Polnaya_uynya_shpora_po_sopromatu

4.4 Моменты инерции площади сечения.

Если элементарные площадки dA умножить на квадраты расстояний до некоторой оси и просуммировать эти произведения по всей площади сечения, то получится геометрическая характеристика, называющаяся осевым

Полярный момент инерции связан с осевыми моментами зависимостью: I I x I y

Интеграл произведений элементарных площадей на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей называется центробежным моментом инерции.

I xy xydA (4.8) В зависимости от знаков координат центробежный момент инерции

A

может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Осевые и полярные моменты инерции могут быть только положительными (т.к. в их уравнения координата входит в квадрате). Единицей момента инерции является единица длины в четвертой степени. Если взаимно перпендикулярные оси х и у или

одна из них является осями симметрии для фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади, которые имеют одинаковые ординаты у и равны, но

противоположные по знаку абсциссы х.

Составляя сумму произведений хуdA для таких элементов, т.е. вычисляя интеграл I xy xydA получим 0.

A

4.5 Момент инерции простых сечений.

1° Прямоугольник.

Вычислим моменты инерции сечения относительно оси х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

I x0 y2 dA

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA=bdy,

Из полученных для прямоугольника формул для квадрата с h=b=a

I x I y a 4 (4.11)

12

3° Прямоугольный треугольник.

4° Равнобедренный треугольник.

5° Круг.

Определим полярный момент относительно центра

круга:I 2 dA . За dA примем площадь бесконечно тонкого

A

кольца толщиной dρ, т.е. dA=2πρdρ;

4.6 Моменты инерции сложных фигур.

При вычислении моментов инерции для сложной фигуры сечение разбивают на простейшие фигуры, для каждой из которых находят собственный момент инерции относительно заданной оси. Момент инерции всего сечения равен алгебраической сумме моментов составных частей.

Необходимо иметь в виду, что суммировать моменты составных частей, вычисленных относительно разных осей нельзя. Можно суммировать только те моменты инерции, которые вычислены относительно одной и той же оси. Моменты инерции прокатных профилей, а именно уголки, швеллера, двутавр, приводятся в таблицах сортамента.

4.7 Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей.

Определим моменты инерции фигуры относительно какойлибо оси х1. Пусть х0- центральная ось и момент инерции I0 и х0

известен. Из чертежа видно, что у1=а + у, следовательно

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной + произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы видно, что момент инерции относительно центральной оси IХ1Y1=IХоYo+Ааb (4.21) меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси параллельной центральной. Момент относительно

центральной оси называется центральным моментом инерции. Аналогично получают формулу для центробежного момента инерции:

Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей параллельных центральным равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей + произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

Чтобы получить аналогичную формулу для полярного момента инерции, учитывая, что Iρ=Ix+Iy , запишем приведенные формулы для осевых моментов и сложим их: IХ1=IХо+Аа2

IY1=IYо+Аb2

Iρ1=Iρо+А(a2+b2) (4.22)

Приведенные выше формулы применяют для вычисления моментов инерции сложных фигур.

4.8 Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х и y и моментами инерции относительно осей х1 и у1 , повернутых на угол α

Пусть Ix>Iy и положительный угол α отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами площадки dA в исходных и повернутых осях. Из чертежа следует:

х1=ОС=ОЕ+ЕС=ОЕ+DF=ODсosα+DBsinα=хcosα+уsinα.

у1=ВС=BF-CF=BF-DF=BD-cosα-ODsinα=ycosα-xsinα.

Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1.

момент инерции относительно этих осей можно найти момент инерции относительно любой оси, проходящей через ту же точку. Если сложить 2 выражения (4.23) и (4.23’), то получим:

IХ1+IY1=IХ+IY

Т.е. суммарный момент инерции не меняется. Это равенство вытекает также из того, что каждая из указанных сумм порознь равна полярному моменту инерции. Т.е. IХ1+IY1=Iρ и IХ+IY=Iρ

4.9 Главные оси и главные моменты инерции.

При повороте осей осевые моменты инерции IХ1 и IY1 изменяют только свою величину, а центробежный момент инерции I может изменять и свой знак. Те оси, относительно которых центробежный момент инерции равен 0, а осевые моменты достигают экстремальных значений (один – максимума, а другой - минимума), называются главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей называют главными осевыми моментами инерции. Угол α0, при котором оси будут главными, определим, приравняв к нулю формулу (4.24), т.к. центробежный момент для главных осей равен нулю.

Полученная формула дает для угла α0 2 значения α0’ и α0”=α0’+90˚. Если полученное значение положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось х следует повернуть на угол α0 против хода часовой стрелки и наоборот. Другая главная ось перпендикулярна к первой. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей (х или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимума, а какая – осью минимума. Так, например, если Iy>Ix , а главные оси инерции U и V расположены, как показано на рисунке, то ось U является осью максимума, т.к. образует с осью у меньший угол, чем с осью х, а ось V – осью минимума.

Через любую точку, взятую на плоскости сечения или вне его можно провести главные оси инерции. В сопромате расчеты производят только относительно главных осей инерции, проходящих через центр тяжести сечения. Моменты инерции относительно главных центральных

осей инерции называют главными центральными осевыми моментами инерции. Сумма главных центральных осевых моментов инерции имеет наименьшее значение из всех возможных сумм осевых моментов инерции.

Если фигура симметрична, то ее ось симметрии и является главной центральной осью инерции, поскольку, как было отмечено выше, относительно симметричных осей центробежный момент инерции равен нулю. Т.о. для всех симметричных фигур главные оси устанавливаются без вычислений. Одна ось совмещается с осью

симметрии, а другая проводится перпендикулярно ей.

Штриховая ось (ось у) тоже является главной, но не центральной: IU+ IV<IU+Iy Ось Imin (осьV) всегда пересекает площадь сечения по наибольшему

протяжению, а ось Imax (осьU) - по наименьшему.

Если фигура имеет более двух осей симметрии, например круг или квадрат, центральные оси в любом положении являются главными, а моменты инерции Ix и Iy в любом положении центральных осей равны между собой т.е. Ix = Iy

Если известны моменты инерции Ix, Iy, Ixy относительно взаимно перпендикулярных осей х и у, то величины главных моментов инерции можно определить по формуле:

Знак “+” берется при определении Imax, а знак “-” – при определении Imin

5.1. Крутящий момент.

Наряду с растяжением и сдвигом кручение является следующим видом деформации бруса. При кручении внутренним усилием является крутящий момент M z :

Кручению подвергаются элементы строительных конструкций: валы двигателей, станков, оси локомотивов и так далее.

Кручение прямого бруса происходит при нагружении его внешними скручивающими моментами, действующими в плоскости перпендикулярной продольной оси бруса. Внешнее скручивающие моменты (m) и крутящий момент ( M Z ) выражаются в Hм .

5.2. Определение крутящего момента.

Для определения крутящего момента брус делят на характерные участки, границами которых являются внешние скручивающие моменты.

Определение крутящих моментов производят методом сечений. Крутящий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к оставшейся части бруса после его мысленного рассечения на две части.

Крутящий момент считают «+», если внешний момент направлен по ходу часовой стрелки при взгляде от сечения. Изменение крутящих моментов по длине бруса изображается в виде эпюры (графика).

В сечении, котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры меняется скачкообразно на величину равную значению этого момента.

5.3 Напряжение при кручении стержней кругового сечения.

Теория кручения стерж. круг. сечения базируется на следующих предпосылках:

1.Ось стержня ОС после деформации остаётся прямой линией

2.Расстояние между поперечными сечениями не меняется

3.поперечные сечения плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации остаются плоскими и перпендикулярными после(гипотеза плоских сечений)

4.Радиусы плоских сечений поворачиваясь на определённый угол остаются прямыми На основании этого сечение кругового вала можно представить как чистый сдвиг, вызванный взаимным поворотом поперечных сечений друг относительно друга на угол наз.

углом закручивания. Рассмотрим вал радиусом r, заделанный одним концом. На свободном конце которого приложена пара сил. Левое сечение будем считать неподвижным. Образующая АВ наклонится на угол γ и пререйдёт в положение АВ’. угол сдвига волокна лежащего на поверхности вала будет определятся как

для произвольного волокна отстоящего от центра вала на расстояние р будем иметь: на основании з-на Гука при сдвиге для двух указанных точек Касательное

анпряжен6ие в точках поперечного сечения изменяется пропорционально расстоянию этих точек от оси вала.

Касательное напряжение образует сплошной поток направленный вдоль

контура кругового сечения. Величина может быть найдена из условия, что касательное

напряжение действующие по сечению вала приводится к паре моментов которй равен крутящему моменту Мz. Момент этой силы относительно оси z:

позволяет определить τ в любой точке кругового поперечного сечения. Макс. напр. имеет