Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Pole

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
344.42 Кб
Скачать

1) Скалярное поле определено функцией e

x 2 y 2 z 2 . Найти градиент поля в точке

A 1; 0; 1 .

Построить поверхности уровня для 1, e,

4 .

 

 

 

 

Определение. Градиентом скалярного поля u

grad u

u

 

u

 

u

 

 

u

;

u

;

x

i

y

j

z

k

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x, y, z называется векторная функция

uz .

Смысл. Функция (скалярная функция) скалярное поле. Градиент функции скорость изменения функции в

конкретной точке; величина векторная.

Градиент функции есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания функции, а модуль равен наибольшей скорости изменения функции в определённой точке. Строго говоря, градиент является направленным отрезком (фиксирован в фиксированной системе координат, в то время как вектор (свободный вектор) есть класс эквивалентности направленных отрезков).

В произвольной точке M x; y; z :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2 x e

 

x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 2 y 2 z 2

 

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

2x

 

x e x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x 2 y 2 z 2

 

x

 

 

 

2

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2 y e

 

x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y 2 z 2 y

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

2 y

y e x 2 y 2 z 2

2

x 2 y 2

z 2

2

x 2 y 2 z 2

 

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2 z e

 

x 2 y 2 z 2

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y 2 z 2 z

 

 

e x 2 y 2 z 2

 

2z

z e x 2 y 2 z 2

 

2

x 2 y 2

z 2

 

x 2 y 2 z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x 2 y 2 z 2

В точке A 1; 0; 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

12 0 2 1 2

 

 

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

12 0 2 1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 e

12 0 2 1 2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

12 0 2 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e

 

12 0 2 1

 

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

12 0 2 1

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градиент скалярного поля x; y ; z

в произвольной точке M x; y; z :

 

 

 

 

 

 

grad

 

i

 

 

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Градиент скалярного поля в точке A 1; 0; 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 2

 

e 2

e 2

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

j

 

 

 

k

 

i

 

 

k

 

 

; 0;

 

 

 

A

x

 

 

y

 

 

z

 

2

2

 

2

 

2

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхности уровня для 1, e, 4 .

а) При 1:

e x 2 y 2 z 2 1

x 2 y 2 z 2 0

- поверхностью уровня является точка 0; 0; 0 .

б) При e :

e x 2 y 2 z 2 e

x 2 y 2 z 2 1

- поверхностью уровня является сфера с центром 0; 0; 0 и радиусом r 1.

в) При 4 :

e

e

x 2 y 2 z 2

4

x 2 y 2 z 2

e ln 4

x 2 y 2 z 2 2 ln 2 2

- поверхностью уровня является сфера с центром 0; 0; 0 и радиусом r 2 ln 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

в точке A 1; 0;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 3; 2; 2 .

 

2) Найти производную функции arctg

 

 

 

в направлении

AB , где

z

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции x , y , z

по направлению a в точке A :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

grad

A

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ; 2 0 ; 2 1 2; 2;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В произвольной точке M x; y; z :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

z

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

2

 

 

1

 

z

 

 

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

z

 

 

 

 

x

2

 

x y

2

z

2

x

2

z

x y

2

z

2

x

2

x y

2

 

 

 

 

 

 

 

x y x

 

 

 

z x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

z

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

y

z

 

 

 

x y y

 

 

x

 

z

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

x y z

В точке A 1; 0;1 :

0

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 2

x y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

z

2

 

 

x

 

 

1

 

1

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

x y

z 2 x 2

z 2

x y

x y

z 2 x 2

1

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

A

 

12 12

 

 

1

0 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

A

 

1 0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

A

 

1 0

12 12

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градиент скалярного поля x; y ; z

в произвольной точке M x; y; z :

 

 

grad

 

i

 

 

 

j

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градиент скалярного поля в точке A 1; 0;1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

;

1;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x

 

 

 

 

i

y

 

 

 

 

 

j

z

 

k

 

i j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции x, y , z

в точке A 1; 0;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по направлению a AB 2; 2;1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1 2

1 1

1 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad

 

 

 

 

AB

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

6

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2i y 2 j z 2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Показать, что поле вектора a

 

 

 

является потенциальным. Найти его потенциал.

x 3 y 3 z 3

Здесь P x; y ; z

x 2

 

 

Q x; y; z

 

y 2

 

 

R x; y ; z

z 2

 

,

 

 

 

,

 

.

x 3 y 3 z 3

x 3

y 3

z 3

x 3 y 3 z 3

Векторное поле a P x; y; z i Q x; y; z j R x; y; z k называется потенциальным (безвихревым, градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю: rot a 0 .

3

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P x; y; z

 

 

Q x; y; z

 

R x; y; z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

y 2

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 y 3 z 3

x 3 y 3 z 3

x 3 y 3 z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

3 y 2

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

3z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

3

 

 

3

 

2

 

x

3

 

 

 

3

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

3z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

3

 

z

3

 

 

 

 

 

 

3

 

y

3

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

3 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

3

 

 

3

 

2

x

 

3

 

 

 

 

3

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- следовательно, поле вектора a потенциальное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдём потенциал U векторного поля a по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U x; y ; z

 

 

x, y, z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pdx Qdy Rdz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 , y0 , z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем в качестве фиксированной точки точку с координатами 1; 0; 0

 

 

 

 

 

 

U x; y; z

x, y, z

 

 

x 2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

y

3

z

3

 

x

3

y

3

z

3

 

x

3

y

3

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;0;0 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируем по ломаной:

U x; y; z

x

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

y 0, z 0

0 x

 

 

 

 

 

 

 

z 0

 

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

x

dx

 

 

 

y

 

 

y 2dy

 

z

 

 

 

 

z 2dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

y

d x 3 y 3

 

 

 

1

z

 

d x 3 y 3 z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

3

y

3

 

3

 

y

3

z

3

 

3

 

 

x

3

y

3

3

 

 

 

x

3

y

3

z

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

x

 

 

 

 

1

ln

 

x 3 y 3

 

ln

 

x 3

 

1 ln

 

x 3

 

y 3 z 3

 

ln

 

x 3 y 3

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

x 3 y 3

 

 

 

1

 

 

x 3 y 3 z 3

 

 

C

1 ln

 

x 3

 

 

1 ln

 

 

x 3 y 3 z 3

 

C

ln

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 y 3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

x 3

y 3 z 3

 

 

C

- потенциал поля a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Векторное поле a называется соленоидальным, если во всех точках поля дивергенция (расходимость)

равна нулю: d iv a

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

Q

 

R

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d iv a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

y

z

 

 

 

y

z

3

 

 

y

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

x

 

 

 

y

x

 

 

 

z

 

 

 

2x x 3 y 3 z 3 x 2

3x 2

 

2 y x 3

y 3 z 3 y 2 3 y 2

2z x 3 y 3 z 3 z 2 3z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 y 3 z 3 2

 

 

 

x 3 y 3 z 3 2

 

 

 

 

 

x 3 y 3 z 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

2xy 3 2xz 3

 

2 yx 3 y 4 2 yz 3

 

 

2zx 3 2zy 3

z 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 y 3 z 3 2

x 3 y 3 z 3 2

 

x 3 y 3 z 3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 3 2 y 3 2z 3 y 2x 3 y 3 2z 3 z 2x 3 2 y 3 z 3 0

x 3 y 3 z 3 2

-следовательно, поле вектора a не является соленоидальным.

4)Определить векторные линии поля градиентов функции x 2 y 2 z 2 2x 2 y z .

Поле градиентов функции x, y , z - векторное поле grad .

Векторные линии векторного поля a P x; y; z i Q x; y; z j R x; y; z k описываются дифференциальными уравнениями векторных линий:

 

dx

 

 

dy

 

dz

 

P x; y; z

Q x; y ; z

R x; y ; z

или

 

 

Q x; y ; z

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P x; y; z

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

R x; y; z

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

P x; y; z

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

-нормальная система дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций y x и z x .

Частные производные в произвольной точке M x; y; z :

x 2 y 2 z 2 2x 2 y z x 2x 2x

x 2 y 2 z 2 2x 2 y z y 2 y 2y

z x 2 y 2 z 2 2x 2 y z z 2z 1

Градиент скалярного поля x; y ; z в произвольной точке M x; y; z : grad x i y j z k 2x 2 ; 2 y 2 ; 2z 1

5

Дифференциальные уравнения векторных линий:

dy

2 y 2

 

 

2x 2

dx

 

dz

 

2z 1

 

2x 2

dx

 

Видим, что система в данном случае распадается на два отдельных уравнения, содержащих каждое только одну неизвестную функцию. Интегрируем:

 

dy

 

 

2 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

2

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 y 2

 

d 2x 2

 

 

 

 

2 y 2

 

2x 2

ln

 

2 y 2

 

ln

 

2x 2

 

ln

 

C1

 

 

 

 

 

2 y

2 C

 

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C

x

1 1

и

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

2z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

1

2x 2

d 2x 2

 

 

 

 

d 2z 1

 

 

 

 

 

 

2z 1

 

2x 2

ln 2z 1 ln 2x 2 ln C2

2z 1 C2 2x 2 z C2 x 1 21

Линии пересечения этих плоскостей и есть векторные линии поля градиентов данной функции:

y C1 x 1 1

z C2 x 1 12

Литература:

1) Аксёнов А.П. "Математика. Математический анализ", часть 2, 2005, стр. 739 (задача).

5) Вычислить криволинейный интеграл вектора a y 1 i x 2 j zk по дуге окружности

x a

y a cos tz a sin t

лежащей в первом октанте от точки A a; a; 0 до точки B a; 0; a .

6

Криволинейный интеграл 2-го рода от вектор-функции a ax i ay j az k

по кривой AB обозначается

a dr ax x, y , z dx ay x, y , z dy az x, y , z dz

 

AB

AB

 

и в случае параметрического задания кривой интегрирования

 

x x t

 

 

t

 

y y

 

 

 

 

z z t

 

вычисляется по формуле

ax x, y , z dx ay x, y , z dy az x, y , z dz

L

ax x t ; y t ; z t x t ay x t ; y t ; z t y t az x t ; y t ; z t z t dt

(результат интегрирования зависит от направления интегрирования)

Вданном случае путь интегрирования проходим при изменении параметра 0 t 2 , следовательно

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t ;

z t x

t

ay x t ; y t ; z t y

t az x t ; y t ; z t z

t dt

ax x t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a

sin t

a

sin

 

 

 

 

0 a 2 a sin t a sin t a cos t dt a

 

 

2

2

2t dt

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

3a

 

 

 

a 2 cos t

 

 

2

 

a 2

a

 

 

 

a

 

cos 2t

 

 

a 0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

0

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1)Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. "Вся высшая математика", том 4, 2005, стр. 49;

2)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2005, стр. 407.

7

 

 

 

6) Вычислить поток вектора a y x i y z j x z 2 k через:

 

 

а) полную поверхность пирамиды, вершины которой S 0; 0; 0 ,

A 3; 0; 0 ,

B 0; 3; 0 ,

C 0; 0; 3 ;

б) грань ASC в положительном направлении оси Oy .

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим поток векторного поля a через полную поверхность пирамиды непосредственно (по определению) и применяя формулу Остроградского.

1-й способ решения - по определению.

Поток вектора (векторного поля) a P;Q; R можно вычислить как поверхностный интеграл

П Pdy dz Qdx dz Rdx dy

S

где P P x; y; z , Q Q x; y; z , R R x; y; z - проекции вектора a на соответствующие координатные оси.

Решая таким способом, в процессе решения получим ответ на пункт "б".

Рассмотрим четыре составляющие потока П ПASB ПBSC ПASC ПABC и вычислим их методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

Нормальный вектор к поверхности ASB :

n k . Рассматриваем проекцию на плоскость xOy , поэтому

z 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

y x i y z j x z 2 k k d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПASB

 

a n0 d

 

x 0 2 dx dy

 

ASB

 

 

 

 

 

 

ASB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ASB

 

 

 

3

x 3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

dx

 

x dy dx x y

 

 

 

0 x 3

x 3 x dx 3x x 2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3x

2

 

x

3

 

0

 

3 3

2

3 3

3

1

 

1

 

3 3

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

3

 

2

 

3

 

3

 

2

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормальный вектор к поверхности BSC :

n i . Рассматриваем проекцию на плоскость yOz , поэтому

x 0 :

 

a

 

 

 

 

 

 

y x i y z j x z 2 k i d

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0 dy dz

ПBSC

 

n0 d

 

 

BSC

 

 

 

 

 

 

BSC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BSC

 

 

 

3

y 3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

dy

 

y dz dy y z

 

0 y 3 y 3 y dy 3 y y 2 dy 4, 5

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

8

Нормальный вектор к поверхности ASC : n j . Рассматриваем проекцию на плоскость xOz , поэтому

y 0 :

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x i y z

j x z 2 k j d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПASC

n0 d

 

0 z dx dz

 

ASC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ASC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ASC

 

3

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

z

2

 

x 3

 

1

3

 

3 x 2 dx 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

z dz dx

 

 

 

 

 

 

 

3 x 2 d 3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

0

 

2

0

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3 x 3

 

 

 

0

 

1

3

0 3

3 3

3

3 3

3 2

 

4, 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

;

F

;

F

1;1;1 , т.к.

F x, y , z x y z 3 .

Нормальный вектор к поверхности ABC : n

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормируем: n

 

 

 

 

;

 

;

 

 

 

 

 

 

(для метода проектирования на одну из координатных плоскостей нормаль

 

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

необязательно нормировать). Рассматриваем проекцию на плоскость xOy , на рассматриваемой поверхности

z 3 x y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПABC

 

a n0 d

y x dy dz

y z dx dz

x z 2 dx dy

 

 

 

ABC

 

BSC

 

 

ASC

 

 

ASB

 

 

 

 

 

3

y 3

 

3

x 3

 

 

3

x 3

x z 2

dy

 

 

 

dy

y x dz dx

y z dz dx

 

 

 

 

0

0

 

0

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

3

y 3

 

 

3

x 3

 

 

 

3

x 3

x 3 x y 2

dy

dy

y 3 y z dz dx

3 x z z dz dx

 

0

0

 

 

0

0

 

 

 

0

0

 

 

 

3

y 3

3

x 3

 

 

3

x 3

x 2 y 2 2xy 5x 6 y 9 dy

45

 

dy

3 z dz dx

3 x dz dx

11, 25

0

0

 

0

0

 

 

0

0

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно

П ПASB ПBSC ПASC ПABC 4, 5 4, 5 4, 5 11, 25 6,75

Ответ:

а) поток вектора a через полную поверхность пирамиды П 6,75 ;

б) поток вектора a через грань ASC в положительном направлении оси Oy ПASC 4, 5 .

Вычисление потока поля через замкнутую поверхность по формуле Остроградского.

Теорема Остроградского (Остроградского-Гаусса, Гаусса-Остроградского).

Если в некоторой области G пространства R 3 координаты вектора

 

a P x, y , z i Q x, y , z j R x, y , z k

 

 

 

непрерывны и имеют непрерывные частные производные P ,

Q ,

R

, то поток вектора (векторного поля) a

x

y

z

 

через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S , лежащую в области G , равен тройному интегралу

от дивергенции этого поля по области V , ограниченной поверхностью S :

 

 

 

 

0

 

П a

ds div a dv

(здесь ds n

d )

S

 

V

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

Q

 

R

1 1

2z dv 2 z dv

 

П div a dv

x

y

z

dv

 

 

V

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x 3

3 x y

 

 

 

 

 

 

3

 

x 3

 

z 2

 

 

3 x y

3

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dx dy

 

 

 

z dz 2 dx

dy

 

 

 

dx 3 x y 2 dy

 

2

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x 3

 

 

 

 

 

2

d

3 x y

3

 

 

 

3 x y 3

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 3 x y

 

dx

 

 

 

3

 

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

1

 

3 x x 3 3 3 x 0 3 dx

1

3 x 3 dx

1

3 x 3 d 3

x

 

3

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3 x 4

 

 

3

 

1

 

 

3 3

4 3 0

4 3 3

6,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

0

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: поток вектора a через полную поверхность пирамиды П 6,75 .

Литература:

1)Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. "Вся высшая математика", том 4, 2005, стр. 79, стр. 85 (пример 1);

2)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007, стр. 511.

7)Проверить формулу Стокса для поля вектора a 4x 2 x 2 z i y j 4z 2k , принимая за контур интегрирования - окружность

x 2 z 2 9

y 1

а за поверхность - часть поверхности цилиндра

x 2 z 2 9

1 y 5

и плоскость y 5 .

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]