Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Pole

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

344.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

P x 2z

P x, y , z , Q x, y , z , R x, y , z

справедлива формула [Стокса]

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора a
	на вектор dr ,
касательный к контуру L , называется циркуляцией вектора a вдоль L :

C a dr
L
Для вычисления циркуляции используем формулу
C Pdx Qdy Rdz (непосредственное вычисление)
L

Формула Стокса. Теорема. Пусть гладкая xyz -проектируемая ориентированная поверхность Ф ограничена кусочно гладким контуром L и расположена внутри области G , в которой функции

имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда

Pdx Qdy Rdz

dy dz

dz dx

dx dy

где контур L обходится в положительном направлении.

А также

Pdx Qdy

Q P

dxdy

Теорема Стокса (формула Стокса, формула Грина, формула Остроградского-Грина). Циркуляция вектора a вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность

, натянутую на контур L :
C a dr rot a		n0 d
L

При этом предполагается, что координаты вектора a имеют непрерывные частные производные в некоторой

области G пространства, содержащей поверхность , и что ориентация орта нормали n0 к поверхности

G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормали обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

P x , y , z 4x 2 x 2 z Q x , y , z y

R x , y , z 4z 2

P 0y

Q	0	Q	0
x		z
R	0	R	0
x		y

Уравнение окружности x 2 z 2 9 в параметрическом виде:

x t 3 cos t

z t 3sin t

вполярных координатах

x2 z 2 9

2 cos2 2 sin2 9

► Непосредственное вычисление циркуляции по формуле. Используем параметрическое представление переменных.

C Pdx Qdy Rdz 4x

z dx y dy 4z

y 1

z dx 4z

dy 0

4 9 cos2 t 9 cos2 t 3sin t 3 cos t dt 4 9sin2 t 3sin t dt

27 4 cos2 t 3 cos2 t sin t sin t dt 4sin2 t cos t dt

4cos2 t

4sin2 t cos t 3 cos2 t sin2 t dt 81

sin t

► Вычисление циркуляции по формуле Стокса

Находим rot a :

0 0 i 0 x 2 j 0 0 k

rot a

x 2 j

4x 2 x 2 z

y 4z 2

Натянем на контур кусок плоскости y 1 , так что n0 j (чтобы из конца нормали обход контура в направлении, соответствующем увеличению параметра t , был виден совершающимся против часовой стрелки). Тогда, переходя в полярные координаты и учитывая что d d d , получаем

C rot a n0 d x 2 j j d x 2d 2 2 cos2 d 3 d

					0	0
2	4	3	81	2	81

cos2 d				cos2 d
	4		4		4
0		0		0

Литература:

1)Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. "Вся высшая математика", том 4, 2005, стр. 96 (пример 3);

2)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007, стр. 514 (пример 71.6).

8) Определить дивергенцию и вихрь поля вектора a

r 3

Теорема. Если проекции a x , a y , a z

вектора a непрерывны в области D и имеют там непрерывные

частные производные

, то для любой точки области D дивергенция d iv a

существует и

z или

выражается формулой d iv a

d iv a

( x i y j z k - оператор Гамильтона).

Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Свойства дивергенции:

1.d iv C 0 , где C - постоянный вектор;

2.d iv C a C d iv a , где C - постоянный скаляр;

3.d iv a b d iv a d iv b ;

4.d iv a d iv a grad a .

Определение 1. Вихрем векторного поля a в точке N D						называется вектор
	i	j	k
	i	j	k

rot a				или d iv a	a .
rot a	x	y	z	или d iv a	a .
	ax	ay	az	N
				N
Определение 2. Вихрем векторного поля a в точке N D						называется вектор, который направлен так,

что для перпендикулярной к нему плоскости, проходящей через точку N , плотность циркуляции в точке N будет наибольшей, а по длине - равный этой наибольшей плотности циркуляции.

Вихрь (ротор) характеризует завихрённость векторного поля в данной точке.

Свойства дивергенции:

1.rot C 0 , где C - постоянный вектор;

2.rot C a C rot a , где C - постоянный скаляр;

3.rot a b rot a rot b ;

4.rot a rot a grad a .

Поскольку радиус-вектор r x i y j				z k , а его модуль r
	r	x		y
a			i		j
	r 3	x 2 y 2 z 2 3		x 2 y 2 z 2 3

x 2 y 2 z 2 , то

x 2 y 2 z 2 3

d iv a

x 2 y 2 z 2 3

2 y 2 z 2 3 x

x 2 y 2 z 2 2x

x 2 y 2 z 2

							1			x 2 y 2 z 2 3 y																					3					x 2 y 2 z 2 2 y
																															2
																				x 2 y 2 z 2																	3
																				x 2 y 2 z 2																	3
							1			x 2 y 2 z 2 3 z																					3					x 2 y 2 z 2 2z
																															2
																				x 2 y 2 z 2 3
																				x 2 y 2 z 2 3
	x 2 y 2							z 2 3x 2												x 2 y 2 z 2 3 y 2																								x 2 y 2 z 2 3z													2
			x 2 y 2 z 2 5																			x 2 y 2 z 2															5									x 2 y 2 z 2 5
			x 2 y 2 z 2 5																			x 2 y 2 z 2															5									x 2 y 2 z 2 5
		2x 2 y								2 z 2											x 2 2 y 2 z 2																							x 2 y 2											2z 2
		x 2 y 2 z 2 5																		x 2 y 2 z 2																	5						x 2 y 2 z 2 5
		x 2 y 2 z 2 5																		x 2 y 2 z 2																	5						x 2 y 2 z 2 5
	2x 2				y 2					z 2 x 2 2 y 2 z 2 x 2 y 2 2z 2																																								0
															x 2 y 2 z 2 5																																			0
															x 2 y 2 z 2 5
- т.е. поле a является соленоидальным.
					i					j					k														i																								j						k
					i					j					k														i																								j						k

rot a
rot a					x					y				z														x																								y							z
					ax					ay				az															x																								y						z
																						x 2 y 2 z 2 3																							x 2 y 2 z 2 3													x 2 y 2 z 2 3
				3									z 2 y												3													y 2z
i				2																					2
i									x		2					2				2			5									x			2						2					2			5
											2	y				2		z		2			5												2		y				2	z				2			5
												y						z																			y					z
											3									z 2x															3											x 2z
				j							2																								2
				j											x			2					2			2				5										x			2					2						2		5
																		2	y				2	z		2				5													2		y			2			z			2		5
																			y					z																					y						z
											3									y 2x															3											x 2 y
				k							2																								2
				k											x			2					2			2					5									x			2					2						2		5
																		2	y				2	z		2					5												2		y			2			z			2		5
																			y					z																					y						z
											3zy																					3 yz
i
i						x														5				x																		5
									2	y			2	z				2		5							2			y				2		z				2		5
									2				2					2									2							2						2

																		3zx																						3xz
				j
				j								x														5							x																		5
															2		y			2		z		2		5											2		y			2			z		2				5
															2					2				2													2					2					2

																		3 yx																						3xy
				k																																																		0
				k									x													5							x																		5			0
															2		y			2		z		2		5											2		y			2			z		2				5
															2					2				2													2					2					2

- т.е. поле a является потенциальным (безвихревым).

9) Доказать формулу rot a rot a grad a , где - произвольная дифференцируемая функция.

rot a

grad a

Обозначения: a b

или a b

- векторное произведение векторов a и b ;

a b или a b

- скалярное произведение векторов a и b .

Литература:

1) Аксёнов А.П. "Математика. Математический анализ", часть 2, 2005, стр. 752.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019392.7 Кб13Philosophy.doc
#
02.08.201973.97 Кб80Physics.docx
#
31.05.2015278.53 Кб9Pip_-_gotovye_shpory.doc
#
26.03.20165.08 Mб9Places, Streets and Movement to Manual for Streets.pdf
#
15.04.201990.62 Кб4pl_lek.doc
#
31.05.2015344.42 Кб5Pole.pdf
#
31.05.2015135.38 Кб24politologia.docx
#
31.05.2015227.75 Кб136Politologia.docx
#
30.08.201929.08 Кб7Politologia.docx
#
26.03.20162.08 Mб23Polnaya_uynya_shpora_po_sopromatu.pdf
#
31.05.2015311.81 Кб18POS-terminaly_POS-sistemy.doc