2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Цель работы: экспериментальное исследование электрических полей, по-

строение их изображений, расчеты характеристик поля.

Оборудование: ванна, осциллограф, вольтметр, потенциометр, электроды различной конфигурации.

Краткие теоретические сведения

Взаимодействие неподвижных электрических зарядов происходит через электрическое поле, образующееся вокруг этих зарядов. На каждый заряд действует электрическое поле, созданное остальными зарядами. Поле, созданное зарядами, неподвижными в данной системе отсчета, называют электростатиче-

ским.

Электрическое поле есть физическая реальность; возмущения в поле передаются с конечной скоростью, равной скорости распространения света.

Основными количественными характеристиками электростатического поля

являются вектор напряженности E и скалярный потенциал ϕ.

Векторные характеристики электростатического поля изучают, помещая в него положительный точечный пробный заряд, и наблюдают действующую на

него со стороны поля силу. Отношение силы F , действующей на этот пробный заряд, к его величине qпр не зависит от величины заряда и характеризует данную точку поля. Это отношение определяет физическую величину, называемую вектором напряженности электростатического поля:

Чтобы не вносить изменения в исследуемое поле, пробный заряд берется достаточно малым. Если положить, что qпр = +1 Кл, то E по величине и направ-

лению совпадает с силой F .

Таким образом, напряжённость электростатического поля в некото-

рой точке является векторной физической величиной, равной вектору силы, действующей на единицу положительного заряда, помещённого в эту

точку.

Например, поле точечного заряда описывается выражением

3

где q − величина заряда, создающего поле, r − радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, ε0 − электрическая постоянная.

Силовой линией или линией напряженности электростатического поля называется линия, в каждой точке которой вектор напряженности направлен по касательной. Например, линиями напряженности поля положительного точечного заряда являются радиальные линии, исходящие из этого заряда (см. рис.3). Такое поле называют центральным.

Силы поля, перемещая точечный заряд, совершают работу, которая зависит от начального и конечного положений заряда в пространстве и не зависит от выбора траектории движения. Работа по замкнутой траектории в этом случае будет равна нулю. Такое поле называется потенциальным. Каждой точке пространства можно сопоставить значение потенциальной энергии W перемещаемого заряда. Работа поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую будет

Отношение потенциальной энергии W положительного точечного пробного заряда к величине этого заряда qпр называют потенциалом поляϕ . Тогда разность потенциалов двух точек поля равна отношению работы сил поля по перемещению положительного точечного заряда из одной точки поля в другую к величине этого заряда:

ℓ, соединяющей начальную и конечную точки поля 1 и 2.

Потенциал электростатического поля данной точки численно равен работе, которую совершат силы поля при перемещении положительного единичного заряда из данной точки в бесконечно удалённую, потенциал которой считается равным нулю.

Геометрическое место точек поля, имеющих один и тот же потенциал, называют эквипотенциальной поверхностью. Например, эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются концентрические сферы.

Рис. 1.

Силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Действительно, если мысленно перемещать пробный заряд по эк-

Изменение потенциала на единицу длины по направлению вектора ℓ→ (рис. 2) характеризуется производной по этому направлению

5

Рис. 2.

На рис. 2 приведены близко расположенные эквипотенциальные поверхности с потенциалами ϕ и ϕ + ∆ϕ. Расстояние между двумя точками этих по-

верхностей по направлению вектора ℓ→ равно ∆ℓ, по направлению нормали n к

Как следует из этого соотношения, изменение потенциала на единицу длины будет максимальным при α=0, т.е. по нормали n .

Вектор, направленный в сторону увеличения потенциала и равный производной потенциала по направлению нормали к эквипотенциальной поверхности, называется градиентом потенциала и обозначается

где n − единичный вектор нормали.

На рис. 2. показаны две эквипотенциальные поверхности, соответствующие потенциалам ϕ и ϕ + dϕ . Найдем работу по переносу пробного заряда из точки 1 в точку

2 вдоль нормали n .

С другой стороны:

6

Приравнивая правые части записанных выражений, получим связь между напряженностью и потенциалом.

Из этого соотношения видно, что вектор E направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону убывания потенциала, т. е. вектора напряженности поля и градиентапотенциаларавны по модулю, но противоположны по направлению:

Вектор напряженности электрического поля противоположен градиенту потенциала, т.е. направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала.

Градиент и напряженность измеряются в одних и тех же единицах: В/м.

Графически электрические поля изображают при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Силовые линии рекомендуется проводить сплошными линиями, эквипотенциальные поверхности − пунктирными. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимноперпендикулярны, причем эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы значения потенциалов

соседних поверхностей отличались бы на одно и то же значение, допустим, на 1В, а число силовых линий на единицу площади, перпендикулярной направлению поля, было бы

7

ная напряженность поля; ∆ϕ − разность потенциалов между соседними эквипо-

тенциальными поверхностями; ∆n − расстояние между этими поверхностями по нормали.

Описание экспериментальной установки

При проектировании некоторых приборов необходимо знать электрическое поле, заключенное между электродами сложной формы. Сложные электростатические поля исследуются экспериментально, методом моделирования этих полей в проводящих средах.

Если пространство между электродами произвольной формы заполнить слабо проводящей средой, то между ними, при наличии разности потенциалов, может существовать небольшой электрический ток. Падения напряжения на металлических проводниках и электродах можно считать равными нулю, а их поверхности - эквипотенциальными, т.е. вектор напряженности поля вблизи электродов будет перпендикулярен их поверхностям.

Структура электростатического поля аналогична структуре электрического поля переменного тока низкой частоты, которое экспериментально исследовать удобнее, чем поле неподвижных зарядов. Поэтому в данной работе применяют переменный ток частотой 50 Гц.

Для исследования электрического поля соберем одну из двух установок, схемы которых приведены на рис. 4 и 5. На рис. 4. приведена схема прямого метода измерения потенциала стрелочным вольтметром V. Схема простая, но построенная картина эквипотенциальных поверхностей может быть заметно искажена вследствие того, что через измерительный зонд будет течь ток из-за низкого сопротивления измерительной обмотки вольтметра. На рис. 5. приведена более сложная, но в тоже время гораздо более точная схема мостового метода измерения потенциала ϕ. В этой схеме в момент измерения ток через зонд Z не течет, что не приводит к искажению картины силовых линий.

9

тролируется вольтметром. Искомые точки эквипотенциальной поверхности по схеме рис. 5 определяются перемещением зонда Z через те точки ванны, для которых ток, проходящий через нуль-гальванометр, или сигнал на осциллографе будут минимальными.

Аналогично найдите и изобразите точки эквипотенциальных поверхностей с потенциалами ϕ2 = 2∆ϕ, ϕ3 = 3∆ϕ и т.д.

6.Достать из ванны лист бумаги и положить его на просушку, если точки отмечали непосредственно на этом листе на дне ванны. Погрузить на дно ванны новый лист бумаги.

7.При тех же положениях плоских электродов Э1 и Э2 поместить посередине между ними металлическое кольцо. Изобразить (обвести) его. Измерить потенциал электрического поля внутри и на поверхности этого кольца в нескольких точках. Измерения проводят аналогично п.3.

Убедиться, что потенциал поля во всех точках внутри кольца и на его по-

верхности один и тот же − ϕк. Найти и изобразить точки поля с таким же потенциалом за пределами кольца.

8.Аналогично п.5 найти и изобразить точки эквипотенциальных поверх-

ностей с потенциалами ϕк ± ∆ϕ, ϕк ± 2∆ϕ, ϕк ± 3∆ϕ и т.д., где ϕк – потенциал кольца, а ∆ϕ − разность потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями.

9.Достать из ванны лист бумаги и положить его на просушку. Погрузить на дно ванны новый лист бумаги. Установить в ванне кольцевые электроды (или другие по указанию преподавателя). Найти и изобразить точки эквипотенциальных поверхностей аналогично п. 5.

Обработка результатов измерений

1.На всех 3 листах бумаги с изображенными контурами электродов и точками эквипотенциальных поверхностей провести через эти точки пунктирные линии эквипотенциальных поверхностей и записать у каждой линии соответствующее значение потенциала.

2.Построить систему силовых линий, проведя их как сплошные линии перпендикулярно к эквипотенциальным поверхностям (пунктирным линиям), начиная каждую силовую линию на одном электроде и заканчивая на другом. Задать направление силовым линиям в сторону уменьшения потенциала.

3.Используя изображение поля между плоскопараллельными электродами,

построить график зависимости потенциала поля ϕ от расстояния n, отсчитываемого от электрода Э1. Определить напряженность поля по формуле (10).

4.Для построения изображения поля при наличии металлического кольца, на внутренней поверхности кольца проставить метки через 30° (углы α, см рис. 6).

5.Определить напряженность поля внутри кольца по градиенту потенциа-

ла.

10

6. Определить зависимость поверхностной плотности индуцированных зарядов σ на поверхности металлического кольца от угла α.р

Рис. 6 Для этого необходимо применить соотношение ррσ = εε0рЕ, где Е − на-

пряженность поля у поверхности кольца. Это соотношение легко доказывается, применив теорему Гаусса к цилиндру (см. рис. 7):

где ∆φ — разность потенциалов между потенциалом кольца и ближайшему к нему эквипотенциальной поверхностью, ∆n — расстояние между ними, измеренного вдоль силовой линии.

Расчёты провести для углов α от 00 до 3600 через 300. Построить график зависимости σ(α).