где R0 – константа (включающая подвижность), слабо зависящая от температуры; E – энергия активации, или ионизации примесей, та энергия, которую необходимо затратить, чтобы электрон примесного атома стал свободным и принимал участие в электрическом токе; k – постоянная Больцмана. Для определения энергии активации удобно прологарифмировать выражение для R(T) и умножить и разделить на 103 второе слагаемое:

Из измеренных зависимостей R(T) для металла и полупроводника и формул (17) и (18) в данной лабораторной работе определяют удельное сопротивление металла ρ(20 °С), температурный коэффициент сопротивления металла α, энергию активации примесей для полупроводника E. Удельное сопротивление металла определяют при 20 °C, потому что именно при этом значении температуры принято сопоставлять различные металлы по величине сопротивления.

Описание экспериментальной установки

Одним из наиболее точных методов измерения сопротивления является метод, использующий так называемый мост резисторов. Схема его приведена на рис. 1. Такой мост называется мостом Уинстона (Winston).

Медная проволока, сопротивление которой и измеряется в данной работе, намотана в виде катушки и обозначена на схеме как резистор Rх. Резистор R на схеме обозначен стрелкой − его величину можно изменять дискретно в широких пределах. Такое устройство называется магазином резисторов, или магазином сопротивлений. Участок цепи AB представляет собой однородную по сечению проволоку с большим удельным сопротивлением. Обычно такая проволока изготавливается из сплава никеля и хрома (нихрома). Удельное сопротивление

40

Рис. 1.

нихрома примерно на два порядка превышает удельное сопротивление меди и составляет 106 Ом м. По проволоке AB можно перемещать подвижной контакт D. Такое устройство называется реохордом. Между точками C и D включен чувствительный гальванометр G. Резисторы Rх, R, R1, R2 называются плечами моста. При замыкании ключа K по ветвям ACB и ADB потечет ток. По участку цепи CD тоже будет течь ток, направление которого зависит от соотношения потенциалов точек C и D. Очевидно, потенциал ϕС в точке C имеет промежуточное значение между ϕА и ϕВ. Поэтому на участке AB можно найти точку D, потенциал которой равен потенциалу точки C. В этом случае ток через гальванометр равен нулю. Говорят, что мост сбалансирован. В этом случае между плечами моста имеется определенная функциональная зависимость:

Проще всего получить эту зависимость, записав правила Кирхгофа для узлов C и D, контуров ACDA и CBDC:

Jx − J − JG = 0 ,

J1 − J2 + JG = 0 ,

JxRx + JG RG − J1R1 = 0 ,

JR − J2 R2 − JG RG = 0 ,

где RG и JG − соответственно сопротивление гальванометра и ток через него. При условии баланса моста (JG = 0) эти уравнения упрощаются, откуда непосредственно следует выражение (19). Так как проволока AB является однородной, то

R1 = ρ ℓ1 , R2 = ρ ℓ2 ,

S S